清華大學(xué)2017年暑期學(xué)校測(cè)試真題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上清華大學(xué)2017年暑期學(xué)校測(cè)試真題1. 已知，其中a，b，c為已知參數(shù)，且a0，c>0。則以下判斷中正確的有_。f(x)關(guān)于點(diǎn)(0，b)成中心對(duì)稱；f(x)可能在(0，+)上單調(diào)遞增；f(x)有界；g(x)=0的解可能為±1，±2【解答】 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且，于是函數(shù)f(x)關(guān)于(0，b)中心對(duì)稱，命題正確。 當(dāng)x > 0時(shí)，有，于是函數(shù)f(x)在兩側(cè)的單調(diào)性必然不同，命題錯(cuò)誤。由于，于是f(x) 的值域?yàn)椋M(jìn)而f(x)為有界函數(shù)，命題正確。方程即，它的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是b=0，若g(x)=0的解為x=±1，&#

2、177;2，則關(guān)于x的方程的解集為1，2或-1，-2，從而滿足要求，命題正確。772和f(x)=x+2滿足要求，命題正確，如圖2. 已知無窮數(shù)列滿足，則的取值范圍是_。【解答】情形一=0，則=0(nN*)，符合題意。情形二 0，則0(nN*)，根據(jù)題意，于是，因此，于是，。綜上所述，的取值范圍是3. 已知，若存在，使得，則a的取值范圍是_。【解答】根據(jù)題意，關(guān)于x的方程的兩根之差的絕對(duì)值不小于2，也即，解得a的取值范圍是-1，1【解答】-1，14. 黑板上寫有1，2，2017這2017個(gè)數(shù)，每次操作任意擦去其中的某三數(shù)a，b，c，寫上a+b+c除以11的余數(shù)，則黑板上最后剩下一個(gè)數(shù)的所有可能為

3、_。【解答】由于1+2+2017模11的余數(shù)為10，于是黑板上最后剩下的一個(gè)數(shù)模11的余數(shù)必然為10，必然在集合中，容易構(gòu)造最后一個(gè)數(shù)為10，21，32，2012中的任意一個(gè)數(shù)的例子5. 已知雙曲線，為其右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若左支上存在一點(diǎn)P使得中點(diǎn)M滿足，則雙曲線的離心率e的取值范圍是_?！窘獯稹吭O(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，則根據(jù)中位線定理，于是解得因此雙曲線的離心率的取值范圍是，6. 曲線C：，以下判斷中正確的有_。曲線C過點(diǎn)(0，0)；曲線C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是-2，2曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱；P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，A，B的坐標(biāo)為(0，1)和(0，-1)，則PAB的面積的最大值為【解答】記。由于

4、f(0，0)=13，于是點(diǎn)(0，0)不在曲線C上，命題錯(cuò)誤；根據(jù)題意，于是，等號(hào)當(dāng)x = 0時(shí)取得，結(jié)合連續(xù)性可知曲線C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是-2，2，命題正確；由于，于是C關(guān)于x軸對(duì)稱，命題正確；根據(jù)，點(diǎn)P位于(0，2)時(shí)，PAB的邊AB上的高取得最大值為2，此時(shí)PAB面積取得最大值為2，命題錯(cuò)誤。7. 已知空間一球，SC為其直徑且|SC|=4，A，B為球上兩點(diǎn)，滿足|AB|=，且ASC=BSC=30°，則四面體S-ABC的體積為_?！窘獯稹坑捎赟C為球的直徑，于是SAC=SBC=90°于是SAC與SBC全等，進(jìn)而SA=SB， CA=CB設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則SMAB，

5、CMAB推出AB平面SMC，所以ABSC。在SAC中作AHSC于點(diǎn)H，連結(jié)BH，則SC平面ABH。因此8. 已知一個(gè)四棱錐的三視圖如下，該四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，則直角三角形的個(gè)數(shù)為_?！窘獯稹?3如圖，直角三角形有PAD，PDC，PAB9. 已知整數(shù)a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)，其中abc，且b=10，則符合條件的(a，b，c)的個(gè)數(shù)為_?！窘獯稹?5根據(jù)題意a 10 c < a+10，于是符合條件的(a，b，c)的個(gè)數(shù)為。10. 在一個(gè)的表格中填入8個(gè)1，使得任意每行以及每列都有2個(gè)1，則不同的填法數(shù)為_?！窘獯稹堪衙啃械奶罘ㄓ洖榈谝活悾篈：1100，：0011第二類：B：1010，：01

6、01第三類：C：1001，：0110情形一：4行的填法均為間一類，則必然為，有種填法。情形二：4行的填法為兩類，則必然為，有種填法；情形三：4行的填法為三類，則必然有某列中有3(或以上)個(gè)1或者1(或以下)個(gè)1，不可能因此不同的填法總數(shù)為9011. 已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，面積為S，且，求3b-a的最大值_。【解答】根據(jù)余弦定理于是，根據(jù)正弦定理， 等號(hào)當(dāng)時(shí)取得，因此求最大值為2.12. 投擲一枚均勻的硬幣，若出現(xiàn)兩次正面朝上的情況即停止投擲，問總投擲次數(shù)的數(shù)學(xué)期望_。【解答】設(shè)所求數(shù)學(xué)期望為x，考慮前兩次投出的結(jié)果可得解得。13. 已知曲線，試證明：對(duì)上的任意直徑AB，均存在上的

7、動(dòng)點(diǎn)P，使得PA,PB均與相切_?！窘獯稹坑C命題即過為曲線上任意一點(diǎn)作的兩條切線，這兩條切線互相垂直。設(shè)過點(diǎn)的橢圓的切線為其中，則根據(jù)直線與橢圓位置關(guān)系的等效判別式，有，即，于是根據(jù)韋達(dá)定理以及可得兩條切線互相垂直，命題得證。14. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，其中。(1) 求的最大值；(2) 求的最小值。【解答】(1) 根據(jù)題意，于是等號(hào)當(dāng)時(shí)取得，因此所求最大值為9。(2)注意到而于是又取以及，則有于是的最小值為115. 已知羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)滿足：f(x)在a，b上連續(xù)；f(x)在(a，b)上可導(dǎo)；f(a)=f(b)，則存在：(a，b)，使得。(1) 試證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x

8、)滿足： f(x)在a，b上連續(xù)；f(x)在(a，b)上可導(dǎo)，則存在(a，b)，使得f(a)-f(b)=(a-b)；(2) 設(shè)f(x)的定義域與值域均為0，1，f(0)=0，f(1)=1且f(x)在其定義域上連續(xù)且可導(dǎo)。求證：對(duì)任意正整數(shù)，存在互不相同，使得。對(duì)該函數(shù)應(yīng)用羅爾中值定理即得。(3) 把區(qū)間0，1劃分為n個(gè)區(qū)間，對(duì)f(x)在每個(gè)區(qū)間應(yīng)用拉格朗日中值定理，可得存在，使得，其中，把這n個(gè)等式相加即得。16. 記 |A| 表示集合A中的元素個(gè)數(shù)，A+B=a+b | aA，bB，若，則稱集合A有性質(zhì)T。(1) 設(shè)A=，為等比數(shù)列且各項(xiàng)為正有理數(shù)，證明A有性質(zhì)T。(2) 已知A，B均有性質(zhì)T，且|A|=|B|=n，求 |A+B| 的最小值。【解答】(1) 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，且，其中s，tN*，(s，t)=1只需要證明若，則，也即也即也即由于左邊是t的倍數(shù)而右邊不是t的倍數(shù)，因此命題得證。(3) 集合A有性質(zhì)T等價(jià)于集合A中