概率論習題N001

1、第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念第一章第一章 備用例題備用例題例例1.,關關系系表表示示下下列列事事件件的的運運算算用用是是四四個個事事件件設設DCBADCBA”,“:)1(1發(fā)發(fā)生生中中僅僅有有 ADCBAG.1DCBAG 則則”,“:)2(2中中恰恰有有一一個個發(fā)發(fā)生生DCBAG.2DCBADCBADCBADCBAG 則則”,“:)3(3均不發(fā)生均不發(fā)生中至少有一個發(fā)生而中至少有一個發(fā)生而DCBAG.)(3DCBAG 則則;,:)4(4發(fā)發(fā)生生”但但中中不不多多于于一一個個發(fā)發(fā)生生“DCBAG.)(4DACCBBAG 則則;,:)5(5個不發(fā)生”個不發(fā)生”中至少有一中至少有一

2、中至少有一個發(fā)生中至少有一個發(fā)生“DCBAG.)()(55CDBAGDCBAG 或或則則;,:)6(6發(fā)生”發(fā)生”中至少有一個不發(fā)生中至少有一個不發(fā)生“DCBAG.)(66DABCGDCBAG 或或則則.)7(7件的和事件件的和事件表示成兩兩不相容的事表示成兩兩不相容的事將將DCBAG )()()(7CBADBACABAG 則則.CBADBACABA 注意表示方法不唯一注意表示方法不唯一.,)8(432143218MMMMMMMMDCBAG 其其中中表表示示成成將將,4321DCBAMCBAMBAMAM 取取).()()(8DCBACBABAAG 則則注意表示方法不唯一注意表示方法不唯一.例例

3、2.)(32,1,5)3(.)(32,1,5)2(.)(32,5)1(.3,9率率的概的概這一事件記為這一事件記為只紅球只紅球只白球只白球中恰有中恰有求其求其作放回抽樣作放回抽樣只只每次取每次取次次在盒中取球在盒中取球概率概率的的這一事件記為這一事件記為只紅球只紅球只白球只白球其中恰有其中恰有求求作不放回抽樣作不放回抽樣只只每次取每次取次次在盒中取球在盒中取球的概率的概率這一事件記為這一事件記為只紅球只紅球只白球只白球求其中恰有求其中恰有只球只球在盒中隨機地取在盒中隨機地取只白球只白球只紅球只紅球盒中有盒中有CBA解解,5)1(每一種取法為一樣本點每一種取法為一樣本點只球只球在盒中取在盒中取.

4、512, 樣本點的總數(shù)為樣本點的總數(shù)為若不考慮取球次序若不考慮取球次序,2323種種取取法法只只共共有有只只白白球球中中任任取取在在 ,3939種種取取法法只只共共有有只只白白球球中中任任取取在在 為為中包含的樣本點的總數(shù)中包含的樣本點的總數(shù)由乘法原理得由乘法原理得 A,3923 方法方法1 1 5123923)(AP于是于是.227 方法方法2 2.,512A樣樣本本點點的的總總數(shù)數(shù)為為若若考考慮慮取取球球次次序序,5,3923,只球進行全排列只球進行全排列再將取出的再將取出的種取法種取法先不考慮取球次序共有先不考慮取球次序共有而言而言對于事件對于事件 A.! 55923種種球球的的方方法法

5、有有故故若若考考慮慮取取球球的的次次序序取取 512! 53923)(AAP 于于是是.227 方法方法3 3512392325)(AAAAP .227891011127892325 ,)1()2(一一樣樣中中考考慮慮次次序序的的取取球球方方法法這這種種取取球球方方法法與與),()(BPAP 故故即有即有.227891011127892325)( BP由乘法原理共有由乘法原理共有只球可供抽取只球可供抽取次均有次均有第第次次第第只球可供抽取只球可供抽取次有次有因第因第取球的次序取球的次序考慮考慮每一種取法為一樣本點每一種取法為一樣本點只球只球在盒中取在盒中取,125,2,121,5)3(,121

6、2121212125種種取取法法 .125本點的總數(shù)為本點的總數(shù)為即樣本空間中樣即樣本空間中樣.25,5種種共共有有放放白白球球個個位位置置中中挑挑出出兩兩個個位位置置在在 ,9999,33332種種取取法法紅紅球球有有種種取取法法又又白白球球有有 ,932532個個樣樣本本點點中中包包含含故故 C532129325)( CP因因而而.512135 例例3., 2, 1)2(.32,21,4 , 3 , 2 , 18)1(求恰有一只空盒的概率求恰有一只空盒的概率只盒子中去只盒子中去的的只球隨機地放入編號為只球隨機地放入編號為將將只球的概率只球的概率號盒子恰有號盒子恰有只球只球號盒子恰有號盒子恰

7、有試求試求盒子中去盒子中去的四只的四只只球隨機地放入編號為只球隨機地放入編號為將將nnn解解.”32,21“)1(這這一一事事件件只只球球有有號號盒盒子子恰恰只只球球號號盒盒子子恰恰有有記記以以 A123444444444數(shù)為數(shù)為樣本空間中樣本點的總樣本空間中樣本點的總,44448 ,236283 所包含樣本點的總數(shù)為所包含樣本點的總數(shù)為A83423628)( AP于于是是.51235 .”“)2(這一事件這一事件一只空盒子一只空盒子恰有恰有記記以以 B.,nnnn總數(shù)為總數(shù)為則樣本空間中樣本點的則樣本空間中樣本點的樣本點樣本點為一個為一個個盒子中的一種放法作個盒子中的一種放法作只球放入到只球

8、放入到將將所包含樣本點的個數(shù)為所包含樣本點的個數(shù)為B,)!2(2111 nnnn.)!2(2111)(nnnnnnBP 于于是是例例4.,36只盒子都有球的概率只盒子都有球的概率求每求每只盒子中去只盒子中去只球隨機地放入到只球隨機地放入到將將解解.”“每每只只盒盒子子都都有有球球記記事事件件以以 A:發(fā)生分為三種情況發(fā)生分為三種情況A所所含含的的樣樣本本點點數(shù)數(shù)為為只只盒盒子子裝裝球球數(shù)數(shù)分分別別為為, 1, 1, 43(i).9024613 所含樣本點數(shù)為所含樣本點數(shù)為只盒子裝球數(shù)分別為只盒子裝球數(shù)分別為, 1, 2, 33i)(i.36023123613 所所含含樣樣本本點點數(shù)數(shù)為為只只盒

9、盒子子裝裝球球數(shù)數(shù)均均為為 , 23(iii).902426 ,5409036090個個樣樣本本點點中中包包含含因因此此 A.27203540)(6 AP故故例例5.)(, )2(2 的概率的概率這一事件記為這一事件記為求沒有成對的鞋子求沒有成對的鞋子試試只只雙不同的鞋子中任選雙不同的鞋子中任選從從Anrrn 解解),(ANA中所含樣本點數(shù)記為中所含樣本點數(shù)記為,)!2(1 2421 421 221 2)(rrnnnnAN ,22 rn樣本點數(shù)總數(shù)為樣本點數(shù)總數(shù)為.22)()( rnANAP于是于是),(ANA中所含樣本點數(shù)記為中所含樣本點數(shù)記為錯誤解法錯誤解法: 1 2421 421 221

10、 2)(rnnnnAN,22 rn樣本點數(shù)總數(shù)為樣本點數(shù)總數(shù)為.22)()( rnANAP于是于是 例例6.53,2,100, 2, 1 整除的概率整除的概率或或求它能被求它能被整除整除到的數(shù)不能被到的數(shù)不能被已知取已知取中隨機地取一個數(shù)中隨機地取一個數(shù)在數(shù)集在數(shù)集解解,5 , 3 , 2,532整整除除分分別別表表示示取取到到的的數(shù)數(shù)能能被被以以AAA所求概率為所求概率為)()()(2253253APAAAPAAAP .)()()()(22532523APAAAPAAPAAP )()(2323ASAPAAP 而而).()(233AAPAP ,623整除”整除”表示事件“能被表示事件“能被因因

11、AA.10016)(23 AAP故故1001610033)(23 AAP于于是是.10017 同樣同樣)()(2525ASAPAAP )()(255AAPAP .100101001010020 )()(253253ASAAPAAAP )()(25353AAAPAAP .100310031006 .25122110031017 p故故注意注意).()()(BPAPBAPAB 時時才才有有只只有有當當例例7 設盒設盒 I 有有 6 只紅球只紅球, 4 只白球只白球; 盒盒 II 有有7只紅只紅球球, 3只白球只白球. 自盒自盒 I 中隨機地取一只球放入盒中隨機地取一只球放入盒 II,接著在盒接著在

12、盒 II 中隨機地取一只球放入盒中隨機地取一只球放入盒 I.然后在盒然后在盒 I 中隨機地取一只球中隨機地取一只球 , 求取到的是紅求取到的是紅球的概率球的概率.(2) 求盒求盒 I 中仍有中仍有 6 只紅球只紅球 4 只白球的概率只白球的概率.解解”I“1中中取取到到一一只只紅紅球球第第一一次次在在盒盒記記事事件件以以 R,I2中中取取到到一一只只紅紅球球”記記事事件件“第第二二次次在在盒盒以以R.II中中取取到到一一只只紅紅球球”記記事事件件“在在盒盒以以C),()()1(2212212RCCRRRCCRRR )()()(2121221RCRPCRRPRCCRRP )()()( )()()

13、(11121112RPRCPRCRPRPRCPCRRP 106113105106118106 .1100378 )()()(2121221RCRPCRRPRCCRRP )()()( )()()(11121112RPRCPRCRPRPRCPRCRP 104114106104117107 .1100292 .609. 011002921100378)(2 RP于于是是則則只只白白球球只只紅紅球球中中仍仍有有盒盒記記事事件件以以”4,6I“ )2(G.11CRCRG )()(11CRCRPGP 于于是是)()()()(1111RPRCPRPRCP 104114106118 .582. 011064

14、例例8.)()2(;)1(.,)1()1(個個配配對對的的概概率率恰恰有有至至少少有有一一個個配配對對的的概概率率試試求求稱稱為為一一個個配配對對球球同同號號的的盒盒子子中中若若一一只只球球裝裝入入與與一一只只盒盒子子裝裝一一只只球球中中去去號號只只盒盒子子隨隨機機地地放放入入號號只只球球將將nrrnnnn 解解., 2 , 1”“niiAi 號球配對號球配對第第記事件記事件以以,”“至至少少有有一一個個配配對對記記事事件件以以 B.21nAAAB 則則由和事件概率公式由和事件概率公式)1()()(21nAAAPBP nnkjikjinnjijiniiAAAPAAPAP111)()()(),(

15、)1(211nnAAAP , 2 , 1,!)!1()(ninnAPi 又又知知,1,!)!2()(njinnAAPji ,1,!)!3()(nkjinnAAAPkji 于是于是!)!3(3!)!2(2!)!1(1)(nnnnnnnnnBP !1)1(1nn !1)1(! 41! 31! 2111nn .!1)1(11knkk ,”“只只球球配配對對只只球球中中指指定定的的某某在在記記事事件件以以rnC,!)!()()1(nrnCP 知知由由的條件概率為的條件概率為只球無一配對只球無一配對其余其余發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下因此在因此在rnC ,.!1)1(111krnkk 一一配配對對的的概概率

16、率為為只只無無而而其其它它只只球球配配對對只只球球中中指指定定的的故故rnrn ,!1)1(1!)!(11knrnrnkk ,種種只只球球的的方方式式有有只只球球中中指指定定由由于于在在 rnrn無一配對的概率為無一配對的概率為只只只球配對而同時其它只球配對而同時其它只球中有只球中有故在故在rnrn !1)1(1!)!(11knrnrnrnkk .!1)1(1!111krrnkk 只只球球配配對對的的概概率率為為只只球球中中恰恰有有即即)(nrrn .)!(1)1(! 31! 2111!1rnrrn 例例9 據(jù)以往的資料據(jù)以往的資料, 一位母親患某種傳染病的概一位母親患某種傳染病的概率為率為0

17、.5,當母親患病時當母親患病時,她的第她的第1個個,第第 2個孩子患病個孩子患病的概率均為的概率均為0.5, 且且2個孩子均不患病的概率為個孩子均不患病的概率為0.25,當母親未患病時當母親未患病時,每個孩子必定不患病每個孩子必定不患病. 求第求第 1 個個,第第 2 個孩子未患病的概率個孩子未患病的概率.求當?shù)谇螽數(shù)?1 個孩子未患病時個孩子未患病時, 第第 2 個孩子未患病個孩子未患病的概率的概率.(3) 求當兩個孩子均未患病時求當兩個孩子均未患病時, 母親患病的概率母親患病的概率.解解.2,1, 21個孩子未患病”個孩子未患病”記事件“第記事件“第以以孩子未患病”孩子未患病”個個記事件“

18、第記事件“第以以記事件“母親患病”記事件“母親患病”以以NNC, 5 . 0)()(, 5 . 0)(21 CNPCNPCP已已知知. 1)(, 1)(,25. 0)(2121 CNPCNPCNNP)()()()()()1(111CPCNPCPCNPNP 5 . 01)()(11 CPCNP.75. 0 .75. 0)()(12 NPNP. )()()()2(12112NPNNPNNP )()()()()(212121CPCNNPCPCNNPNNP ,625. 0 .6575. 0625. 0)(12 NNP于于是是)()()()()3(212121NNPCPCNNPNNCP 625. 05

19、. 025. 0 . 2 . 0 注意注意),()()( ,212121CNPCNPCNNPCNN 即即發(fā)生的條件下是獨立的發(fā)生的條件下是獨立的在事件在事件在這里在這里).(65)( ,21221NPNNPNN 因因為為是是不不獨獨立立的的但但在在無無條條件件的的情情況況下下例例10 A, B, C 三人在同一辦公室工作三人在同一辦公室工作. 房間里有一房間里有一部電話部電話. 據(jù)統(tǒng)計知據(jù)統(tǒng)計知, 打給打給 A, B, C 的電話的概率分別的電話的概率分別為為 2/5, 2/5, 1/5. 他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬鏊麄內(nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬? A, B, C 三三人外出的概率分別為人外出的概率分別為 1

20、/2, 1/4, 1/4. 設三人的行動相設三人的行動相獨立獨立. 求求(1) 無人接電話的概率無人接電話的概率;(2) 被呼叫人在辦公室的概率被呼叫人在辦公室的概率,若某一時間段打進若某一時間段打進 3 個電話個電話, 求求(3) 這這 3 個電話打給同一個人的概率個電話打給同一個人的概率;(4) 這這 3 個電話打給不相同的人的概率個電話打給不相同的人的概率;(5) 在這在這 3 個電話都打給個電話都打給 B 的條件下的條件下, B 卻都不在的卻都不在的條件概率條件概率. 解解, 的的事事件件分分別別記記有有人人打打電電話話給給以以件件各各人人在在辦辦公公室室的的事事分分別別記記以以CBA

21、TTTCBACBACBA,51)(,52)(,52)( CBATPTPTP由由題題設設知知,41)(,41)(,21)( CPBPAP因因而而得得相相互互獨獨立立又又知知事事件件,CBA(1) 無人接電話的概率為無人接電話的概率為)()()()(CPBPAPCBAP .321414121 (2) 被呼叫人在辦公室的概率為被呼叫人在辦公室的概率為)(2CBACTBTATPp )()()(CBACTPBTPATP )()()()()()(CBATPCPTPBPTPAP 51)411(52)411(52)211( .2013 (3) 所求概率為所求概率為)3()2()1()3()2()1()3()2

22、()1(3CCCBBBAAATTTTTTTTTPp .,3, 2, 1)3(),2(),1(其余記號含義類似其余記號含義類似的的打給打給個電話是個電話是第第第第分別表示第分別表示第ATTTAAA)3()2()1()3()2()1()3()2()1(3CCCBBBAAATTTPTTTPTTTPp 因因此此333515252 .12517 (4) 三個電話打給三個不相同的人三個電話打給三個不相同的人, 共有共有 3!=6 種搭種搭配配, 這這 6 種搭配兩兩不相容種搭配兩兩不相容, 每一種搭配的概率都每一種搭配的概率都是是.1254515252 從而所求概率為從而所求概率為.125241254!

23、34 p(5) 一只電話打給一只電話打給B的條件下的條件下B不在的條件概率為不在的條件概率為,41三只電話都打給三只電話都打給B的條件下而的條件下而B都不在的條件概率都不在的條件概率為為.414141413 例例11 一質(zhì)量控制檢驗員通過一系列相互獨立的一質(zhì)量控制檢驗員通過一系列相互獨立的在線檢查過程在線檢查過程 (每一過程有一定的持續(xù)時間每一過程有一定的持續(xù)時間)以檢以檢查新生產(chǎn)元件的缺陷查新生產(chǎn)元件的缺陷. 已知若缺陷確實存在已知若缺陷確實存在, 缺陷缺陷在任一在線檢查過程在任一在線檢查過程 被查出的概率為被查出的概率為 p.(1)求缺陷在第二過程結束之前被查出的概率求缺陷在第二過程結束之

24、前被查出的概率 (缺缺陷若在一個過程查出就不再進行下一個過程陷若在一個過程查出就不再進行下一個過程).(2)求缺陷在第求缺陷在第n個過程結束之前被查出的概率個過程結束之前被查出的概率.(3)若缺陷經(jīng)若缺陷經(jīng) 3個過程未被查出個過程未被查出,該元件就通過檢查該元件就通過檢查,求一個有缺陷的元件通過檢查的概率求一個有缺陷的元件通過檢查的概率.(4)設隨機地取一元件設隨機地取一元件,它有缺陷的概率為它有缺陷的概率為0.1,設當設當元件無缺陷時將自動通過檢查元件無缺陷時將自動通過檢查,求在求在 (3) 的假設下的假設下元件通過檢查的概率元件通過檢查的概率.(5)已知一元件已通過檢查已知一元件已通過檢查

25、,求該元件確實是有缺陷求該元件確實是有缺陷的概率的概率(設設 p=0.5).解解.), 2, 1(程程被被檢檢出出”個個過過記記事事件件“缺缺陷陷在在第第以以iniAi .,), 2, 1()(21且且相相互互獨獨立立且且按按題題設設niAAAnipAP 所求概率為所求概率為)1()()(211AAPAP )()(21APAPp .2)1(2ppppp 所所求求概概率率為為)2()()()()(121321211nnAAAAPAAAPAAPAP pppppppn 12)1()1()1( .)1(1)1(1)1(1nnpppp 所所求求概概率率為為)3()()()()(321321APAPAPA

26、AAP .)1(3p 所所求求概概率率為為的的”記記事事件件“元元件件是是有有缺缺陷陷以以,)4(B)3(無缺陷無缺陷次檢查均未被查出次檢查均未被查出有缺陷且有缺陷且P)(321BAAABP )()(321BPAAABP )()(321BPBAAAP . 9 . 01 . 0)1(3 p所求概率為所求概率為)5()()()()(通通過過有有缺缺陷陷有有缺缺陷陷通通過過通通過過有有缺缺陷陷PPPP .0137. 09 . 01 . 0)1(1 . 0)1(33 pp例例12 在房間里有在房間里有 10 個人個人, 分別佩戴從分別佩戴從 1 號到號到 10 號號的紀念章的紀念章, 任選任選 3 個

27、記錄其紀念章的號碼個記錄其紀念章的號碼. (1) 求最小號碼為求最小號碼為 5 的概率的概率; (2) 求最大號碼為求最大號碼為 5 的概率的概率. 解解(1)總的選法種數(shù)為總的選法種數(shù)為,310 n最小號碼為最小號碼為5的選法種數(shù)為的選法種數(shù)為,25 m(2)最大號碼為最大號碼為5的選法種數(shù)為的選法種數(shù)為,24 故最大號碼為故最大號碼為5的概率為的概率為 31024P故小號碼為故小號碼為5的概率為的概率為 31025P.121 .201 例例13 將將 4 只球隨機地放入只球隨機地放入 6 個盒子中去個盒子中去 ,試求試求每個盒子至多有一只球的概率每個盒子至多有一只球的概率.解解 將將4只球

28、隨機地放入只球隨機地放入6個盒子中去個盒子中去 , 共有共有64 種種放法放法.每個盒子中至多放一只球共有每個盒子中至多放一只球共有 種不同放種不同放法法.3456 因而所求的概率為因而所求的概率為463456 p.2778.0 例例14 設袋中有設袋中有 4 只白球只白球, 2 只紅球只紅球 , (1) 無放回無放回隨機地抽取兩次隨機地抽取兩次, 每次取一球每次取一球, 求在兩次抽取中至求在兩次抽取中至多抽到一個紅球的概率多抽到一個紅球的概率? (2) 若無放回地抽取若無放回地抽取 3次次, 每次抽取一球每次抽取一球, 求求 (a) 第一次是白球的情況下第一次是白球的情況下, 第第二次與第三次均是白球的概率二次與第三次均是白球的概率? (b) 第一次與第第一次與第二次均是白球的情況下二次均是白球的情況下 , 第三次是白球的概率第三次是白球的概率?解解)1(紅球”紅球”一個一個“兩次抽取中至多抽到“兩次抽取中至多抽到為事件為事件設設 A”為為“第第一一次次抽抽取取到到紅紅球球事事件件1A.2”為“第二次抽取到紅球為“第二次抽取