用C語言求解N階線性矩陣方程Ax=b的簡單解法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上用C語言求解N階線性矩陣方程Ax=b的簡單解法一、描述問題：題目：求解線性方程組Ax=b，寫成函數(shù)。其中，A為n×n的N階矩陣，x為需要求解的n元未知數(shù)組成的未知矩陣，b為n個(gè)常數(shù)組成的常數(shù)矩陣。即運(yùn)行程序時(shí)的具體實(shí)例為：轉(zhuǎn)化為矩陣形式（為檢驗(yàn)程序的可靠性，特意選取初對角線元素為0的矩陣方程組）即為：二、分析問題并找出解決問題的步驟：由高等代數(shù)知識可知，解高階線性方程組有逆矩陣求解法、增廣矩陣求解法等，而在計(jì)算機(jī)C語言中，有高斯列主消元法、LU分解法、雅克比迭代法等解法。為了與所學(xué)的高等代數(shù)知識相一致，選擇使用“高斯簡單迭代消元法”，與高等代數(shù)中的“增廣矩陣

2、求解法”相一致。以下簡述高斯消元法的原理：算法基本原理：首先，為了能夠求解N階線性方程組（N由用戶輸入），所以需要定義一個(gè)大于N維的數(shù)組adim+1dim+1（dim為設(shè)定的最大維數(shù)，防止計(jì)算量溢出），當(dāng)用戶輸入的階數(shù)N超過設(shè)定值時(shí)提示重啟程序重新輸入。進(jìn)而，要判斷方程組是否有解，無解提示重啟程序重新輸入，有解的話要判斷是有無數(shù)不定解還是只有唯一一組解，在計(jì)算中，只有當(dāng)原方程組有且只有一組解時(shí)算法才有意義，而運(yùn)用高等代數(shù)的知識，只有當(dāng)系數(shù)矩陣對應(yīng)的行列式 |A|0 時(shí)，原方程組才有唯一解，所以輸入系數(shù)矩陣后要計(jì)算該系數(shù)矩陣的行列式 |A|（定義了getresult(n)函數(shù)計(jì)算），當(dāng)行列式 |

3、A|=0 時(shí)同樣應(yīng)提示重啟程序重新輸入， |A|0 時(shí)原方程組必然有且僅有唯一一組解。判斷出方程組有且僅有唯一一組解后，開始將系數(shù)矩陣和常數(shù)矩陣（合并即為增廣矩陣）進(jìn)行初等行變換（以 a11 為基元開始，將第j列上j行以下的所有元素化為0），使系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為上三角矩陣。這里要考慮到一種特殊情況，即交換到第j-1列后，第j行第j列元素 ajj=0 ，那此時(shí)不能再以 ajj 為基元。當(dāng)變換到第j列時(shí)，從j行j列的元素 ajj 以下的各元素中選取第一個(gè)不為0的元素，通過第三類初等行變換即交換兩行將其交換到 aj

4、j 的位置上，然后再進(jìn)行消元過程。交換系數(shù)矩陣中的兩行，相當(dāng)于兩個(gè)方程的位置交換了。再由高斯消元法，將第j列元素除 ajj 外第j行以下的其他元素通過第二種初等行變換化為0，這樣，就能使系數(shù)矩陣通過這樣的行變換化為一個(gè)上三角矩陣，即，當(dāng)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換時(shí)，常數(shù)矩陣也要進(jìn)行對應(yīng)的初等行變換，即此時(shí) 那么有接下來，進(jìn)行“反代”，由 可求出  ，再往上代入  即可求出  以此類推，即可從 xn推到 xn-1 ，再推到xn-2 直至 x

5、1 。至此，未知矩陣x的所有元素就全部求出，即求出了原方程組有且僅有的唯一一組解。基本原理示意圖：三、編寫程序1. #include<stdio.h>2. #include<stdlib.h>3. #include<math.h>4. #define dim 10                              /定義最大的維數(shù)10，為防止計(jì)

6、算值溢出5. double adim+1dim+1,bdim+1,xdim+1;   /定義雙精度數(shù)組6. double temp;7. double getarray(int n);                     /定義輸入矩陣元素的函數(shù)8. double showarray(int n);               

7、60;    /定義輸出化簡系數(shù)矩陣過程的函數(shù)9. int n,i,j,k,p,q;10. double main()11. 12.    13. printf("請輸入系數(shù)矩陣的階數(shù)n(n<10):");14. scanf("%d",&n);15.     /*判斷矩陣階數(shù)是否超過界定值*/16.     if(n>dim)17.     18.         p

8、rintf("錯(cuò)誤：元數(shù)超過初設(shè)定的值%d，請重啟程序重新輸入n",dim);19.         exit(0);20.     21.22.     /*輸入系數(shù)矩陣和常數(shù)矩陣（即增廣矩陣）的元素*/23.     getarray(n);24.     25.     /*使對角線上的主元素不為0*/26.     for(j=1;j<=n-1;j+)27.  

9、  28.         if(ajj=0)29.             for(i=j+1;i<=n;i+)30.             31.                 if(aij!=0)32.       

10、;          33.                     /*交換增廣矩陣的第i行與第j行的所有元素*/34.                     for(k=1;k<=n;k+)35.       

11、;              36.                         aik+=ajk;37.                         ajk=aik-aj

12、k;38.                         aik-=ajk;39.                     40.                    

13、; bi+=bj;41.                     bj=bi-bj;42.                     bi-=bj;43.                 44.   &

14、#160;             continue;       /找到第j列第一個(gè)不為0的元素即跳回第一層循環(huán)45.             46.     47.     /*開始用高斯簡單迭代消元法進(jìn)行求解計(jì)算*/48.     for(j=1;j<=n-1;j+)49.     50.   &

15、#160;     /*使系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為上三角矩陣，常數(shù)矩陣相應(yīng)進(jìn)行變換*/51.         for(i=j+1;i<=n;i+)52.         53.             temp=aij/ajj;54.             bi=bi-temp*b

16、j;55.             for(k=1;k<=n;k+)56.                 aik=aik-temp*ajk;57.             printf("n通過初等行變換增廣矩陣矩陣C化為：n");58.        

17、60;   /*輸出進(jìn)行初等行變換的過程*/59.             printf("C=");60.             for(p=1;p<=n;p+)61.             62.             &#

18、160;   for(q=1;q<=n;q+)63.                     printf("t%.3f",apq);64.                 printf("t%.3fn",bp);65.          &#

19、160;  66.             printf("n");67.         68.     69.70.     /*輸出最終的增廣矩陣C*/71.     showarray(n);72.73.     /* 開始按順序反代求解xi(i=n,n-1,n-2,2,1)*/74.     xn=bn/ann;75.

20、     for(j=n-1;j>=1;j-)76.     77.         xj=bj;78.         for(k=n;k>=j+1;k-)79.             xj=xj-xk*ajk;80.         xj=xj/ajj;81.  

21、60; 82.     printf("n原方程組的唯一一組實(shí)數(shù)解為：n");83.     for(j=1;j<=n;j+)84.         printf("x%d= %.3fn",j,xj);85. 86.87. /*定義矩陣輸入函數(shù)getarray(n)并打印以作檢查*/88. double getarray(int n)89. 90. printf("n請輸入該矩陣各行的實(shí)數(shù)（以空格隔開）n");91. for(i=

22、1;i<=n;i+)92.     93. printf("n第%d行:t",i);94. for(j=1;j<=n;j+)95.         96.             scanf("%lf",&aij);97.             printf("a%d%d= %.3f&q

23、uot;,i,j,aij);98.             printf("n");99.         100.     101.     printf("nA=");102. for(i=1;i<=n;i+)103.     104. for(j=1;j<=n;j+)105. printf("t%.3f",aij);10

24、6. printf("n");107.     108.     printf("n");109.     /*輸入常數(shù)矩陣的各個(gè)數(shù)*/110.     for(i=1;i<=n;+i)111.     112.         printf("請輸入常數(shù)b%d = ",i);113.         scanf

25、("%lf",&bi);114.     115. 116.117. /*定義增廣矩陣C輸出函數(shù)showarray(n)*/118. double showarray(int n)119. 120. printf("n通過初等行變換最終增廣矩陣矩陣C化為：n");121.     printf("C=");122.     for(i=1;i<=n;i+)123.     124.         for(j=1;j<=n;j+)125.             printf("t%.3f",aij);126.