數(shù)學(xué)常微分方程第三章

1、 Ordinary differential equation王高雄王高雄 周之銘周之銘 朱思銘朱思銘 王壽松編王壽松編（第三版）（第三版）第三章第三章 解的延拓定理解的延拓定理 3.2 3.2 解的延拓定理解的延拓定理/ Theorem on extension of solution/ 解的延拓的引入延拓方法局部利普希茲條件 解的延拓定理及其推論例子推論解的延拓定理內(nèi)容提要內(nèi)容提要/Constant Abstract/本節(jié)要求本節(jié)要求/Requirements/ 理解解的延拓方法。 會(huì)應(yīng)用解的延拓性定理估計(jì)解的存在區(qū)間。 3.2 Extension Theorem問(wèn)題提出對(duì)于初值問(wèn)題,)(

2、),(00yxyyxfdxdy,:00byyaxxR,在一定條件下告訴我們上節(jié)解存在唯一性定理,0上存在唯一它的解在區(qū)間hxx),(),min(),(yxfMaxMMbahRyx這里,),(,區(qū)間也應(yīng)越大解的存在唯一越大的定義域如果根據(jù)經(jīng)驗(yàn)Ryxf.,),(,的這顯然是我們不想看到縮小解的存在唯一區(qū)間反而的定義域的增大即隨著可能出現(xiàn)這種情況但根據(jù)定理的結(jié)論yxf,0)0(22yyxdxdy例如 初值問(wèn)題,11, 11:時(shí)當(dāng)取定義域?yàn)閥xR.2121, 1min hx解的存在唯一區(qū)間,22, 22:時(shí)當(dāng)取定義域?yàn)閥xR.4182, 2min hx解的存在唯一區(qū)間1 飽和解及飽和區(qū)間定義1上的微分

3、方程對(duì)定義在平面區(qū)域G) 1 . 3(),(yxfdxdy,),() 1 . 3()(11的連續(xù)解定義在區(qū)間為方程設(shè)xy 且滿足有定義上它在區(qū)間的另一解若存在方程,),(),() 1 . 3(22xy ),(),(),(),() 1 (11221122但);()(,),()2(11xxx時(shí)當(dāng).),()()(,),(),(2211的一個(gè)延拓在是解并且稱解是可延拓的則稱解xyxyxxy.,),(),(),(11或飽和解解為方程的一個(gè)不可延拓則稱解的解若不存在滿足上述條件xxyxy.),(11稱為一個(gè)飽和區(qū)間義區(qū)間此時(shí)把不可延拓解的定2 局部李普希茨(Lipschitz)條件定義2.),(),(),

4、(,),(條件滿足局部于內(nèi)關(guān)在則稱可能不同大小和常數(shù)域?qū)Σ煌狞c(diǎn)條件滿足關(guān)于上在存在內(nèi)的閉矩形為中心完全含于有以一點(diǎn)內(nèi)的每且對(duì)內(nèi)連續(xù)在區(qū)域若函數(shù)LipschitzyGyxfLRLipschitzyyxfRRGPPGGyxfPPP對(duì)定義2也可如下定義有使對(duì)有關(guān)與及常數(shù)矩形若對(duì)上函數(shù)對(duì)定義在平面區(qū)域1 111111111111),(),(),(,| ),(,),(),(RyxyxbayxLGbyyaxxyxRGyxyxfG1),(),(yyLyxfyxf.),(,條件滿足局部?jī)?nèi)關(guān)于在則稱恒成立LipschitzyGyxf.),(,),(),(條件滿足局部?jī)?nèi)關(guān)于在則內(nèi)連續(xù)在及若LipschitzyG

5、yxfGyxfyxfy注一一 、 解的延拓的引入解的延拓的引入1 1 局部利普希茲條件局部利普希茲條件),(yxfdxdy右端函數(shù) f ( x, y ) 在某一有界區(qū)域G 中有意義。 如果稱 f ( x, y )在G 內(nèi)滿足局部利普希茲條件，即對(duì) 區(qū)域G內(nèi)的每一點(diǎn)，存在以其為中心的完全含于G 內(nèi)的矩形域R，在 R 上 f ( (x, y) ) 滿足利普希茲條件。（注意：點(diǎn)不同，域 R 大小和常數(shù) L 可能不同） 3.2 Extension Theorem2 解的延拓解的延拓設(shè), )(baxxy是)2 . 1 . 3.(.)() 1 . 1 . 3().,(00yxyxfdxdy的解，若也是初值

6、問(wèn)題的解，, )(11baxxy,11baba，當(dāng) 時(shí)，,bax )()(xx則稱解 是解 )(x )(x在區(qū)間,ba上的延拓延拓。 3.2 Extension Theorem3 延拓方法延拓方法設(shè)方程),(yxfdxdy的解)(xy已定義在區(qū)間hxx0上， 現(xiàn)取hxx01然后以1Q作一小矩形，使它連同其邊界01h使得在區(qū)間11hxx,方程),(yxfdxdy有過(guò)),(11yx的解)(xy且在1xx 處有)()(xx)()(011hxxy),(11yx中心，都含在區(qū)域 G 的內(nèi)部，再用解的存在唯一性定理，存在由于唯一性，顯然解)(xy和解)(xy都在定義的區(qū)間11xxhx上， )()(xx 3

7、.2 Extension Theorem區(qū)間11hxx上， ),(yxfdxdy有過(guò)),(11yx的解)(xy且在1xx 處有)()(xx由于唯一性，顯然解)(xy和解)(xy 都在定義的區(qū)間11xxhx上， )()(xx但是在區(qū)間 11xxhx上， 解)(xy向右方的 延拓，延拓， 即將延拓要較大的區(qū)間 100hhxxhx。再令)(,1212hxyhxx如果，Gyx),(22我們又可以取 ),(22yx為中心，作一小矩形, 3.2 Extension Theorem)(,1212hxyhxx可以取 ),(22yx為中心，作一小矩形, 使它連同其邊界 都含在區(qū)域G 內(nèi)。仿前,又可以將解延拓到更

8、大的區(qū)間 210100hhhxhhxxhx上，其中2h是某一個(gè)正常數(shù)。對(duì)于 x 值減小的一邊可以進(jìn)行同樣討論, 使解向左方延拓。就是在原來(lái)的積分曲線)(xy左右端個(gè)接上一個(gè)積分的曲線段。上述解的延拓的方法還可繼續(xù)進(jìn)行。 那么, )(xy向兩邊延拓的最終情況如何呢? 3.2 Extension TheoremxyO 0 x0y 2xhxx 01112hxx 1hh1x1y2y)(01hxy )(112hxyy ),(00yxP,)(00hxhxxxy ),(11yxQ ,()(,)(10000hhxhxxxhxhxxxy 3 延拓方法 3.2 Extension Theorem二、二、 解的延拓

9、定理及其推論解的延拓定理及其推論1 1 解的延拓定理解的延拓定理如果方程(3.1)右端的函數(shù)),(yxf在有界區(qū)域 G中連續(xù)，且在 G 內(nèi)滿足局部利普希茲條件，那么 方程(3.1)通過(guò)G 內(nèi)任何一點(diǎn) ),(00yx 的解)(xy可以延拓。 直到點(diǎn))(,(xx任意接近區(qū)域G 的邊界。 以向 x 增大的一方的延拓來(lái)說(shuō)，如果 )(xy只能延拓的區(qū)間mxx0上，則當(dāng)mx 時(shí)， )(,(xx趨近于區(qū)域 G 的邊界。 3.2 Extension Theorem2 2 推論推論如果 G 是無(wú)界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下, 方程(3.1)的通過(guò)點(diǎn)),(00yx的解 )(xy以向 x 增大的一方的延拓來(lái)說(shuō)

10、，有下面的兩種情況: 可以延拓，(1) 解)(xy可以延拓到區(qū)間),0 x(2) 解)(xy只可以延拓到區(qū)間),0mx其中m 為有限數(shù)，則當(dāng) mx 時(shí)，或者 )(xy無(wú)界，或者)(,(xx 趨于區(qū)域 G 的邊界。 3.2 Extension Theorem3 解的延拓定理定理.)(,(,)(),() 1 . 3(.),(,),() 1 . 3(00的邊界任意接近直到點(diǎn)可以延拓的解內(nèi)任一點(diǎn)通過(guò)那么方程件條滿足局部關(guān)于內(nèi)且在在中連續(xù)在有界區(qū)域右側(cè)函數(shù)如果方程GxxxyyxGLipschitzyyxfGGyxf.)(,( ,)(,0邊界的趨于區(qū)域時(shí)則當(dāng)上間只延拓到區(qū)如果增大的一方來(lái)說(shuō)以向Gxxmxm

11、xxxyx證明初值問(wèn)題由解存在唯一性定理,),(00Gyx)2(,)(),(00yxyyxfdxdy.),(00hxxxy解的存在唯一區(qū)間為存在唯一解則初值問(wèn)題為心作一小矩形以取,),(),(,11111001GRyxxyhxx)3(,)(),(11yxyyxfdxdy11( ),0.yxxxh存在唯一解解的存在唯一區(qū)間為),()(,),()(11xxxx應(yīng)有在兩區(qū)間的重疊部分由唯一性定理因),()(111xxxxhx時(shí)即當(dāng)定義函數(shù),),(),()(11000000*hxxhxxhxxhxxx.,),3()(2() 1 . 3()(,1100*上有定義的唯一解在或滿足為方程那么hxhxxy.)

12、,()2() 1 . 3(一段在定義區(qū)間向右延長(zhǎng)了的解滿足這樣我們已把方程xy,)()()2() 1 . 3(00*的向右方延拓區(qū)間在定義為解的解滿足即方程hxxxyxy,10000上即將解延拓到較大區(qū)間hhxxhx.)( 向左方延拓同樣方法可把解xy 以上這種把曲線向左右兩方延拓的步驟可一次一次地進(jìn)行下去.直到無(wú)法延拓為止. )()2() 1 . 3(xy的一個(gè)解滿足即得到 它已經(jīng)不能向左右兩方繼續(xù)延拓的,即得到了(3.1)的飽和解.最后得到一條長(zhǎng)長(zhǎng)的積分曲線,推論1上的初值問(wèn)題對(duì)定義在平面區(qū)域G.),(,)(),(0000Gyxyxyyxfdxdy其中,),(條件滿足局部?jī)?nèi)連續(xù)且關(guān)于在若L

13、ipschitzyGyxf則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.推論2為初值問(wèn)題設(shè))(xy.),(,)(),(0000Gyxyxyyxfdxdy其中.,一定是開(kāi)區(qū)間則該飽和解的飽和區(qū)間一個(gè)飽和解I證明,不是開(kāi)區(qū)間若飽和區(qū)間I,(I設(shè)G) )(,(則,)( 還可以向右延拓這樣解xy矛盾從而它是非飽和解,同樣討論時(shí)對(duì),),I.)(,( ,)(Gxxx時(shí)或即推論3有下面的兩種情況一方的延拓來(lái)說(shuō)減少增大向以可以延拓的解的通過(guò)點(diǎn)方程在上面延拓定理?xiàng)l件下是無(wú)界區(qū)域如果,)(,)(),() 1 . 3(,00 xxyyxG,)(,)() 1 (00 xxxy可以延拓到區(qū)間解Gxxmymxmxmmxxy)(,(

14、,)(,)(,)()2(00或者無(wú)界或者時(shí)當(dāng)為有限數(shù)其中可以延拓到區(qū)間解 例例1 1討論方程212ydxdy以及通過(guò)點(diǎn) (ln2,-3) 的解的存在區(qū)間。解解的通過(guò)點(diǎn)(0,0)的解方程右端函數(shù)在整個(gè) x y 平面上滿足解的存在唯一 性定理及解的延拓定理的條件。xxcecey11方程的通解為通過(guò)點(diǎn)(0,0)的解為xxeey11其存在區(qū)間為),(通過(guò)點(diǎn)(ln2,-3)的解為xxeey11其存在區(qū)間為 x0 3.2 Extension Theorem-3(ln2,-3) -1 x y 1 ln2 但向左方只能延拓到 0, 過(guò)點(diǎn)(ln2,-3)的解向右可以延拓到xxeey11因?yàn)楫?dāng) 0 x時(shí),y這相當(dāng)

15、于解的延拓定理推論中(2)的第一種情況。注意注意：(無(wú)界) 3.2 Extension Theorem 例例2 2討論方程xdxdyln1的解的存在區(qū)間。滿足條件0) 1 (y方程右端函數(shù)右半平面 x 0 上定義且滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件。解解通過(guò)點(diǎn)(1,0)的解為xxyln其存在區(qū)間為), 0( ，但向左方只能延拓到 0, 向右可以延拓到因?yàn)楫?dāng) 0 x時(shí),0lnxxy這相當(dāng)于解的延拓定理推論中(2)的第二種情況。(趨于G的邊界 y=0 ) 3.2 Extension Theorem例例3 用解的延拓定理證明如果 f (x, y)在整個(gè) x y 平面上定義、連續(xù)和有界，存在關(guān)

16、于 y 的一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則方程),(yxfdxdy的任一解均可以延拓到區(qū)間 。),(00)(),(yxyyxfdxdy證明證明)(xyKyxf),(KxK)( 3.2 Extension Theorem)(xy所以值域在如圖的陰影區(qū)內(nèi)，否則)(xy將穿過(guò)直線)(00 xxKyy)(00 xxKyyxyo)(00 xxKyy)(00 xxKyyx0y0)(xyx1則會(huì)有Kx )(與Kyxf),(11矛盾。由解的延拓定理推論，方程的任一解均可以延拓到區(qū)間 。),( 3.2 Extension Theorem例2 2ydxdy.) 1 , 1 (),0 , 0(的解存在區(qū)間通過(guò)點(diǎn)中的方程研究定義于

17、帶域32x解,),(2處處連續(xù)yyxf,條件滿足局部且在帶域中關(guān)于Lipschitzy方程通解為,1xcy. 0:y此外還有解.0, 0)0 , 0(的邊界能達(dá)到的兩端都積分曲線的解為方程過(guò)Gyy,21) 1 , 1 (xy的解為方程過(guò), 2x它的左端達(dá)到;,2yx時(shí)但右端當(dāng). 3xG的邊界故不能達(dá)到,( , )231,( 2,3).f x yx該例題說(shuō)明 雖然在帶形區(qū)域中滿足定理 的要求 但方程的解都不能夠延拓到整個(gè)區(qū)間上去注).,() 1 . 3(,),(以延拓到區(qū)間的解可則方程偏導(dǎo)數(shù)的一階連續(xù)同時(shí)存在關(guān)于連續(xù)和有界平面上有定義在整個(gè)如果函數(shù)yxyyxf 2 設(shè)線性方程)()(xQyxpd

18、xdy當(dāng) P(x),Q(x) 在區(qū)間 上連續(xù)，則由任一初值),(),(00yx所確定的解在整個(gè)區(qū)間上都存在。 ),(0 x),(練習(xí)練習(xí)1 討論方程2ydxdy的解的存在區(qū)間。上滿足條件1) 1 (y31x1) 1 ( yand)3 , 0( ),2 , 1(在 3.2 Extension Theorem思考題思考題1）求方程22yxdxdy滿足條件0)0(y的解的逐次逼近),( ),( ),(321xyxyxy以及 h 的最大值。2）設(shè)f(x, y)在整個(gè) x y 平面上連續(xù)，證明從 兩曲線 之間任一點(diǎn) 出發(fā) 的且滿足方程 的解必xey),(00yx),()(22yxfeydxdyx可延拓到半無(wú)限區(qū)間 。),(0 x 3.2 Extension Theorem3） 求具有性質(zhì))()()()()(sxtxsxtxstx1的函數(shù) x(t)，已知)(0 x存在。解解0 st)()()(010202xxx00 )(xstxstx