材料力學(xué) 第3章扭轉(zhuǎn)

1、材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)3-1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例3-2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖3-3 純剪切純剪切3-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力3-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形3-6 圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形3-7 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)3-1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例1受力特征受力特征：在桿件兩端垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一對大小相等，方：在桿件兩端垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一對大小相等，方向相反的外力偶。向相反的外力偶。 2變形特征

2、變形特征：橫截面形狀大小未變，只是繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)。：橫截面形狀大小未變，只是繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)。 軸軸：以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件稱為軸：以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件稱為軸 。材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都是圓形的，所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)。材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)3-2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖直接計(jì)算直接計(jì)算1 1外力偶矩外力偶矩材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算電機(jī)每秒輸入功：電機(jī)每秒輸入功：外力偶作功完

3、成：外力偶作功完成：)N.m(1000kPW602nMWe已知已知軸轉(zhuǎn)速軸轉(zhuǎn)速n n 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me em)(N9550nPm材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)例例3-2-1 傳動(dòng)軸如圖所示，主動(dòng)輪傳動(dòng)軸如圖所示，主動(dòng)輪A輸入功率輸入功率PA=50kW，從動(dòng)，從動(dòng)輪輪B、C、D輸出功率分別為輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=20kW，軸的轉(zhuǎn)，軸的轉(zhuǎn)速速n=300r/min，計(jì)算各輪上所受的外力偶矩。，計(jì)算各輪上所受的外力偶矩。 MAMBMCBCADMD解：解：計(jì)算外力偶矩計(jì)算外力偶矩mN6379550mN5 .47

4、79550mN15929550nPMnPMMnPMDDBCBAA材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2 2扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖, 0 xM由0eMTeMT得扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：按右手螺旋按右手螺旋法則，法則，T矢量背離截面為正，指矢量背離截面為正，指向截面為負(fù)（或矢量與截面外法向截面為負(fù)（或矢量與截面外法線方向一致為正，反之為負(fù)）線方向一致為正，反之為負(fù)）T稱為截面稱為截面n-n上的扭矩。上的扭矩。用截面法求扭矩時(shí)，建議均假設(shè)各截面扭矩用截面法求扭矩時(shí)，建議均假設(shè)各截面扭矩T為正，為正，如果由平衡方程得到如果由平衡方程得到T為正，則說明是正的扭矩，如為正，則說明是正的

5、扭矩，如果為負(fù)，則是負(fù)的扭矩。在畫軸的扭矩圖，果為負(fù)，則是負(fù)的扭矩。在畫軸的扭矩圖，正的扭正的扭矩畫在矩畫在x x軸上方，負(fù)的扭矩畫在軸上方，負(fù)的扭矩畫在x x軸下方。軸下方。注意注意MeMeMeTx材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。 目目 的的扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置 強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。xT材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)例例3-2-2 3-2-2 計(jì)算例計(jì)算例3-2-13-2-1中所示軸的扭矩，并作扭矩圖。中所示軸的扭矩，并作扭矩圖。MAMBMCBC

6、ADMD解：已知解：已知mN637mN5 .477mN1592DCBAMMMM477.5Nm955Nm637NmT+-作扭矩圖如左圖示。作扭矩圖如左圖示。材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)例例3-2-3 3-2-3 已知：一傳動(dòng)軸，已知：一傳動(dòng)軸， n =300r/minn =300r/min，主動(dòng)輪輸入，主動(dòng)輪輸入 P P1 1=500kW=500kW，從動(dòng)輪輸出，從動(dòng)輪輸出 P P2 2=150kW=150kW，P P3 3=150kW=150kW，P P4 4=200kW=200kW，試?yán)L，試?yán)L制扭矩圖。制扭矩圖。解：解：計(jì)算外力偶矩計(jì)算外力偶矩m)15.9(kN 3005009

7、.5555911nP.mm)(kN 78. 43001509.5555. 9232nPmmm)(kN 37. 63002009.5555. 944nPmnA B C Dm2 m3 m1 m4112233材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN37. 6 , 0 4343mTmT材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繪制扭矩圖繪制扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險(xiǎn)截面。段為危險(xiǎn)截面。xTnA B C Dm2 m3 m

8、1 m44.789.566.37材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)3-3 純剪切純剪切薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚r101（r：為平均半徑）1實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)前：實(shí)驗(yàn)前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；施加一對外力偶施加一對外力偶 m。一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力 材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2 實(shí)驗(yàn)后：實(shí)驗(yàn)后：圓周線不變；圓周線不變；縱向線變成斜直線?？v向線變成斜直線。3 結(jié)論：結(jié)論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動(dòng)。變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動(dòng)。 各縱向線均傾斜了同一

9、微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) acddxbdy 無正應(yīng)力橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。4 與與 的關(guān)系：的關(guān)系：LRRL 微小矩形單元體如圖所示：微小矩形單元體如圖所示： 材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)5 薄壁圓筒剪應(yīng)力薄壁圓筒剪應(yīng)力 大?。捍笮。?2 2 2 2d d 2AMATrTTrrArTrAeAAA：平均半徑所作圓的面積。 材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)二

10、、切應(yīng)力互等定理：二、切應(yīng)力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式稱為剪應(yīng)力互等定理為剪應(yīng)力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb dy tz材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)三、切應(yīng)變?nèi)?、切?yīng)變 剪切胡克定律剪切胡克定律 單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為力狀態(tài)稱為

11、純剪切應(yīng)力狀態(tài)。純剪切應(yīng)力狀態(tài)。材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：剪切虎克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)（時(shí)（ p)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)G式中：式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故無量綱，故G的量綱與的量綱與 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通過實(shí)驗(yàn)確值可通過實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的定，鋼材的G值約為值約為80GPa。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是

12、表明材料彈性性質(zhì)剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下的三個(gè)常數(shù)。對各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：可見，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量可見，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來。就可以推算出來。)1 (2EG材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 1. 橫截面變形后仍為平面；橫截面變形后仍為平面； 2. 軸向無伸縮；軸向無伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行。縱向線變形后仍為平行。平面假設(shè)：平面假設(shè)： 變形前為平面的橫截面變形前為平

13、面的橫截面變形后仍為平面，它像剛變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。一個(gè)角度。3-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：1. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：xddtg距圓心為距圓心為 任一點(diǎn)處的任一點(diǎn)處的 與與到圓心的距離到圓心的距離 成正比。成正比。xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。變化率。材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2. 物理關(guān)系：物理關(guān)系：虎克定律：代入上式得： G

14、xGxGGddddxGdd 材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)3. 靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理關(guān)系式 得：xGdd pIT材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)pIT橫截面上距圓心為處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式。4. 公式討論：公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面直桿。面直桿。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點(diǎn)到圓心的距離。該點(diǎn)到圓心的距離

15、。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。極慣性矩，純幾何量，無物理意義。材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)單位：單位：mm4，m4。AIApd2 盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp對于實(shí)心圓截面：DdO材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)對于空心圓截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 應(yīng)力分布應(yīng)力分布（實(shí)心截面）（空心截面）工程

16、上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 確定最大剪應(yīng)力：確定最大剪應(yīng)力：pIT由知：當(dāng)max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：mm3或m3。對于實(shí)心圓截面：332016D.DRIWpt對于空心圓截面：)-(12016)1 (4343D.DRIWpt材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 三、強(qiáng)度條件三、強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件： ， 許用切應(yīng)力許用切應(yīng)

17、力；pmaxmaWTx軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其表層即最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力作用點(diǎn)處于軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其表層即最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切純剪切狀態(tài)狀態(tài)，所以，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力也可利用上述關(guān)系確定。，所以，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力也可利用上述關(guān)系確定。 理論與試驗(yàn)研究均表明，材料純剪切時(shí)的許用切應(yīng)力理論與試驗(yàn)研究均表明，材料純剪切時(shí)的許用切應(yīng)力 與許用正應(yīng)力與許用正應(yīng)力之間存在下述關(guān)系：之間存在下述關(guān)系：對于塑性材料對于塑性材料 (0.5一一0.577) 對于脆性材料，對于脆性材料， (0.81.0) l 式中，式中， l代表許用拉應(yīng)力。代表許用拉應(yīng)力。材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算三方面：強(qiáng)度計(jì)算三方面： 校

18、核強(qiáng)度： 設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實(shí)：433116 16 DDWt材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)例例3-4-1：一厚度為：一厚度為30mm、內(nèi)直徑為、內(nèi)直徑為230mm 的空心圓管，承的空心圓管，承受扭矩受扭矩T=180 kNm 。試求管中的最大剪應(yīng)力，使用：。試求管中的最大剪應(yīng)力，使用： (1)薄壁管的近似理論；薄壁管的近似理論； (2)精確的扭轉(zhuǎn)理論。精確的扭轉(zhuǎn)理論。解：解：(1) 利用薄壁管的近似理論可求得利用薄壁管的近似理論可求得trT2max2)1 (1643maxDT(2) 利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得利用精確的扭轉(zhuǎn)理

19、論可求得43329023011629. 010180MPa2 .6203. 013. 021018023MPa5 .56材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)例例3-4-2：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為：一空心圓軸，內(nèi)外徑之比為=0.5，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶，兩端受扭轉(zhuǎn)力偶矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？內(nèi)外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？（按強(qiáng)度計(jì)算）。（按強(qiáng)度計(jì)算）。解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、D，面積增大一，面積增大一倍

20、后內(nèi)外徑分別變?yōu)楸逗髢?nèi)外徑分別變?yōu)閐1 、 D1 ，最大許可扭矩為最大許可扭矩為1由TDTD113434161161()() 由得DDDD1222214105241052(.)(.)828. 222/3311DDTT得材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)例例3-4-3：某汽車主傳動(dòng)軸鋼管外徑某汽車主傳動(dòng)軸鋼管外徑D=76mm，壁厚，壁厚t=2.5mm，傳遞扭矩傳遞扭矩T=1.98kNm， =100MPa，試校核軸的強(qiáng)度。，試校核軸的強(qiáng)度。 33pp4444p103 .202/101 .77)1 (32mmDIWmmDI5 .97PMPaWTmaxmax解：計(jì)算截面參數(shù)：解：計(jì)算截面參數(shù)：

21、 由強(qiáng)度條件：由強(qiáng)度條件：故軸的強(qiáng)度滿足要求。故軸的強(qiáng)度滿足要求。 材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)同樣強(qiáng)度下，空心軸使用材料僅為實(shí)心軸的三分之一，同樣強(qiáng)度下，空心軸使用材料僅為實(shí)心軸的三分之一，故故空心軸較實(shí)心軸合理空心軸較實(shí)心軸合理。 31334. 044)2(222dtDDAA實(shí)空空心軸與實(shí)心軸的截面面積比空心軸與實(shí)心軸的截面面積比(重量比重量比)為：為： MPadWTmaxmax5 .9716/1098. 133p由上式解出：由上式解出：d=46.9mm。MPamax5 .97若將空心軸改成實(shí)心軸，仍使若將空心軸改成實(shí)心軸，仍使，則，則材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)

22、轉(zhuǎn)例例3-4-4：功率為功率為150150kW，轉(zhuǎn)速為，轉(zhuǎn)速為15.415.4轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力圖，許用剪應(yīng)力 =30=30M Pa, Pa, 試校核其強(qiáng)度。試校核其強(qiáng)度。nNmTBC2103m)(kN55. 1m)(N4 .1514. 32101503Tm解：解：求扭矩及扭矩圖求扭矩及扭矩圖計(jì)算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度此軸滿足強(qiáng)度要求。此軸滿足強(qiáng)度要求。xMPa231607. 01055. 133maxtWT材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)3-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形由公式由公式pGI

23、Tx dd 知：長為知：長為 l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角 為值不變）若 ( d d0TGITlxGITplp對于階梯軸，兩端面間相對扭轉(zhuǎn)角對于階梯軸，兩端面間相對扭轉(zhuǎn)角 為為 1nipiiiGIlT材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)二、單位扭轉(zhuǎn)角二、單位扭轉(zhuǎn)角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、剛度條件三、剛度條件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或GIp 抗扭剛度抗扭剛度，表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強(qiáng)弱表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強(qiáng)弱。 稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。材料力學(xué)材料

24、力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)剛度計(jì)算的三方面：剛度計(jì)算的三方面： 校核剛度： 設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷： max GT Ip max pGIT 有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。 max 材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)例例3-5-1：圖示圓截面軸圖示圓截面軸AC，承受扭力矩，承受扭力矩MA， MB與與MC 作用，試作用，試計(jì)算該軸的總扭轉(zhuǎn)角計(jì)算該軸的總扭轉(zhuǎn)角AC(即截面即截面C對截面對截面A的相對轉(zhuǎn)角的相對轉(zhuǎn)角)，并校核，并校核軸的剛度。軸的剛度。 已知已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：解：1

25、扭轉(zhuǎn)變形分析扭轉(zhuǎn)變形分析利用截面法，得利用截面法，得AB段、段、BC段的扭矩分別為：段的扭矩分別為：T1180 Nm， T2-140 NmCMBMAMll材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)rad1050. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN180(2412591GIlTABrad1017. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN140(2412592GIlTBC設(shè)其扭轉(zhuǎn)角分別為設(shè)其扭轉(zhuǎn)角分別為AB和和BC，則：，則：材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 各段軸的扭轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向，由相應(yīng)扭矩的轉(zhuǎn)向而定。各段軸的扭轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向，由相應(yīng)扭矩的轉(zhuǎn)向而定。 由此得

26、軸由此得軸AC的總扭轉(zhuǎn)角為的總扭轉(zhuǎn)角為rad100.33rad101.17-rad1050. 12-22BCABAC 2 剛度校核剛度校核 軸軸AC為等截面軸，而為等截面軸，而AB段的扭矩最大，所以，應(yīng)校核該段段的扭矩最大，所以，應(yīng)校核該段軸的扭轉(zhuǎn)剛度。軸的扭轉(zhuǎn)剛度。AB段的扭轉(zhuǎn)角變化率為：段的扭轉(zhuǎn)角變化率為：可見，該軸的扭轉(zhuǎn)剛度可見，該軸的扭轉(zhuǎn)剛度符合要求符合要求。 /m43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN180dd0412591GITx材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 例例3-5-2：長為長為 L=2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m= =20Nm/m

27、的作的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 =0.8 ，G=80=80GPa ，許用，許用剪應(yīng)力剪應(yīng)力 =30=30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若 =2/=2/m ，試校，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度180maxmaxPGIT解：解：設(shè)計(jì)桿的外徑設(shè)計(jì)桿的外徑maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD代入數(shù)值得：代入數(shù)值得：D 0.0226m。 89. 1)1 (108018040324429D材料力學(xué)材

28、料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)40NmxT右端面轉(zhuǎn)角右端面轉(zhuǎn)角為：為：弧度）( 033. 0 )4(102040202200 xxGIdxGIxdxGITPPLP材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 例例3-5-3：某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率，輸入功率N1 = 500 馬力，馬力， 輸出功率分別輸出功率分別 N2 = 200馬力及馬力及 N3 = 300馬力，馬力，已知：已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定：，試確定： AB 段直徑段直徑 d1和和 BC 段直徑段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？

29、若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？ 500400N1N3N2ACB材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)解：解：圖示狀態(tài)下圖示狀態(tài)下, ,扭矩如圖扭矩如圖，由強(qiáng)度條件得：，由強(qiáng)度條件得：m)(kN024. 7nNm16 31TdWt mm4 .67107014. 3421016163632Td mm80107014. 3702416163631Td Tx7.024 4.21(kNm)材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) mm4 .741108014. 3180421032 3249242 GTdmm841108014. 3180702432 3249241 GTd mm75 ,mm8521 dd綜上：綜上：全軸選同一直徑時(shí)全軸選同一直徑時(shí) mm851 dd 32 4 GTdIp由剛度條件得：由剛度條件得：材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 軸上的軸上的絕對值絕對值最大的扭矩最大的扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1輪和輪和2輪應(yīng)輪應(yīng)該換位。該換位。換位后換位后, ,軸的扭矩如圖所示軸的扭矩如圖所示, ,此時(shí)此時(shí), ,軸的最大直徑才為軸的最大直徑才為7575mm。Tx 4.21(kNm)2.814材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)(a )PRdF材料力學(xué)材料力學(xué) 第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)