必修五23等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

1、學(xué)校 臨清二中 學(xué)科：數(shù)學(xué) 編寫人：郝偉光 一審：李其智 二審：馬英濟(jì)2.3 .1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）教學(xué)目標(biāo)：1掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)過程和思想方法2會用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題 3.經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡單的有關(guān)問題授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)內(nèi)容分析：    本節(jié)是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，使學(xué)生掌握等差數(shù)列求和公式，并能利用它求和解決數(shù)列

2、和的最值問題等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，采用了倒序相加法，思路的獲得得益于等到差數(shù)列任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這一性質(zhì)的認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)通過對等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，使學(xué)生能掌握“倒序相加”數(shù)學(xué)方法教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：首先回憶一下前幾節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：1等差數(shù)列的定義： =d ，（n2，nN）2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： (或=pn+q (p、q是常數(shù))3幾種計(jì)算公差d的方法： d= d= d=4等差中項(xiàng)：成等差數(shù)列5等差數(shù)列的性質(zhì)： m+n=p+q (m, n, p, q N )6數(shù)列的前n項(xiàng)和：數(shù)列中，稱為數(shù)列的前n項(xiàng)和，記.“小故事”:高斯是偉大的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，高斯十歲時(shí),

3、有一次老師出了一道題目,老師說: “現(xiàn)在給大家出道題目:1+2+100=?”過了兩分鐘,正當(dāng)大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不亦樂乎時(shí)，高斯站起來回答說：“1+2+3+100=5050教師問：“你是如何算出答案的？高斯回答說：因?yàn)?+100=101；2+99=101；50+51=101，所以101×50=5050” 這個(gè)故事告訴我們：（1）作為數(shù)學(xué)王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西（2）該故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一種很重要的思想方法，這就是下面我們要介紹的“倒序相加”法 二、講解新課： 如圖，一個(gè)堆放鉛

4、筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆?這是一堆放鉛筆的V形架，這形同前面所接觸過的堆放鋼管的示意圖，看到此圖，大家都會很快捷地找到每一層的鉛筆數(shù)與層數(shù)的關(guān)系，而且可以用一個(gè)式子來表示這種關(guān)系，利用它便可以求出每一層的鉛筆數(shù).那么，這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆呢？這個(gè)問題又該如何解決呢？經(jīng)過分析，我們不難看出，這是一個(gè)等差數(shù)求和問題？這個(gè)問題，它也類似于剛才我們所遇到的“小故事”問題，它可以看成是求等差數(shù)列1，2，3，n,的前120項(xiàng)的和.在上面的求解中，我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)n來表示，且任意的第k項(xiàng)

5、與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和，這就啟發(fā)我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項(xiàng)的和.如果我們可歸納出一計(jì)算式，那么上述問題便可迎刃而解.1等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1：證明： +： 由此得： 從而我們可以驗(yàn)證高斯十歲時(shí)計(jì)算上述問題的正確性 2 等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2： 用上述公式要求必須具備三個(gè)條件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必須已知三個(gè)條件： （有時(shí)比較有用）總之：兩個(gè)公式都表明要求必須已知中三個(gè)公式二又可化成式子：，當(dāng)d0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式三、例題講解例1 一個(gè)堆放鉛筆的V型的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個(gè)V形架上共放著多少支鉛

6、筆？解：由題意可知，這個(gè)V形架上共放著120層鉛筆，且自下而上各層的鉛筆成等差數(shù)列，記為，其中，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，得答：V形架上共放著7260支鉛筆例2 等差數(shù)列-10，-6，-2，2，前多少項(xiàng)的和是54？解：設(shè)題中的等差數(shù)列為，前n項(xiàng)為則 由公式可得解之得：（舍去）等差數(shù)列-10，-6，-2，2前9項(xiàng)的和是54.例3一凸n邊形各內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，公差是10°,最小內(nèi)角為100°,求邊數(shù)n. 解：由(n2)·180100n×10，求得n17n720, n8或n9, 當(dāng)n9時(shí), 最大內(nèi)角100(91)×10180°不合題意

7、，舍去， n8. 例4在等差數(shù)列中，已知，求前20項(xiàng)之和分析：本題可以用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式求，求解；也可以用等差數(shù)列的性質(zhì)求解解：法一由.由法二由，而，所以，所以小結(jié)：在解決等差數(shù)列有關(guān)問題時(shí)，要熟練運(yùn)用等差數(shù)列的一些性質(zhì)在本題的第二種解法中，利用這一性質(zhì)，簡化了計(jì)算，是解決這類問題的常用方法四鞏固練習(xí)1求集合的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和 解：由得 正整數(shù)共有14個(gè)，即中共有14個(gè)元素 即：7，14，21，98 ，是以7為 首項(xiàng)，98為末項(xiàng)的等差數(shù)列。 答：略 2. 在等差數(shù)列中，若a1 a4 a8 a1 2+ a15 =2，則S15 = .3等差數(shù)列an的首項(xiàng)為，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n

8、，第n項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為，請?zhí)顚懴卤恚?51010   -28 104-38  -10-3604.在等差數(shù)列中，求. 五、小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1： 2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2： 3.，當(dāng)d0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式六、課后作業(yè)：P46 . 4題, 6題七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記：學(xué)校：臨清二中 學(xué)科：數(shù)學(xué) 編寫人：郝偉光 一審：李其智 二審：馬英濟(jì)2.3.1 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）（學(xué)案）一、【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、知識與技能: 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路；會用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的

9、與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題2、經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思二、【本節(jié)重點(diǎn)】 等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用.三、【本節(jié)難點(diǎn)】 靈活運(yùn)用等差數(shù)列前項(xiàng)公式解決一些簡單的有關(guān)問題四、【知識儲備】1、 復(fù)習(xí)：等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)，等差數(shù)列的性質(zhì)2、 (1)一般形式： (2)通項(xiàng)公式： (3)前n項(xiàng)和：3、等差數(shù)列 (1)定義： (2)通項(xiàng)公式： 推廣： (3)性質(zhì)： 特別地： 奇數(shù)項(xiàng) 偶數(shù)項(xiàng)五、【自主學(xué)習(xí)】1、學(xué)習(xí)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)過程。2、等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，前項(xiàng)和公式（1） ，公式（2） 。3、 前n項(xiàng)和公式與

10、n的關(guān)系:式變形: 六、 小試身手1 等差數(shù)列中，(1)已知 則=_(2)已知， 則=_2等差數(shù)列中，已知， 則=_及n=_3、等差數(shù)列中，若，則公差 .七、典型例析 例1 在等差數(shù)列an中，(1)已知a1510，a4590，求(2)已知S1284，S20460，求S28；(3)已知a610，S55，求a8和S8例2 在等差數(shù)列中，已知a6+ a9+ a12+ a15 = 34，求前20項(xiàng)之和 八、當(dāng)堂檢測1一個(gè)等差數(shù)列前4項(xiàng)的和是24，前5項(xiàng)的和與前2項(xiàng)的和的差是27，求這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。2根據(jù)下列各題的條件,求相應(yīng)等差數(shù)列的未知數(shù).1), 求2),求3. ,求4. 在等差數(shù)列中，a2

11、+a5=19 S5 =40 則a10為 (A)27 (B)28 (C)29 (D)305. 在等差數(shù)列中，d=2, =11, Sn =35 則a1為 (A)5或7 （B）3或5 （C）7或1 （D）3或16. 已知數(shù)列1,2,3,4，,2n, 則其和為 ，奇數(shù)項(xiàng)的和為 。九、重點(diǎn)概念總結(jié)應(yīng)用 等差數(shù)列an的首項(xiàng)為，公差為d，項(xiàng)數(shù)為n，第n項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為，請?zhí)顚懴卤恚?51010   -28 104-38  -10-360檢測答案：1. =2n+1. 2. d=2 ,n=13 3. 4. C 5.A 6. ,學(xué)校：臨清二中 學(xué)科：數(shù)學(xué)

12、 編寫人：郝偉光 一審：李其智 二審：馬英濟(jì)2.3.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（二）教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會用它們解決一些相關(guān)問題；會利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前 項(xiàng)和的公式研究 的最值；2.過程與方法：經(jīng)歷公式應(yīng)用的過程；3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過有關(guān)內(nèi)容在實(shí)際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實(shí)用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并數(shù)學(xué)地解決問題。教學(xué)重點(diǎn)熟練掌握等差數(shù)列的求和公式教學(xué)難點(diǎn)靈活應(yīng)用求和公式解決問題授課類型：新授課教學(xué)過程.課題導(dǎo)入首先回憶一下上一節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容：1.等差

13、數(shù)列的前項(xiàng)和公式1： 2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2：.講授新課例1.已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220， 求其前項(xiàng)和的公式. 解：由題設(shè)： 得： ： 易得： 探究 1. 之間的關(guān)系例2. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，求證：，-，-成等差數(shù)列； （）成等差數(shù)列證明：設(shè)首項(xiàng)是，公差為d則 是以36d為公差的等差數(shù)列同理可得是以d為公差的等差數(shù)列.例3. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：根據(jù) 與 , (n>1) 得： 當(dāng)n>1時(shí)， 當(dāng)n=1 時(shí)， 也滿足式所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：探究2. 課本P51的探究活動一般地，如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，

14、其中p、q、r為常數(shù)，且，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是多少？分析： 由，得當(dāng)時(shí)=2p結(jié)論：通項(xiàng)公式是探究3. 對等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2：可化成式子：，當(dāng)d0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式，那么它有何作用呢？ 例4. 已知等差數(shù)列 的前 n項(xiàng)和，求使得最大的序號n的值.解：由題意得，等差數(shù)列的公差為，所以 于是，當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，取最大值。 例 5. 在數(shù)列中，已知， (nN*)，那么使其前n項(xiàng)和Sn取得最大值的n值等于 . 解：依題意知，>0 .>0,<0, 易知最大，即n取12時(shí)和最大.小結(jié)：對等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法:利用

15、:當(dāng)>0，d<0，前n項(xiàng)和有最大值可由0，且0，求得n的值當(dāng)<0，d>0，前n項(xiàng)和有最小值可由0，且0，求得n的值利用：由利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值.課堂練習(xí)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為a，前2n項(xiàng)和為b，求前3n項(xiàng)和。2.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.3. 等差數(shù)列中, 15, 公差d3, 求數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值.4. 等差數(shù)列的第10項(xiàng)為23，第25項(xiàng)為22，求此數(shù)列 (1)第幾項(xiàng)開始為負(fù)？(2)前10項(xiàng)的和？ (3)從首項(xiàng)到第幾項(xiàng)之和開始為負(fù)？5. 在等差數(shù)列中，已知a1=25, S9= S17，問數(shù)列前多少項(xiàng)和最大，并求出最大值。.課時(shí)小結(jié)1

16、. 表示, 2差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題有兩種方法:(1)當(dāng)>0，d<0，前n項(xiàng)和有最大值可由0，且0，求得n的值。當(dāng)<0，d>0，前n項(xiàng)和有最小值可由0，且0，求得n的值。(2)由利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值3. 是以d為公差的等差數(shù)列.課后作業(yè)課本P46 3題 學(xué)校：臨清二中 學(xué)科：數(shù)學(xué) 編寫人：郝偉光 一審：李其智 二審：馬英濟(jì)2.3.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（二）一【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.2.了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會用它們解決求通項(xiàng)公式，求前n項(xiàng)和的最值等問題.二【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】熟練掌握等差數(shù)列的求和公式三【本節(jié)難點(diǎn)】靈活

17、應(yīng)用求和公式解決相關(guān)問題四 【知識儲備】 1、 2、 前n項(xiàng)和公式與n的關(guān)系:式變形: 五【自主學(xué)習(xí)】 閱讀并完成課本例2例4探究下列問題：1.是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，參考課本46頁B組2題，探究的關(guān)系（ （）仍成等差數(shù)列）2. 完成例3，已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，則Sn與Sn-1之間的遞推關(guān)系式是 .由此可推得，數(shù)列an的通項(xiàng)公式an= .3等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)的關(guān)系是 .，如何從中讀出公差，求最值.六小試身手 1 數(shù)列前項(xiàng)和，且，則正整數(shù) _2 設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和，若，則 3. 等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，則當(dāng)n=_時(shí)，最大七 典型例析例1在等差數(shù)列an中，,求例2已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.例3在等差數(shù)列an中，已知a125，S9S17，問數(shù)列前多少項(xiàng)和最大，并求出最大值. 八、當(dāng)堂檢測1. 數(shù)列是等差數(shù)列的一個(gè)充要條件是 （A）Sn=an2+bn+c （B）Sn=an2+bn（C）Sn=an2+bn+c (D) Sn=an2+bn2、等差數(shù)列an中，d為公差.若前n項(xiàng)的和為Sn= -n2，則（ ）A.an=2n-1，d= -2 B. an=2n-1，d= 2 C. an= -2n+1，d= -2 D. an= -2n+1，d= 23.一個(gè)等差