函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的左右極限

1、函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的左右極限摘要：本文通過例子討論函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限的區(qū)別，給出相應(yīng)的結(jié)論，并引用一個重要的定理導(dǎo)數(shù)極限定理介紹了兩者的關(guān)系，在此定理的證明過程中簡單的解釋了用羅比達(dá)法那么求極限時失效的原因，并在此根底上，以定理的形式給出了函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限相等的充分條件。關(guān)鍵詞：右(左)導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的右左極限 關(guān)系 區(qū)別 Unilateral Derivate of Function and the Unilateral Limit of Derived FunctionAbstract: This paper discussed the differences

2、 between the unilateral derivate and the unilateral limit of derived function by some examples.And put forward the corresponding conclusion .By citing an important theory-the limit of derivative , introduced the relationship between them, and give a brief explanation why LHospital loses its value on

3、 solving the problem of the limit of function in the process of proving the theorem. After this,We find a sufficient condition about the unilateral derivate is equalled to the unilateral limit of derived function .Key words: The Right(Left) Derivative the Right(Left) Limit of Derived Function Relati

4、onship Difference0. 引言 在很多實際問題中，人們不僅要研究變量的變化規(guī)律，而且要研究變量變化的快慢程度。如研究物體運(yùn)動的速度、研究工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的增長速度等等。導(dǎo)數(shù)正是研究變量變化快慢的有效工具。導(dǎo)數(shù)反響了函數(shù)相對于自變量變化而變化的快慢程度，即函數(shù)的變化率。它使得人們能夠使用數(shù)學(xué)工具描述事物變化的快慢及解決一系列與之相關(guān)的問題，所以在各領(lǐng)域有著極其廣泛的應(yīng)用。為了更好的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)去解決實際問題，我們需要進(jìn)一步的研究導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)和特點，而單側(cè)導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的單側(cè)極限是研究導(dǎo)數(shù)的一個重要方面。單側(cè)導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的單側(cè)極限是微積分中兩個重要的概念，在求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)在端點處的導(dǎo)數(shù)、

5、傅里葉級數(shù)中都有其廣泛的應(yīng)用。本文就來討論一下單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的單側(cè)極限的區(qū)別與聯(lián)系，并介紹分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)在端點處的導(dǎo)數(shù)的一種求解方法。文中引用了相關(guān)的參考文獻(xiàn)，其中文獻(xiàn)1、2介紹了單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限的定義，3-6介紹了兩者的區(qū)別與聯(lián)系及相等的充分條件，7 -10介紹了分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)在端點處的導(dǎo)數(shù)的求解方法，并舉例運(yùn)用了此方法。 1. 單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限的定義定義1：由于，由極限存在的定義，函數(shù)在處可導(dǎo)的充分必要條件是相應(yīng)的左右極限和存在且相等，我們把他們分別稱為在處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。定義2：符號表示函數(shù)在點處導(dǎo)函數(shù)的右左極限，即.2. 單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限的區(qū)

6、別 函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限是兩個完全不同的概念，微積分的初學(xué)者往往認(rèn)為因此在求分段函數(shù)在分段點處的導(dǎo)數(shù)、傅里葉級數(shù)或函數(shù)在區(qū)間端點處的導(dǎo)數(shù)時往往不能得到正確的結(jié)果，在一般的情況下，兩者并沒有必然的聯(lián)系方便起見下面以函數(shù)的右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的右極限為代表說明。我們知道，如果函數(shù)在點處可導(dǎo)，那么在點處的右導(dǎo)數(shù)肯定存在。這一點是毫無疑問的，而函數(shù)在點處的導(dǎo)函數(shù)的右極限存在，那么說明函數(shù)在點處的某右鄰域內(nèi)的每一點都可導(dǎo)，但需要注意的是函數(shù)在點處卻未必可導(dǎo)。這一個小小的細(xì)節(jié)往往被一些學(xué)生甚至資歷較高的老師所無視。我們先看一個例題。 例1 設(shè)函數(shù)，判斷在是否可導(dǎo)。錯誤解法：當(dāng)時， 當(dāng)時， 當(dāng)時， 即

7、 故正確：但是不存在故不存在，即在處不可導(dǎo)。從這個例題中可以看出，與并沒有必然的聯(lián)系。為了更深入的探討兩者之間的關(guān)系，我們來看幾個具體的例子，從這些例題中摸索其中的內(nèi)涵。 例2 設(shè)函數(shù)求與解：當(dāng)時，故而不存在故不存在，例3 設(shè)函數(shù)解：當(dāng)時，故不存在而因此不存在，例4 設(shè)函數(shù)解： 故在處不可導(dǎo)。 又 故 所以，但在處不可導(dǎo)。例5 設(shè)函數(shù)解：當(dāng)時，故 而 同理，故在處可導(dǎo)。 所以，且在處可導(dǎo)。由上面5個例子 ，我們很容易發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的右導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的右極限沒有必然的聯(lián)系，即與可能一個存在，另一個不存在，如上面的例2和例3;也可能兩者都存在但不相等，如例4;也可能兩者都存在且相等如例5.3 單側(cè)

8、導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限的聯(lián)系 對于例5中這樣的題目，有些讀者不加驗證誤把與認(rèn)為相等的計算方法也能奏效，但前提是函數(shù)必須滿足一些特定的條件。下面我們來看一個重要的定理，這個定理和其證明過程表現(xiàn)了單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限的聯(lián)系，即求單側(cè)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)極限法。 定理1: 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在，那么在點處可導(dǎo)，且 證明：分別按左右導(dǎo)數(shù)來證明上式。 1在上滿足拉格朗日定理的條件， 那么 (*) 由于故當(dāng)時， 對上式兩邊同時取極限，得 ( 2 ) 同理可得 由于存在，故 因此 即 存在，且 本定理說明了函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)在該點處的極限的關(guān)系，對于一般的函數(shù)而言，假設(shè)在某點處

9、極限存在時，并不能保證它在該點是連續(xù)的，而導(dǎo)函數(shù)那么具有這個特點，即只要導(dǎo)函數(shù)的極限存在，那么其導(dǎo)函數(shù)就一定是連續(xù)的。在此定理的證明過程中，需要我們特別注意的是，當(dāng)不存在時，并不能由此判定不存在，因為當(dāng)不存在時，有可能存在，這是因為，對于某些特殊的函數(shù)而言，*式中的可能有一個，也可能有很多個，當(dāng)連續(xù)的變化而從右側(cè)逼近時，對應(yīng)的并不一定能夠連續(xù)的變化，例如可能構(gòu)成一個以為極限的數(shù)列，并且其對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值數(shù)列可能會有極限，而。所以可能存在。例中如例2中的函數(shù)就是符合上述情況的一個例子，對于其中具體的細(xì)節(jié)這里就不討論了。大家很容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)用羅比達(dá)法那么求一些函數(shù)的極限時有時會失效，其中的原因就與上述所

10、討論的情況類似。我們知道在羅比達(dá)法那么的證明過程有等式在與之間 故同理 當(dāng)不存在時，有可能存在，所以可能存在，但我們需要用別的方法求解了。定理1說明了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的極限的聯(lián)系，假設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在一點處存在極限，那么該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點處必連續(xù)。在此定理的證明過程中我們得到了函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限相等的結(jié)論，并成功的運(yùn)用了此結(jié)論，對于例5中的函數(shù)，此結(jié)論也成立，那么，函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的左右極限到底有什么樣的聯(lián)系，在什么樣的情況下可以相等呢?4 函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的左右極限相等的充分條件定理2：假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，且，那么函數(shù)在點處右

11、左可導(dǎo)，且 。證明同定理1類似。 需要注意的是定理2的條件是充分的，不是必要的。 如例3中的函數(shù) 由于 故 即在處可導(dǎo)。 而 但 不存在所以定理2的條件是充分的，不是必要的。 推論：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)存在有限的導(dǎo)數(shù)，假設(shè)其導(dǎo)函數(shù)在點存在右極限有限，即為有限數(shù)記為，那么在點存在右導(dǎo)數(shù)，且，對于點左側(cè)有類似的結(jié)論。 分段函數(shù)在分段點處的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)在區(qū)間端點處的導(dǎo)數(shù)我們一般都是用導(dǎo)數(shù)的定義去求，但這種方法計算繁雜，容易出錯，如果所給的函數(shù)滿足定理2及其推論的條件，我們利用導(dǎo)數(shù)的極限法去求解題目就簡單的多了。下面我們來看幾個例子。 例6 設(shè)函數(shù) 在處可導(dǎo)，求、的值。解：由在處可導(dǎo)，故在處連續(xù)故 即有

12、 又時， 時， 故 又因 在處可導(dǎo) 故，即，解出例7 (1) 設(shè)函數(shù)，求與解：函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且在上連續(xù)。故由定理2，得到 (2) 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：首先易得進(jìn)一步考慮在處的導(dǎo)數(shù)，在此之前，我們只能用導(dǎo)數(shù)的定義來處理，現(xiàn)在那么可以利用導(dǎo)數(shù)極限定理。由于因此在處連續(xù)，又因為所以，依據(jù)導(dǎo)數(shù)極限定理推知在處可導(dǎo)，且由上面兩個例題可以看出，在求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，區(qū)間端點處的導(dǎo)數(shù)用定理1，定理2及其推論是非常有效的。為我們考察函數(shù)在某點的可導(dǎo)性提供了一種新的方法，而且比原來的僅依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義去判斷的方法更簡便。從而為高等數(shù)學(xué)的教與學(xué)提供了一個極為新穎而有效的方法。參考文獻(xiàn)1 陳紀(jì)修, 於崇華, 金路. 數(shù)學(xué)分析上)M.北京：高等教育出版社，1999. 127-128.2 趙德讓. 單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的單側(cè)極限J. 青海師范大學(xué)學(xué)報， 2002,2(2):15-16.3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析上)M. 北京：高等教育出版社, 2001. 122-123.4 催廣衡，沈纓. 導(dǎo)數(shù)的極限與單側(cè)導(dǎo)數(shù)J. 江南大學(xué)學(xué)報，1994,8(3): 22-23.5 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M. 北京：高等教育出版社, 1988. 239-241.6 鄧書顯，于紅霞. 導(dǎo)函數(shù)連續(xù)性定理及其推論J. 河南紡織高等