矩陣可逆的判別方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 矩陣可逆的若干判別方法學(xué)院：數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院 班級：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)1班 姓名：黃新菊 學(xué)號：內(nèi)容摘要：學(xué)了這么久高等代數(shù)，從學(xué)了矩陣之后，幾乎每節(jié)都離不開矩陣。矩陣是一個主要研究對象和重要工具，其中在這期間，可逆矩陣是貫穿其中出現(xiàn)的最頻繁的詞語?？赡婢仃囀蔷仃囘\(yùn)算理論的整體不可或缺的一部分。例如，分塊矩陣的運(yùn)算、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型再化為規(guī)范型、線性子空間、同構(gòu)、矩陣線性變換、特征值與特征向量、對角矩陣等，都有用到可逆矩陣，矩陣可逆的性質(zhì)，可以解決很多數(shù)學(xué)問題，是解決實(shí)際問題比較常用的工具之一。并且還可以物理、經(jīng)濟(jì)等各種問題。有重要的理論和實(shí)踐意義。所以，研究、學(xué)習(xí)矩

2、陣可逆的若干判別方法，還是很有必要的，有重要的意義。關(guān)鍵詞：矩陣、可逆矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、初等變換、線性變換、線性子空間、判別方法。導(dǎo)言：高等代數(shù)已經(jīng)學(xué)了差不多兩個學(xué)期。自從開始學(xué)了矩陣，矩陣在高等代數(shù)中就起到了不可或缺的作用。前面學(xué)的多項(xiàng)式、行列式、線性方程組原來也是為了學(xué)習(xí)矩陣奠定了基礎(chǔ)。而矩陣的可逆性在其中起到了非常大的作用。突然發(fā)現(xiàn)，在矩陣的乘法運(yùn)算中，可逆矩陣就像有理數(shù)的倒數(shù)一樣，可逆矩陣是構(gòu)成矩陣運(yùn)算體系中非常重要的部分。為了更加深入了解、學(xué)習(xí)、解決處理矩陣計(jì)算體系的各種題目，我決定用“矩陣可逆的若干判別方法”為題目作為論文的題目。我在圖書館查了很長時間的資料，并且

3、還上網(wǎng)百度瀏覽了很多有關(guān)的網(wǎng)頁。希望可以由此更加深入理解矩陣的逆的性質(zhì)、定義、判別方法等。整理了所有資料，總結(jié)了以下的矩陣的逆的判別方法。正文矩陣可逆的若干判別方法首先介紹一些下面要用性質(zhì)及定義。有關(guān)矩陣的逆的定義：定義1：級方陣稱為可逆的，如果有n級方陣B，使得AB=BA=E， 這里E是級單位矩陣. 即稱A可逆，B為A的逆。 ()定義2：設(shè) 矩陣 中元素的代數(shù)余子式，矩陣 稱為的伴隨矩陣。定義3：矩陣是可逆的充分必要條件是非退化，而。定義4：數(shù)域P上的n×n矩陣稱為非退化的，如果；否則稱為退化的。定義5：矩陣的三種初等行（列）變換：u 互換某兩行（列）的位置；u 用非零的數(shù)乘某一行

4、（列）；u 把某一行（列）的倍數(shù)加到另一行（列）。有關(guān)矩陣的逆的性質(zhì):性質(zhì)1:;性質(zhì)2:;性質(zhì)3:;性質(zhì)4:;性質(zhì)5:矩陣A與它的伴隨矩陣具有相同的可逆性.即A可逆 矩陣可逆的若干判別方法 定義判別法設(shè)對于階方陣A,如果存在n階方陣B滿足條件AB=E且BA=E,就稱A可逆，并且稱B為A的逆，記B=。這種方法可以直接找到矩陣的逆，進(jìn)而根據(jù)矩陣可逆的定義來證明矩陣是可逆的。此種方法大多適用于簡單矩陣和一些非具體矩陣的判斷。eg：A=1101,求A-1. 解：取矩陣1-101，由于 11011-101=1001， 1-=1001。即A-1=1-101 矩陣行列式判別法矩陣A可逆的充分必要條件是A是方

5、陣且A0（非退化）。eg：A=2231-10-121，判斷A是否可逆。解：由于A=2231-10-121=-10.則A可逆。 秩判別法n 階矩陣A可逆的充分必要條件是矩陣A的秩為n. (r(A)=n）.eg：設(shè)矩陣A=，判斷矩陣可逆。解：由 知，矩陣A為3階矩陣，其秩也為3.則矩陣A=可逆。 伴隨矩陣判別法矩陣是可逆的充分必要條件是非退化，而。證明：當(dāng)，由可知，A可逆，且。 反過來，如果A可逆，那么有使，兩邊取行列式，得 . 因?yàn)?即A非退化。 即是求可逆矩陣的公式。eg：A=2231-10-121，判斷A是否可逆。求A-1.解：由于A=2231-10-121=-10.A*=-143-1531

6、-6-4。則，A-1=1dA*=1-4-31-5-3-164 初等變換判別法對矩陣A施行初等行（列）變換得到的矩陣B，則B可逆?？赏浦狝可逆。因?yàn)槌醯刃辛凶儞Q是等價變換，即不會改變A的秩，所以A和B秩相同，故A與B有相同的可逆性。從而B可逆可推知A可逆。求矩陣的逆矩陣的方法 AE 初等行變換 EA-1 AE 初等列變換 EA-1 初等矩陣判別法是可逆的充分必要條件是A可以表示成一些初等矩陣的乘積：根據(jù)舉例設(shè) ，求。解：于是上面給出用初等行變換的方法求出矩陣的逆矩陣。當(dāng)然，同樣可逆矩陣也能用初等列變換化成單位矩陣來求出矩陣的逆矩陣。 線性方程組判別法l 齊次線性方程組 即AX=0（A為該方程組的

7、系數(shù)矩陣）只有零解。即A可逆。l 非齊次線性方程組 即AX=0（A為該方程組的系數(shù)矩陣）有唯一解。即A可逆。證明：，l 齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，用分別代表矩陣各列，。則齊次線性方程組可以寫成向量形式 且只有零解，則 從而線性無關(guān)，且線性無關(guān)的充分必要條件是A可逆。l 非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，用分別代表矩陣各列，。則齊次線性方程組可以寫成向量形式 由知，為的一組基，則每一都可以寫成的線性組合的形式，則由唯一確定。即方程組有唯一解。反過來，若方程組有唯一解，則必然有則矩陣A可逆。 特征值判別法n×n矩陣A可逆，即矩陣A的特征值全部不為零。證明:充分性：因?yàn)樗刑卣髦等粸榱?，?/p>

8、所以特征值之積等于，故，從而A可逆。必要性:假設(shè)n×n的矩陣A的特征多項(xiàng)式為，則，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可知所有特征值之積等于，又由A可逆，知，故所有特征值全不為零。eg:矩陣A=021-203-1-30，用特征值的方法判斷矩陣是否可逆。解：特征方程式E-A=-2-12-313=-12（+2）則，由于E-A=0 時，特征值 1=1，2=1，3=-2 .那么沒有特征值為0，則矩陣可逆。 多項(xiàng)式判別法n×n矩陣A可逆，即有特征多項(xiàng)式f（x），滿足f（A）=0，且常數(shù)項(xiàng)不為零。 標(biāo)準(zhǔn)形判別法n階方陣A可逆的充分必要條件是矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形是En.證明：任何一個矩陣都可經(jīng)過行或列變換化成

9、標(biāo)準(zhǔn)的對角陣。那么，如果n 階方陣A可逆，那么A的矩陣的秩只能為n，即標(biāo)準(zhǔn)形一定為單位矩陣。 反過來，如果矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是En，即階單位矩陣，則矩陣A的秩為，故A可逆。結(jié)語判斷矩陣的可逆性，一定不止上上面所述的十種，而根據(jù)這些方法，我們已經(jīng)可以解決一些常見有關(guān)矩陣和矩陣的逆的問題，對于學(xué)習(xí)高等代數(shù)有關(guān)矩陣的部分有著很大的作用。希望老師在課堂授課時多提及這類問題的研究思想方向，幫助我們更好的理解矩陣和矩陣的逆。并且，應(yīng)該好好學(xué)習(xí)高等代數(shù)，不管以后要不要考研究生，高等代數(shù)作為一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)科，是高等學(xué)校數(shù)學(xué)類本科生的重要必修課程，特別是數(shù)學(xué)專業(yè)。學(xué)好高等代數(shù)為以后的學(xué)習(xí)一定大有裨益。所以，要常思考，常動手計(jì)算。參考文獻(xiàn)ü 王萼芳,石生明修訂。高等代數(shù)M. (第三版).北京: 高等教育出版社。