線性代數(shù)自考知識點匯總

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上行列式1. 行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式變號.推論1 如果行列式有兩行（列）的對應元素完全相同，則此行列式的值為零.如性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k ，等于用數(shù)k乘此行列式. 如 推論2如果行列式中有兩行（列）元素成比例，則此行列式的值為零如 性質(zhì)4若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則這個行列式等于兩個行列式之和.如 性質(zhì)5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行(列)對應的元素上去，行列式的值不變.如2. 余子式與代數(shù)余子式在n階行列式中，把元素所在的第i行和第j

2、列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素的余子式，記作，叫做元素的代數(shù)余子式如，元素的余子式為，元素的代數(shù)余子式為.3. 行列式按行（列）展開法則定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即或如定理2 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即或4. 行列式的計算（1）二階行列式（2）三階行列式（3）對角行列式，（4）三角行列式（5）消元法：利用行列式的性質(zhì)，將行列式化成三角行列式，從而求出行列式的值.（6）降階法：利用行列式的性質(zhì)，化某行（列）只有一個非零元素，再按該行（列）展開，通過降低行列式的階數(shù)求出行列式的值.（7）

3、加邊法：行列式每行（列）所有元素的和相等，將各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，進而求出行列式的值.矩陣1. 常見矩陣1）對角矩陣：主對角線以外的元素全為0的方陣，稱為對角矩陣.記作.2）單位矩陣：主對角線上的元素全為1的對角矩陣，稱為單位矩陣.記作E.3）上三角矩陣：對角線以下的元素全為0的方陣.如4）下三角矩陣：對角線以上的元素全為0的方陣.如5）對稱矩陣：設A為階方陣，若，即，則稱A為對稱矩陣.6）反對稱矩陣：設A為階方陣，若，即 ，則稱A為反對稱矩陣.7）正交矩陣：設A為階方陣，如果或，則稱A為正交矩陣.2. 矩陣的加法、數(shù)乘、乘法運算（1）矩陣的加法如注： 只有同型矩陣才能

4、進行加減運算； 矩陣相加減就是對應元素相加減.（2）數(shù)乘矩陣如注：數(shù)乘矩陣就是數(shù)乘矩陣中的每個元素.（3）矩陣的乘法：設，規(guī)定其中注：左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣B的行數(shù)；左矩陣A 的第i行與右矩陣B的第j列對應元素乘積的和是矩陣乘積C的元素.左矩陣A的行數(shù)為乘積C的行數(shù)，右矩陣B的列數(shù)為乘積C的列數(shù).如行矩陣乘列矩陣是一階方陣（即一個數(shù)），即列矩陣乘行矩陣是s階方陣，即3. 逆矩陣設n階方陣A、B，若AB=E或BA=E，則A，B都可逆，且.（1）二階方陣求逆，設 ，則（兩調(diào)一除法）.（2）對角矩陣的逆， .（3）分塊對角陣的逆 .（4）一般矩陣求逆，初等行變換的方法：.4. 方陣的行列式由階方陣

5、A的元素所構成的行列式（各元素的位置不變）叫做方陣A的行列式.記作或det（A）.5. 矩陣的初等變換下面三種變換稱為矩陣的初等行（列）變換：（1）互換兩行（列）；（2）數(shù)乘某行（列）；（3）某行（列）的倍數(shù)加到另一行（列）.6. 初等矩陣單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣，稱為初等矩陣.如都是初等矩陣.7. 矩陣的秩矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩.記作R（A）或r（A）.求矩陣的秩的方法：（1）定義法：找出A中最高階的非零子式， 它的階數(shù)即為A的秩.（2）初等行變換法：行階梯形矩陣，R（A）=R（行階梯形矩陣）=非零行的行數(shù).8. 重要公式及結論（1）矩陣運算的公式及結論矩陣乘法

6、不滿足交換律，即一般地ABAB; 矩陣乘法不滿足消去律，即一般地若AB=AC，無B=C；只有當A可逆時，有B=C. 一般地若AB=O，則無A=O或B=O.（2）逆矩陣的公式及定理A可逆|A|0AE（即A與單位矩陣E等價）（3）矩陣秩的公式及結論R( AB ) R( A ), R( AB ) R( B ).特別地，當A可逆時，R(AB)=R(B)；當B可逆時，R(AB)=R(A). 即等價矩陣的秩相等或初等變換不改變矩陣的秩.9. 矩陣方程（1）設 A 為n階可逆矩陣，B為nm矩陣，則矩陣方程AX=B 的解為； 解法： 求出，再計算； . （2）設 A 為n階可逆矩陣，B為mn矩陣，則矩陣方程X

7、A=B 的解為；解法： 求出，再計算； . 10. 矩陣間的關系（1）等價矩陣：如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，那么稱矩陣A與B等價.即存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ=B. 性質(zhì)：等價矩陣的秩相等.（2）相似矩陣：如果存在可逆矩陣P，使得,那么稱A與B相似.性質(zhì)：相似矩陣有相同的特征多項式，相同的特征值，相同的行列式，相同的跡. （3）合同矩陣：如果存在可逆矩陣P，使得，那么稱A與B合同.性質(zhì)：合同矩陣的秩相等.向量空間1. 線性組合（1）若k，則稱向量與成比例（2）零向量是任一向量組的線性組合（3）向量組中每一向量都可由該向量組線性表示2. 線性相關與線性無關（1） 單獨一個向量線性

8、相關當且僅當它是零向量 （2） 單獨一個向量線性無關當且僅當它是非零向量 （3） 兩向量線性相關當且僅當兩向量對應成比例.（4） 兩向量線性無關當且僅當兩向量不對應成比例.（5） 含有向量的向量組一定線性相關（6） 向量組線性相關的充分必要條件是 齊次線性方程組有非零解. 以向量組為列作的矩陣的秩n時，m個n維向量一定線性相關.定理1：向量組 a1 , a2 , am （m2）線性相關的充分必要條件是向量組中至少有一個向量可由其余m-1個向量線性表示.向量組線性無關的充分必要條件是向量組中任何一個向量都不能由其余向量線性表示 定理2：如果向量組A：a1 , a2 , ar 線性無關，而向量組

9、a1 , a2 , ar，線性相關，則可由A線性表示，且表示式唯一.定理3：設向量組， 若A線性相關，則向量組B也線性相關；反之，若向量組B線性無關，則向量組A也線性無關.（即部分相關，則整體相關；整體無關，則部分無關）.定理4：無關組的截短組無關，相關組的接長組相關.3. 極大無關組與向量組的秩定義1 如果在向量組 T 中有 r 個向量 a1 , a2 , ar ，滿足條件： 向量組 a1 , a2 , ar 線性無關， ，線性相關. 那么稱向量 a1 , a2 , ar 是向量組 T 的一個極大無關組. 定義2 向量組的極大無關組中所含向量的個數(shù)，稱為向量組的秩.定義3 矩陣的行向量組的秩

10、稱為矩陣的行秩；矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩。結論1 線性無關的向量組的極大無關組就是它本身。 結論2 如果向量組的秩是r ，那么該向量組的任意 r 個線性無關的向量都是它的一個極大無關組。定理1 設向量組A:a1,a2, ,ar；及向量組B:b1,b2, , bs，如果組A能由組B線性表示，且組A線性無關，則rs. 推論1 等價的向量組有相同的秩. 定理2 矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩.4. 向量空間定義1設V為n維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱集合V為向量空間.5. 基與向量在基下的坐標定義2 設V是向量空間，如果向量組a1 , a

11、2 , ar ，滿足條件： （1）向量組 a1 , a2 , ar 線性無關；（2），線性相關. 那么稱向量組a1 , a2 , ar是向量空間V的一個基， 基中所含向量的個數(shù)稱為向量空間V的維數(shù)，記作dimV，并稱V為r維向量空間定義3 設向量組 a1 , a2 , , ar 是向量空間V的一個基，則V中任一向量x可唯一地表示為基的一個線性組合，即 ，稱有序數(shù)組為向量x在基 a1 , a2 , , ar下的坐標. 線性方程組1. 線性方程組解的判定（1） 線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣（A,b）的秩相同，即R（A）=R（A，b）. 當R（A）=R（A，b）=r

12、 方程組AX=b有惟一解的充分必要條件是r=n; 方程組AX=b有無窮多解的充分必要條件是r n.（2） 方程組AX= b無解的充分必要條件是R(A) R（A，b）.2. 齊次線性方程組有非零解的判定 （1） 齊次方程組AX=0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩 R(A) 未知量的個數(shù)n .（2） 含有n個方程，n個未知量的齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)行列式等于零.（即|A|=0）（3） 齊次線性方程組AX=0中，若方程的個數(shù)m未知量的個數(shù)n，則方程組有非零解 3. 齊次線性方程組解的性質(zhì)（1） 若是Ax=0的解，則也是Ax=0的解；（2） 若是Ax=0的解，

13、則也是Ax=0的解.4. 齊次線性方程組的基礎解系與通解（1） 解空間 齊次線性方程組Ax=0的全體解向量所組成的集合，是一個向量空間，稱為方程組 Ax=0的解空間記作V，即V= x | Ax=0，xR . （2） 基礎解系齊次方程組AX=0的解空間 V 的一個基，稱為齊次方程組AX=0 的一個基礎解系. 基礎解系中解向量的個數(shù)是n-r（A）.方程組AX=0的任意n-r個線性無關的解都是AX=0的基礎解系.（3）齊次線性方程組的通解為，其中是Ax=0的一個基礎解系.5. 非齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）若是Ax=b的解，則是Ax=0的解；即Ax=b 的任意兩個解的差必是其導出組Ax=0的解.（2

14、）若是Ax=b的解，是Ax=0的解，則是Ax=b的解.即Ax=b 的任意一個解和其導出組 Ax=0 的任意一個解之和仍是 Ax=b 的解.6. 非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組AX=b的通解為其中為對應的齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系， 為非齊次線性方程組AX=b的任意一個解，稱為特解. 方陣的特征值1. 向量的內(nèi)積設，則x，y的內(nèi)積為.（1）向量x的長度：（2）非零向量的單位化：若向量 x 0 , （3）當正交.（4）若非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交組（5）若正交組中每個向量都是單位向量，則稱它為標準正交組.定理1 正交向量組必線性無關定理2 A 為正交矩陣的充分

15、必要條件是 A 的列（行）向量都是單位向量且兩兩正交（6）施密特正交化過程設是一個線性無關的向量組， 正交化：令； 單位化：取.則是與等價的標準正交組.2. 特征值與特征向量（1）方陣A的特征值是特征方程的根.（2）三角矩陣和對角矩陣的全部特征值就是它的全部對角元（3）方陣和它的轉(zhuǎn)置方陣有相同的特征值.（4）設是n階方陣A的全部特征值，則，.即方陣A的對角線上元素之和等于A的全部特征值之和，方陣A的行列式等于A的全部特征值的乘積.（5）若是方陣A的特征值，則是方陣的特征值. 特別地，當時，方陣A的特征值是的根.說明：，.例如是方陣A的特征值，則方陣的特征值是.方陣的特征值是.例如若，則方陣A的

16、特征值是的根，即.（6）設都是方陣A的屬于同一特征值的特征向量，則也是的特征向量.（7）屬于不同特征值的特征向量線性無關. （8）屬于不同特征值的線性無關的特征向量的并集仍線性無關.3. 方陣的對角化（1）若方陣A與對角矩陣相似，則說A可以對角化即存在可逆矩陣P，使得.（是以A的n個特征值為對角元素的對角矩陣.）（2）n階方陣A可以對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量；屬于每一個特征值的線性無關的特征向量的個數(shù)與該特征值的重數(shù)相同（3）n階方陣A可以對角化的充分條件是n階方陣A的n個特征值互不相等（4）若A與B相似，則與相似.4. 實對稱矩陣的對角化（1）實對稱矩陣的屬于不同特征值

17、的特征向量彼此正交.（2）實對稱矩陣一定可以對角化. 即存在正交矩陣P，使得.（是以A的n個特征值為對角元素的對角矩陣.）（3）利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣的步驟： (1)求特征值；(2)求特征向量；(3)將特征向量正交化，單位化；(4)最后將這些特征向量做成矩陣二次型1. 二次型的標準化（1） 用正交變換化二次型為標準形的具體步驟: 寫出二次型的對稱矩陣A； 求A的全部特征值； 求每個特征值的線性無關的特征向量； 將特征向量正交化，單位化，得； 將這些特征向量做成矩陣，記，最后做正交變換x=Cy，得到f的標準形為.（其中是的矩陣A的特征值.）（2） 用配方法化二次型為標準形的具體步驟: 若二次型含有的平方項，則先把含有的項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過可逆的線性變換，就得到標準形; 若二次型中不含有平方項，則先作可逆線性變換，令，（k=1,2,n，ij）化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方法配方.2. 規(guī)范二次型設