概率論頻率概率古典概型

1、1頻率、概率、古典概型頻率、概率、古典概型2一一 . 頻頻 率率()nmfAn頻率的性質(zhì)：頻率的性質(zhì)： (非負(fù)性非負(fù)性) (1) 0( )1nf A (規(guī)范性規(guī)范性)(2)()1nf1頻率的定義：頻率的定義：頻率與概率頻率與概率在在 n 次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中,事件事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù) m稱為事件稱為事件A的頻數(shù)的頻數(shù),而比值而比值 m/n 稱為稱為事件事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率，記，記作：作： 3則則是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件若若,)3(21KAAA)()()()(2121knnnknAfAfAfAAAf 3頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性 在不變的條件下在不變的條件下,重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)

2、行 n 次試驗(yàn)次試驗(yàn),事件事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率 m/n 穩(wěn)定地在某一常數(shù)穩(wěn)定地在某一常數(shù) p 附近擺附近擺動(dòng)動(dòng), 并且并且 n 越大越大,擺動(dòng)幅度越小則稱常數(shù)擺動(dòng)幅度越小則稱常數(shù) p為為事件事件A 在該條件下發(fā)生的概率在該條件下發(fā)生的概率(簡稱簡稱:頻頻率的穩(wěn)定值為該事件的概率率的穩(wěn)定值為該事件的概率) 記作：記作：P(A)= p概率統(tǒng)計(jì)定義概率統(tǒng)計(jì)定義（ 可列可加性可列可加性 ）4 我們首先引入的計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型，我們首先引入的計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型，是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究對(duì)象，通常稱為對(duì)象，通常稱為古典概型古典概型5古典概型古典概型一古

3、典概型（等可能概型一古典概型（等可能概型)一般一般, 如果隨機(jī)試驗(yàn)如果隨機(jī)試驗(yàn) E 具有：具有：(1) 有限性：有限性： 它的樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)它的樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)則稱隨機(jī)試驗(yàn)則稱隨機(jī)試驗(yàn)E為為古典概型古典概型,也稱也稱等可能概型等可能概型 (2) 等可能性：在每次試驗(yàn)中等可能性：在每次試驗(yàn)中,每個(gè)基本事件發(fā)生的每個(gè)基本事件發(fā)生的 可能性相同可能性相同62 3479108615 例如，一個(gè)袋子中裝有例如，一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同個(gè)大小、形狀完全相同的球的球. 將球編號(hào)為將球編號(hào)為110 .把球攪勻，蒙上眼睛，從把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球中任取一球.7 因?yàn)槌槿?/p>

4、時(shí)這些球是因?yàn)槌槿r(shí)這些球是完全平等的，我們沒有理完全平等的，我們沒有理由認(rèn)為由認(rèn)為10個(gè)球中的某一個(gè)個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易取得會(huì)比另一個(gè)更容易取得 . 也就是說，也就是說，10個(gè)球中的任個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)是相等一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)是相等的，均為的，均為1/10. 1324 5 6 7 8 9 1010個(gè)球中的任一個(gè)被取個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)都是出的機(jī)會(huì)都是1/102 34791086158 我們用我們用 i 表示取到表示取到 i號(hào)球，號(hào)球， i =1,2,10 . 稱這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)稱這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)為為古典概型古典概型.34791086152且每個(gè)樣本點(diǎn)且每個(gè)樣本點(diǎn)(或者說

5、或者說基本事件基本事件)出現(xiàn)的可能出現(xiàn)的可能性相同性相同 .S=1,2,10 ,則該試驗(yàn)的樣本空間則該試驗(yàn)的樣本空間如如i =29記記 A=摸到摸到2號(hào)球號(hào)球 P(A)=? P(A)=1/10記記 B=摸到紅球摸到紅球 P(B)=? P(B)=6/10 22 34791086151324 5 6二古典概型中事件概率的計(jì)算公式二古典概型中事件概率的計(jì)算公式10這里實(shí)際上是從這里實(shí)際上是從“比例比例” 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“概率概率”記記 B=摸到紅球摸到紅球 P(B)=6/10靜態(tài)動(dòng)態(tài) 當(dāng)我們要求當(dāng)我們要求“摸到紅摸到紅球球”的概率時(shí)，只要找出的概率時(shí)，只要找出它在靜態(tài)時(shí)相應(yīng)的比例它在靜態(tài)時(shí)相應(yīng)的比例.

6、2 347910861511這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題計(jì)數(shù)問題 .定義定義 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E是是古典概型古典概型, 其樣本空間其樣本空間S由由n個(gè)樣本點(diǎn)組成個(gè)樣本點(diǎn)組成 , 事件事件A由由k個(gè)樣本點(diǎn)組成個(gè)樣本點(diǎn)組成 . 則定則定義事件義事件A的概率為：的概率為：稱此概率為稱此概率為古典概率古典概率. 這種確定概率的方法這種確定概率的方法稱為稱為古典方法古典方法 . A包含的樣本點(diǎn)數(shù)包含的樣本點(diǎn)數(shù) P(A)k/n S中的樣本點(diǎn)總數(shù)中的樣本點(diǎn)總數(shù)12下面我們就來介紹如何計(jì)算下面我們就來介紹如何計(jì)算古典概率古典概率.排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具排列組合是計(jì)算古典概率的

7、重要工具 .13基本計(jì)數(shù)原理基本計(jì)數(shù)原理 這里我們先簡要復(fù)習(xí)一下計(jì)算古典概率這里我們先簡要復(fù)習(xí)一下計(jì)算古典概率所要用到的所要用到的1. 加法原理加法原理設(shè)完成一件事有設(shè)完成一件事有m種方式，種方式，第一種方式有第一種方式有n1種方法，種方法，第二種方式有第二種方式有n2種方法種方法,； 第第m種方式有種方式有nm種方法種方法,無論通過哪種方法都可以無論通過哪種方法都可以完成這件事，完成這件事，則完成這件事總共則完成這件事總共有有n1 + n2 + + nm 種方法種方法 .14例如，某人要從甲地到乙地去例如，某人要從甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地可以乘火車可以乘火車,也可以乘輪船也可以乘輪船.

8、火車有兩班火車有兩班輪船有三班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3 + 2 種方法種方法回答是回答是15基本計(jì)數(shù)原理基本計(jì)數(shù)原理則完成這件事共有則完成這件事共有種不同的方法種不同的方法 .mnnn212. 乘法原理乘法原理設(shè)完成一件事有設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有第一個(gè)步驟有n1種方法，種方法，第二個(gè)步驟有第二個(gè)步驟有n2種方法種方法,； 第第m個(gè)步驟有個(gè)步驟有nm種方法種方法,必須通過每一步驟必須通過每一步驟,才算完成這件事，才算完成這件事，16例如，若一個(gè)男人有三頂帽子和兩例如，若一個(gè)男人有三頂帽子和兩件背心，問他可以有

9、多少種打扮？件背心，問他可以有多少種打扮？可以有可以有 種打扮種打扮2317 加法原理和乘法原理是兩個(gè)很重要加法原理和乘法原理是兩個(gè)很重要計(jì)數(shù)原理，它們不但可以直接解決不少計(jì)數(shù)原理，它們不但可以直接解決不少具體問題，同時(shí)也是推導(dǎo)下面常用排列具體問題，同時(shí)也是推導(dǎo)下面常用排列組合公式的基礎(chǔ)組合公式的基礎(chǔ) .18排列、組合的幾個(gè)簡單公式排列、組合的幾個(gè)簡單公式排列和組合的區(qū)別：排列和組合的區(qū)別：順序不同是順序不同是不同的排列不同的排列3把不同的鑰匙的把不同的鑰匙的6種排列種排列而組合不管而組合不管順序順序19從從3個(gè)元素取出個(gè)元素取出2個(gè)個(gè)的排列總數(shù)有的排列總數(shù)有6種種從從3個(gè)元素取出個(gè)元素取出2

10、個(gè)個(gè)的組合總數(shù)有的組合總數(shù)有3種種236P 233C 201、排列排列: 從從n個(gè)不同元素取個(gè)不同元素取 k個(gè)個(gè)（1 k n)的不同排列總數(shù)為：的不同排列總數(shù)為： k = n時(shí)稱全排列時(shí)稱全排列!)(nnnnpPnnn1221排列、組合的幾個(gè)簡單公式排列、組合的幾個(gè)簡單公式)!(!)()(knnknnnnpkn12121ABDC例如：例如：n=4, k =3第第1次選取次選取第第2次選取次選取第第3次選取次選取BDCBCDBDC2423434P2412344P22從從n個(gè)不同元素取個(gè)不同元素取 k個(gè)（允許重復(fù)）個(gè)（允許重復(fù)）（1 k n)的不同排列總數(shù)為：的不同排列總數(shù)為：knnnn 例如：從

11、裝有例如：從裝有4張卡片的盒中張卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3張張3241n=4,k =3123第第1張張4123第第2張張4123第第3張張4共有共有4.4.4=43種可能取法種可能取法23!)!(!kknnkPCknkn2、組合、組合: 從從n個(gè)不同元素取個(gè)不同元素取 k個(gè)個(gè)（1 k n)的不同組合總數(shù)為：的不同組合總數(shù)為： knC常記作常記作nk，稱為組合系數(shù)。，稱為組合系數(shù)。!kCPknkn你能證明嗎？你能證明嗎？24組合系數(shù)組合系數(shù) 又常稱為二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)橛殖７Q為二項(xiàng)式系數(shù)，因?yàn)樗霈F(xiàn)在下面的二項(xiàng)式展開的公式中：它出現(xiàn)在下面的二項(xiàng)式展開的公式中：nk 3、組合系數(shù)與二項(xiàng)式展開

12、的關(guān)系、組合系數(shù)與二項(xiàng)式展開的關(guān)系knknknbaknba0)(25令令 a=-1,b=101210nnnnnn)(nnnnnn2210利用該公式，可得到許多有用的組合公式：利用該公式，可得到許多有用的組合公式：令令 a=b=1,得得knknknbaknba0)(26nmnmxxx)()()(111由由221102010jnjjmjjnmjxjnxjmxjnm有有比較兩邊比較兩邊 xk 的系數(shù)，可得的系數(shù)，可得 iknimknmki 0運(yùn)用二項(xiàng)式展開運(yùn)用二項(xiàng)式展開274、n個(gè)不同元素分為個(gè)不同元素分為k組，各組元素?cái)?shù)目組，各組元素?cái)?shù)目分別為分別為r1,r2,rk的分法總數(shù)為的分法總數(shù)為nrrr

13、rrrnkk2121,!r1個(gè)個(gè)元素元素r2個(gè)個(gè)元素元素rk個(gè)個(gè)元素元素n個(gè)元素個(gè)元素211kkrrrnn rrCCC12! !knr rr因?yàn)橐驗(yàn)?8請(qǐng)回答：請(qǐng)回答：對(duì)排列組合，我們介紹了幾個(gè)計(jì)算公式對(duì)排列組合，我們介紹了幾個(gè)計(jì)算公式？排列：排列： 選排列，全排列，選排列，全排列， 分組分配分組分配. 組合；組合； 允許重復(fù)的排列允許重復(fù)的排列 ; 29三、古典概率計(jì)算舉例三、古典概率計(jì)算舉例例例1 把把C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母分七個(gè)字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張

14、地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：C ISN C EE問問: 在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果在多大程度上認(rèn)為這樣的結(jié)果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？30拼成英文單詞拼成英文單詞SCIENCE 的情況數(shù)為的情況數(shù)為故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為： 這個(gè)概率很小，這里算出的概率有如這個(gè)概率很小，這里算出的概率有如下的實(shí)際意義：下的實(shí)際意義：如果多次重復(fù)這一抽卡試如果多次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我們所關(guān)心的事件在驗(yàn)，則我們所關(guān)心的事件在1260次試驗(yàn)中次試驗(yàn)

15、中大約出現(xiàn)大約出現(xiàn)1次次 .42200079. 012601! 74p解：七個(gè)字母的排列總數(shù)為解：七個(gè)字母的排列總數(shù)為7！31 這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗(yàn)這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗(yàn)中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù)是魔術(shù). 具體地說，可以具體地說，可以99.9%的把握懷疑這的把握懷疑這是魔術(shù)是魔術(shù).32解：解：=0.3024允許重復(fù)的排列允許重復(fù)的排列問：問：錯(cuò)在何處？錯(cuò)在何處？例例2 某城市的電話號(hào)碼由某城市的電話號(hào)碼由5個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可能是從數(shù)字可能是從0- -9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求電

16、話號(hào)碼由五個(gè)不同數(shù)字組成的概率電話號(hào)碼由五個(gè)不同數(shù)字組成的概率. .計(jì)算樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件計(jì)算樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件所含樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)數(shù)方法不同所含樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)數(shù)方法不同.從從10個(gè)不同數(shù)字中個(gè)不同數(shù)字中取取5個(gè)的排列個(gè)的排列510510Pp 510510Cp 33例例3 設(shè)有設(shè)有N件產(chǎn)品件產(chǎn)品,其中有其中有M件次品件次品,現(xiàn)從這現(xiàn)從這N件中任取件中任取n件件,求其中恰有求其中恰有k件次品的概率件次品的概率.這是一種無放回抽樣這是一種無放回抽樣.解：令解：令B=恰有恰有k件次品件次品P(B)=？( )MNMknkP BNn次品正品M件件次品次品N-M件件正品正品34解：把解：把2n只

17、鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只只的分法總數(shù)為的分法總數(shù)為而出現(xiàn)事件而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為的分法數(shù)為n!,故故nnn2)!2(! 2! 2 ! 2)!2()!2(2 !2/)!2(!)(nnnnAPnn例例4 n雙相異的鞋共雙相異的鞋共2n只，隨機(jī)地分成只，隨機(jī)地分成n堆，堆，每堆每堆2只只 . 問問:“各堆都自成一雙鞋各堆都自成一雙鞋”(事件事件A)的的概率是多少？概率是多少？35 “等可能性等可能性”是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用是一種假設(shè)，在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可中，我們需要根據(jù)實(shí)際情況去判斷是否可以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的以認(rèn)為各基本事件或樣本點(diǎn)是等可能的.在在

18、實(shí)際應(yīng)用中，往往只能實(shí)際應(yīng)用中，往往只能“近似地近似地”出現(xiàn)等出現(xiàn)等可能，可能，“完全地完全地”等可能是很難見到的。等可能是很難見到的。1、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意、在應(yīng)用古典概型時(shí)必須注意“等可能性等可能性”的條件的條件.需要注意的是：需要注意的是：36 在許多場合，在許多場合，由對(duì)稱性和均衡性，由對(duì)稱性和均衡性，我我們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此們就可以認(rèn)為基本事件是等可能的并在此基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率基礎(chǔ)上計(jì)算事件的概率.37Ex1:擲兩顆均勻骰子，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和是擲兩顆均勻骰子，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和是8的概率。的概率。答案：答案：P=5/36擲一顆骰子，有擲一顆骰子，有6個(gè)等可能的結(jié)果，

19、擲兩顆骰子，個(gè)等可能的結(jié)果，擲兩顆骰子，有有66=36個(gè)等可能結(jié)果，設(shè)個(gè)等可能結(jié)果，設(shè)X為第一顆骰子擲出的為第一顆骰子擲出的點(diǎn)數(shù)，點(diǎn)數(shù)，Y為第二顆骰子擲出的點(diǎn)數(shù)。為第二顆骰子擲出的點(diǎn)數(shù)。A=X+Y=8,只有（只有（2，6），（），（3，5），（），（4，4），），（5，3），（），（6，2）。）。382、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.例如：從例如：從5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4只，這只，這4只只鞋子中鞋子中“至少有兩只配成一雙至少有兩只配成一雙”（事件（事件A）的概率是多少？的概率

20、是多少？ 下面的算法錯(cuò)在哪里？下面的算法錯(cuò)在哪里？4102815)(AP錯(cuò)在同樣的錯(cuò)在同樣的“4只配只配成兩雙成兩雙”算了兩次算了兩次.97321456810從從5雙中取雙中取1雙，從剩雙，從剩下的下的 8只中取只中取2只只39例如：從例如：從5雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4只，這只，這4只只鞋子中鞋子中“至少有兩只配成一雙至少有兩只配成一雙”（事件（事件A）的概率是多少？的概率是多少？ 正確的答案是：正確的答案是：410252815)(AP請(qǐng)思考：請(qǐng)思考：還有其它解法嗎？還有其它解法嗎？2、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須、在用排列組合公式計(jì)算古典概率時(shí)，必須注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也

21、不要遺漏注意不要重復(fù)計(jì)數(shù)，也不要遺漏.40“分球入箱分球入箱”問題問題設(shè)有設(shè)有n個(gè)球，每個(gè)都以相同的概率個(gè)球，每個(gè)都以相同的概率1/N(N n)落入落入N個(gè)箱個(gè)箱子中的每一個(gè)中。根據(jù)以下條件，分別求事件子中的每一個(gè)中。根據(jù)以下條件，分別求事件A=某預(yù)某預(yù)先指定的先指定的n個(gè)箱子中各有一球個(gè)箱子中各有一球的概率的概率p.條件：條件：1.球編號(hào)，每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限。球編號(hào)，每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限。2.球編號(hào)，每個(gè)箱子只容納一個(gè)球。球編號(hào)，每個(gè)箱子只容納一個(gè)球。3.球不編號(hào)，每個(gè)箱子只容納一個(gè)球。球不編號(hào)，每個(gè)箱子只容納一個(gè)球。4.球不編號(hào)，每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限球不編號(hào)，每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限

22、以以n=3,N=4為例計(jì)算。為例計(jì)算。41“分球入箱分球入箱”問題問題1.球編號(hào)，每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限。球編號(hào)，每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限。因?yàn)槊總€(gè)箱子容納的球數(shù)不限，所以這是一個(gè)可重因?yàn)槊總€(gè)箱子容納的球數(shù)不限，所以這是一個(gè)可重復(fù)的排列問題。復(fù)的排列問題。34! 3p32342“分球入箱分球入箱”問題問題2.球編號(hào)，每個(gè)箱子只容納一個(gè)球。球編號(hào)，每個(gè)箱子只容納一個(gè)球。這是一個(gè)選排列問題。這是一個(gè)選排列問題。34! 3Pp 4124643“分球入箱分球入箱”問題問題3.球不編號(hào)，每個(gè)箱子只容納一個(gè)球。球不編號(hào)，每個(gè)箱子只容納一個(gè)球。這是一個(gè)組合問題。這是一個(gè)組合問題。341Cp 4144“分球入箱分球入箱”問題問題4.球不編號(hào)，每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限球不編號(hào)，每個(gè)箱子容納的球數(shù)不限201p總情況數(shù)為：總情況數(shù)為：按占位法作，共有位置按占位法作，共有位置4+1+3-2=6（兩端不算）個(gè)，（兩端不算）個(gè)，三個(gè)球在三個(gè)球在4個(gè)箱子中的一種分布就對(duì)應(yīng)于三個(gè)球在這個(gè)箱子中的一種分布就對(duì)應(yīng)于三個(gè)球在這6個(gè)位置上的一種占位法，共有個(gè)位置上的一種占位法，共有2036C453、