概率論極限定理

1、平德一一.定義定義: a.X a,X 1,X Plim 0, , a ,r.v.) 2, 1,(nX 1.Pnnnnn 記記作作依依概概率率收收斂斂于于則則稱(chēng)稱(chēng)序序列列有有若若對(duì)對(duì)于于數(shù)數(shù)是是一一個(gè)個(gè)常常序序列列是是設(shè)設(shè) a性質(zhì)性質(zhì): b). g(a,)Y ,g(X ,b) (a, y) g(x, b,Y a,X PnnPnPn則則連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)在在又又設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)1. 1. 大數(shù)定律大數(shù)定律 平德).(1|11|lim ,0,11 , .211n11或或大大數(shù)數(shù)法法則則服服從從大大數(shù)數(shù)定定律律則則稱(chēng)稱(chēng)序序列列恒恒有有即即對(duì)對(duì)任任意意的的若若設(shè)設(shè)是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列定定義義nniin

2、iiniiPniinXEXnXnPEXnXnX 平德 切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X1, X2, , Xn, ,相互獨(dú)立或兩兩不相關(guān)相互獨(dú)立或兩兩不相關(guān), 期望與方差都存在期望與方差都存在, 并且方差有公共的上界并且方差有公共的上界.則序列則序列Xn服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律 切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況：切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況：設(shè)設(shè)r.v.X1, X2, , Xn, 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 且具有相同的數(shù)學(xué)期且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差望和方差:,i ,DXEXii212 則序列則序列Xn服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律二二. . 大數(shù)定律大數(shù)定律 平德.pnn , 0 pnn

3、 Plim 1 pnn Plim 0,PAAnAn 即即或或有有對(duì)對(duì)于于設(shè)設(shè)nA是是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù), p是事件是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率, 則則2. 2. 伯努利定理伯努利定理: :平德3. 辛欽定理辛欽定理: : 設(shè)設(shè) r.v. X1, X2, , Xn, 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 服從同一分布服從同一分布, 且具且具數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 1. Xn1 Plim 0, ), 2, , 1k( ,)X(En1kknk 有有則對(duì)則對(duì)平德 PniinXnn,X,X,X.v .r122112時(shí)時(shí)，則則指指數(shù)數(shù)分分布布，且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的

4、均均服服從從參參數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)例例（03年）年）平德服服從從中中心心極極限限定定理理。則則稱(chēng)稱(chēng)即即：標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布函函數(shù)數(shù)的的分分布布函函數(shù)數(shù)序序列列收收斂斂于于若若令令都都存存在在，與與定定義義：設(shè)設(shè)XexYPlimY,n,DXEXXY,iDXEX,X,X,X.v . rntxnnnniiniiniiniin2111212212121 2. 中心極限定理中心極限定理 平德服服從從中中心心極極限限定定理理。則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和方方差差都都存存在在同同一一分分布布相相互互獨(dú)獨(dú)立立且且服服從從設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量理理獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布的的中中心心極極定定),.

5、(,. 121nnXdiiXXX平德11111111 niiniiniiniiniiniiniiniiDXEXbDXEXXDXEXaPbXaP)()(1111 niiniiniiniiDXEXaDXEXb平德2. 2. 德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理: : dt.e21x)p1(npnpPlim x, p), n,(b) 2, , 1n(.v . r 2t-x-nnn2 恒恒有有對(duì)對(duì)于于服服從從參參數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)平德1npqnpbnpqnpXnpqnpaPbaPniin )()(npqnpanpqnpb 平德3. 李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理: 則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)若若存

6、存在在記記差差具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和方方相相互互獨(dú)獨(dú)立立設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 , 0-X EB1 ,n 0, ,B 2, 1,k, 0)X(D,)X(E: ,) 2, 1,(nXn1k2kk2nn1k2k2n2kkkkn .dt2te21 xBXPlim )x(Flim x)x(FB)X)X(D)X(EXZx2nn1kkn1kknnnnnn1kkn1kkn1kkn1kkn1kkn 滿(mǎn)滿(mǎn)足足任任意意的的對(duì)對(duì)的的分分布布函函數(shù)數(shù)平德例：對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來(lái)參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一例：對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來(lái)參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無(wú)家長(zhǎng)、個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無(wú)家長(zhǎng)、1名家

7、長(zhǎng)、名家長(zhǎng)、2名家長(zhǎng)來(lái)名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的概率分別為參加會(huì)議的概率分別為0.05， 0.8，0.15。若學(xué)校共有。若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立，且服從名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立，且服從同一分布。求：同一分布。求：(1)參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)超過(guò)參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)超過(guò)450的概率；的概率；(2)有一名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生人數(shù)不多于有一名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率。的概率。平德例例1. 設(shè)考研輔導(dǎo)班聽(tīng)課的學(xué)生人數(shù)設(shè)考研輔導(dǎo)班聽(tīng)課的學(xué)生人數(shù)X是服從參數(shù)為是服從參數(shù)為200的的泊松隨機(jī)變量，負(fù)責(zé)這門(mén)課的教授決定，如果報(bào)名人數(shù)泊松隨機(jī)變量，負(fù)責(zé)這門(mén)課的教授

8、決定，如果報(bào)名人數(shù)不少于不少于200人，就分成兩個(gè)班授課，否則在一個(gè)班授課。人，就分成兩個(gè)班授課，否則在一個(gè)班授課。試求該教授分兩個(gè)班授課的概率。試求該教授分兩個(gè)班授課的概率。平德例例2. 在一家保險(xiǎn)公司里有在一家保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn)人參加保險(xiǎn), 每人每年付每人每年付12元保費(fèi)元保費(fèi), 在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006, 死亡者其死亡者其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元賠償費(fèi)元賠償費(fèi). 求：求：(1) 保險(xiǎn)公司沒(méi)有利潤(rùn)的概率為多大？保險(xiǎn)公司沒(méi)有利潤(rùn)的概率為多大？(2) 保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于60000元的概率

9、為多大？元的概率為多大？例例3. 設(shè)某車(chē)間有設(shè)某車(chē)間有200臺(tái)車(chē)床臺(tái)車(chē)床, 每臺(tái)車(chē)床開(kāi)工率為每臺(tái)車(chē)床開(kāi)工率為0.6, 假定假定每臺(tái)車(chē)床開(kāi)工與否相互獨(dú)立每臺(tái)車(chē)床開(kāi)工與否相互獨(dú)立. 若每臺(tái)車(chē)床開(kāi)工時(shí)耗若每臺(tái)車(chē)床開(kāi)工時(shí)耗電電1kw, 問(wèn)要以問(wèn)要以99.9%以的概率保證這個(gè)車(chē)間不致因供電不以的概率保證這個(gè)車(chē)間不致因供電不足而影響生產(chǎn)，需供應(yīng)多少電足而影響生產(chǎn)，需供應(yīng)多少電量量？平德練習(xí)練習(xí):1. 抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則認(rèn)為個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受，問(wèn)應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為這批產(chǎn)品不能接受，問(wèn)應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不能被接受的概率達(dá)到的一批產(chǎn)品不能被接受的概率達(dá)到0.9? ()2. 一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由n個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個(gè)部件的可靠度為每個(gè)部件的可靠度為0.9，且必須至少有，且必須至少有80%的部件工作的部件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)工作，問(wèn)才能使整個(gè)系統(tǒng)工作，問(wèn)n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠度為度為0.95? 3. 設(shè)