幾類微分算子的譜分析

1、幾類微分算子的譜分析 分類號密級編號論文題 目研究生:圃童亡指導(dǎo)教師:王夏豎塾握業(yè):專廑旦麴堂研究方向:微分算子譜理論二。一三年三月三。日 .,.,原創(chuàng)性聲明本人聲明:所。.÷交的?位論文造本人住導(dǎo)師的指導(dǎo)卜進 .的研究:及取得的研究成果。除本文已經(jīng)注明引的內(nèi)窬外.論文中小包含其他人三經(jīng)發(fā)表或撰;過的研究成聚,也包禽為獲得囪瑩直塞堂及其他敦育機構(gòu)的學(xué)化或證而使瑚過的材:。我?同:竹:的剛忠對本研究所做的任何奉獻均已在論文中仵了明確的說明并表示澍慮。空西史指導(dǎo)教師簽釔:學(xué)何淪文竹:青簽名:墮壘至刪:盟塒明:必日在學(xué)期間研究成果使用承諾書本學(xué)化論文作青完全.,解學(xué)校仃天保存、使學(xué)何論文的

2、規(guī)定。即:內(nèi)蒙占人學(xué)仃權(quán)將學(xué)化論艾的令郜內(nèi)窬或局部保存并向國家有關(guān)機構(gòu)、部送受。學(xué)似論文的復(fù)印住幣¨許編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索,也町以采川影印、縮印或其他復(fù)制手段保存、【:編。節(jié)妒淪艾。為保護學(xué)院和導(dǎo)師的知識產(chǎn)權(quán),作者在學(xué)期問取得的研究成果屬:內(nèi)蒙一人。學(xué)。作者今膈使涉及往學(xué)期臼亍:要研究內(nèi)容或研究成果.須,征得內(nèi)蒙占人學(xué)就瀆期問導(dǎo)師的剛意:符川:發(fā)表論艾.版權(quán)單何必須署名為內(nèi)蒙人。學(xué)方可投稿或公升發(fā)表。童萬義學(xué)何論文竹:囂簽釔:期:趔;:孓:夠日期:拋馬二.絲目 錄中文摘要英文摘要¨第一章緒論 .具有轉(zhuǎn)移條件微分算子的研究. .常微分算子譜的離散性研究. .對稱微分算子譜的

3、研究.:. .本文的結(jié)構(gòu)和主要結(jié)果. 第二章根本概念及根本性質(zhì) .根本概念. .根本性質(zhì). .根本問題.問題的自伴性?. .特征值的性質(zhì). .特征值的漸近公式.。. .根本問題.問題的自伴性. .特征值的性質(zhì).。. .特征值的漸近公式. 題.根本問題. .問題的自伴性.特征值的性質(zhì).特征值的漸近公式.。.第六章 具有特殊系數(shù)微分算子譜的離散性.預(yù)備知識.。.冪指積系數(shù)微分算子譜的離散性.歐指積系數(shù)微分算子譜的離散性.般系數(shù)微分算子譜的離散性.預(yù)備知識.“.復(fù)指數(shù)函數(shù)系數(shù).對稱微分算子譜的離散性.復(fù)冪指積系數(shù).對稱微分算子譜的離散性.復(fù)歐指秘系數(shù).對稱微分算子譜的離散性.總結(jié)與展望參考文獻主要符

4、號表致謝攻瀆學(xué)位期間已完成的學(xué)術(shù)論文幾類微分算子的譜分析摘要本文主要圍繞不連續(xù)奇異微分算子的譜及具有特殊系數(shù)微分算子譜的離散性展開研究.首先,應(yīng)用算子方法和函數(shù)論的方法,研究了正那么端點處邊界條件含特征參數(shù)且一個內(nèi)點處具轉(zhuǎn)移條件的奇異舢.算子問題,結(jié)合轉(zhuǎn)移條件定義新的內(nèi)積,把所研究的問題轉(zhuǎn)換成一個直和空間中相應(yīng)的奇異算子問題,在此空間下得到了新算子是自伴算子,它的特征值與所研究問題的特征值是一致的;通過所研究問題的根本解,獲不連續(xù)奇異聊.算子的譜,通過構(gòu)造新空間,把所研究的問題轉(zhuǎn)換成新空間下相應(yīng)的算子問題,得到了此算子是自伴算子;通過給定的邊界條件,將特征值問題轉(zhuǎn)化為判別函數(shù)的零點問題,得到了

5、其特征值的相關(guān)性質(zhì)及特征值的漸近公式.其次,研究了具實冪指積系數(shù)、實歐指積系數(shù)的偶數(shù)階對稱微分算式所生成算子的譜,運用算子分解與二次型比擬的方法,得到了微分算式的系數(shù)在一定的條件下該類微分算子所有自伴擴張的譜是離散的;另外,還研究了具有一般系數(shù)的實對稱微分算式生成算子的譜,得到該類算子無論末項和首項系數(shù)按照某種方式以無窮大為極限時其所有自伴擴張的譜是離散的,還是中間項系數(shù)按照一定的方式以無窮大為極限時也可決定其所有自伴擴張譜的離散性.最后,研究了一類具復(fù)指數(shù)系數(shù)的偶數(shù)階對稱微分算子的譜,當(dāng)其系數(shù)的實部與虛部都非負時,得到了該算子只有離散譜;進一步得到了微分算式系數(shù)的實部與虛部滿足某種條件時其譜

6、是離散的充分條件.同時,還研究了具復(fù)冪指積系數(shù)、復(fù)歐指積系數(shù)的一對稱微分算式生成的算子譜的離散性,得到了系數(shù)的實部或虛部滿足某些條件時其生成的一自伴微分算子的本質(zhì)譜是空集,即.自伴微分算子的譜是離散的.本文共分七章,第一章緒論,表達本文所考慮問題的背景及本文的主要結(jié)果;第二章是文中所涉及的主要根本概念及根本性質(zhì);第三章研究正那么點處邊界條件含特征參數(shù)且具有轉(zhuǎn)移條件的奇異?問題;第四章研究兩個邊界條件都含特征參數(shù)的不連續(xù)奇異伯咖.問題;第五章研究邊界條件都含特征參數(shù)且具有限個不連續(xù)點的奇異,瑚.問題;第六章研究具有特殊系數(shù)偶數(shù)階微分算子譜的離散性;第七章研究具有特殊系數(shù)一對稱微分算子譜的離散性.

7、關(guān)鍵詞:微分算子,奇異,轉(zhuǎn)移條件,特征值,一對稱,本質(zhì)譜,離散譜印,盯& 、 髓 ., 觚? 而 鋤 壯 丘 ,出 . . 甜功卜譏. ,、 , ,齜.百 ?砌 肌】砌一.吡 踟七.鋤 協(xié) 齜 【由 . 甜咖 .髓如 傭 讞伍. 伍 匆 珊,七 丘叩 .髓 伍 .衛(wèi)呦 . 矗眥咖伍伍 盯%. 丘,伍 . “ 甜婦 盯 西 毗.移 印玨.?能 伍 伽陀伍?.吼 西巧 移 ,.珊盯 . , 皿一叩 ; 壯 工 .印 盯? 盯鋤 . 盯? 鋤丘.印丑.麗 出 眥 ?.伍盯百 印: 雎,、協(xié), .,?, , 眥第一章緒論微分算子也是算子理論體系中廣泛應(yīng)用的最根本一類無界線性算子,是算子理論的一

8、個重要組成局部.微分算子的研究領(lǐng)域十分廣泛,包括微分算子的自伴擴張理論、譜理論、數(shù)值計算以及反問題等許多重要分支,內(nèi)容紛繁浩瀚.特別地,微分算子譜理論是世紀迅速開展起來的新興交叉學(xué)科領(lǐng)域,它以量子物理為主要應(yīng)用背景,它為微分方程眾幾類具特殊系數(shù)微分算子譜的離散性.具有轉(zhuǎn)移條件微分算子的研究自年至今,】珊一問題,特別是正那么的】瑚.】問題.,【】,卜【】,【】,】的研究在理論上和方法上都已相當(dāng)完備,但最經(jīng)典的】瑚一算子最大算子域中的函數(shù)要求至少一階導(dǎo)函數(shù)是絕對連續(xù)的,即使是這樣的要求在一些實際問題中也不能被滿足.為此,近年來越來越多數(shù)學(xué)工作者將研究興趣轉(zhuǎn)向具有轉(zhuǎn)移條件的咖.問題,它有著重要的應(yīng)用

9、前景,例如熱傳導(dǎo)和質(zhì)量轉(zhuǎn)移問題可以出現(xiàn)特征參數(shù),而且邊界條件里也可以出現(xiàn)特征參數(shù),許多工程技術(shù)領(lǐng)域中的一些偏微分方程如熱傳導(dǎo)方程或波動方程利用別離變量法便得到邊界條件中帶特征參數(shù)的微分方程邊值問題【】.正是由于許多實際問題往往需要轉(zhuǎn)化為具有轉(zhuǎn)移條件微分算子的問子已有諸多成果【】【】,【】,【】,】,【】.【】,【】,卜【叫,而具有轉(zhuǎn)移條件的奇異微分算子的研究相對較少【】,【】.為此,我們針對具有轉(zhuǎn)移條件的奇異微分算子進行了研究,并將正那么情形的相關(guān)結(jié)論成功地推廣到奇異情形.本文應(yīng)用算子方法和函數(shù)論的方法,研究了正那么端點處邊界條件含特征參數(shù)且一個內(nèi)點處具轉(zhuǎn)移條件的奇異珊一算子問題,結(jié)合轉(zhuǎn)移條件

10、定義新的內(nèi)積,把所研究的問題轉(zhuǎn)換成一個直和空間中相應(yīng)的奇異算子問題,在此空間下得到了新算子是自伴算子,它的特征值與所研究問題的特征值是一致的;通過所研究問題的根本解,獲不連續(xù)奇異卜算子的譜,通過構(gòu)造新空間,把所研究的問題轉(zhuǎn)換成新空間下相應(yīng)的算子問題,得到了此算子是自伴算子;通過給定的邊界條件,將特征值問題轉(zhuǎn)化為判別函數(shù)的零點問題,得到了其特征值的相關(guān)性質(zhì)及特征值的漸近公式.常微分算子譜的離散性研究微分算子譜理論是微分算子理論中的重要組成局部之一,它包括微分算子譜的定性、算子譜理論與物理實際應(yīng)用緊密相聯(lián),譬如奇異微分算子譜分析是解決量子力學(xué)的得力的二階微分算子譜的離散性判別準那么發(fā)表以來,譜的定

11、性、定量分析方面在國際蓬勃發(fā)展起來無論是階數(shù)由低到高,還是權(quán)函數(shù)由有到無,以及微分算式系數(shù)由由實到復(fù)等方面取得了許多研究成果其專著見【】,【】,【】,【】,【】,】,【】,【】.譜的定性分析是指通過微分算式的系數(shù)、問題的邊界條件來分析判斷微分算子譜的相兼性質(zhì).關(guān)于微分算子譜的定性定量分析,其研究工作有兩個主要途徑:一個是分析法的.】問題的研究:即的漸近估計方法和的變分方法.所謂分析法,是以解析函數(shù)理論為根底分析預(yù)解式、函數(shù)和微分方程解的漸近的工作中,僅就經(jīng)典著作【】,【;】中使用的方法就表達出了超高的技巧性和工作的艱巨性.這種方法的優(yōu)點是即便對于高階的微分算子,在一定程度上仍然十分奏效,一般地

12、系數(shù)需要另外的附加條件.用算子的方法處理微分算子譜的定性定量分析,是半個世紀來廣泛采用的方法.在.【】,.【】,.訌髓【】,.種方法的理論根底是空間中閉線性算子的譜理論和全連續(xù)攝動的相關(guān)理論【】,法在處理奇異微分算子譜的離散性分析時,由有限區(qū)間上正那么微分算子本質(zhì)譜是空集,故我們可以忽略系數(shù)在有限區(qū)間上的取值情況,其譜的離散性僅取決于系數(shù)在無窮遠附近的取值.二次型比擬的方法,是通過空間嵌入算子的連續(xù)性、緊性的刻畫來研究奇異微分算子譜的下有界性和離散性.由于自伴算子的剩余譜是空集,奇異微分算子譜的譜是離散時,其豫解式,函數(shù),按本征函數(shù)展開等與正那么微分算子情形十分相似,處理上就會變得更加方便簡潔

13、,所以關(guān)于微分算子譜的離散性研究一直以來倍受重視,取得了許多成果,如【】,】,】.【】,【】,【卜【】,【】,】.【,【卜【】等一系列工作.盡管微分算子譜的離散性問題已經(jīng)獲得了豐碩的成果,但是至今微分算子譜的離散性問題的統(tǒng)一框架仍沒有徹底解決以上綜述局部的材料來源于文獻】,【】,【】.具有相同有限虧指數(shù)的對稱微分算子的自伴擴張并不是唯一確定的,但它的所有自伴擴張都具有相同的本質(zhì)譜,即自伴算子譜的離散性質(zhì)完全僅依賴于它所對應(yīng)的微分算式的系數(shù).正是由于微分算子的譜分析和系數(shù)之間有著復(fù)雜的連帶關(guān)系,才致使目前已有的工作絕大局部集中于常系數(shù)、冪系數(shù)、指數(shù)函數(shù)系數(shù)或者是系數(shù)可以用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)來估計的

14、微分算子的譜分析上.而對于某些特殊系數(shù)諸如冪指積系數(shù)、歐指積系數(shù)那么,豐富了微分算子譜的離散性的相關(guān)成果,為構(gòu)造微分算子譜的離散性問題統(tǒng)一框架提供了相關(guān)信息.本文首先研究了具實冪指積系數(shù)、實歐指積系數(shù)的偶數(shù)階對稱微分算子的譜,運用算子分解與二次型比擬的方法,得到了微分算式的系數(shù)在一定的條件下該類微分算子僅有離散譜;其次研究了一類具一般系數(shù)的對稱微分算式生成的自伴微分算子的譜,得到該類微分算子無論末項和首項系數(shù)按照某種方式以無窮大為極限時其譜是離散廣,并且包含了二階和高階兩項微分算式所生成的最小算子的所有自伴擴張的譜是離散的著名的.判定定理.一對稱微分算子譜的研究.自伴微分算子的譜理論的研究起源

15、于人們對耗散算子和具有復(fù)勢能的甜算子的研究.一對稱微分算子在某些方面的性質(zhì)可能較對稱微分算子有更為簡潔明了,比的性質(zhì)更為復(fù)雜,比方復(fù)系數(shù)珊.,問題的點型與圓型屬性就完全異于實系數(shù)情形,細節(jié)可參看.當(dāng)算子是自伴或,自伴時,它的剩余譜是空集,從而只需研究其點譜和連續(xù)譜.自子的譜可分為離散譜和本質(zhì)譜兩局部,所以一自伴微分算子譜的定性分析類似于自伴微分算子的譜分析,也就是給出.自伴微分算子譜的分布即點譜、連續(xù)譜的存在圍范,離散性等等.對于一對稱微分算子理論的研究,繼盯嘲】, 】和 】之后,【卜【】,【】,卜【】,己【卜【】,】,件,同時也得到了關(guān)于.自伴微分算子特征問題的相關(guān)結(jié)論.世紀末世紀初期,孫炯

16、教授,尚在久【】.【】,王忠【】【】,楊傳富【】等在已有工作的根底上對于一對稱微分伴微分算子的譜理論以上綜述局部的材料來源于文獻【】,【】.我們利用算子的方法、分析方法和直和分解的方法,研究了一類具復(fù)指數(shù)系數(shù)的偶數(shù)階對稱微分算子的譜,得到了微分算子系數(shù)的實部與虛部都非負是算子的譜是離散的一個充分條件;進一步得到了微分算子系數(shù)的實部與虛部滿足一般條件時其譜是離散的一些充分條件.另外,還研究了伴微分算子系數(shù)的實部或虛部滿足某些條件時其本質(zhì)譜是空集,即一自伴微分算子的譜是離散的.本文的結(jié)構(gòu)和主要結(jié)果本文主要圍繞不連續(xù)奇異微分算子的譜及具特殊系數(shù)微分算子譜的離散性展開研究.本文共分七章,第一章緒論,表

17、達本文所研究問題的背景及本文的主要結(jié)果;第二章是文中所涉及的主要根本概念及根本性質(zhì);第三章研究正那么端點處邊界條件含特征參數(shù)且具有轉(zhuǎn)移條件的奇異卜問題;第四章研究兩個邊界條件都含特征參數(shù)的不連續(xù)奇異問題;第五章研究邊界條件都含特征參數(shù)且具有限個不連續(xù)點的奇異咖一問題;第六章研究具特殊系數(shù)偶數(shù)階微分算子譜的離散性;第七章研究具特殊系數(shù).對稱微分算子譜的離散性.本文的主要結(jié)果:一應(yīng)用算子方法和函數(shù)論的方法,研究了正那么端點處邊界條件含特征參數(shù)且一個內(nèi)點處具轉(zhuǎn)移條件的奇異?算子問題,結(jié)合轉(zhuǎn)移條件定義新的內(nèi)積,把所研究的問題轉(zhuǎn)換成一個直和空間中相應(yīng)的奇異算子問題,在此空間下得到了新算子是自伴算子,它的

18、特征值與所研究問題的特征值是一致的.通過所研究問題的根本解,獲步給出了所研究問題特征值的漸近公式.二研究了兩個邊界條件含特征參數(shù)的不連續(xù)奇異珊.算子的譜,通過構(gòu)造一個新空間,把所研究的問題轉(zhuǎn)換成新空間下相應(yīng)的算子問題,得到了該算子是自伴算子;通過給定的邊界條件,將特征值問題轉(zhuǎn)化為判別函數(shù)的零點問題,得到了其特征值的相關(guān)性質(zhì)并給出了其特征值的漸近公式.三討論了邊界條件都含特征參數(shù)且具有有限個不連續(xù)點的奇異算子的譜,結(jié)合轉(zhuǎn)移條件構(gòu)造直和空間,將所研究的問題轉(zhuǎn)換成新空間下的算子問題,得到了該算子是自伴算子,其特征值是實的至多可數(shù)個且下方有界的;通過所研究問題的根本解,給出了其特征值的漸近公式.四研究

19、了具實冪指積系數(shù)、實歐指積系數(shù)的偶數(shù)階對稱微分算子的譜,運用算子分解與二次型比擬的方法,得到當(dāng)微分算式的系數(shù)在一定的條件下時該類微分算子所有自伴擴張的譜是離散的;五研究了一類具一般系數(shù)的對稱微分算式生成的微分算子的譜,得到該類微分算子無論末項和首項系數(shù)按照某種方式以無窮大為極限時其所有自伴擴張的譜是離散的,還是中間項系數(shù)按照一定的方式以無窮大為極限時也可決定其所有自伴擴張的譜的離散性.六研究了一類具復(fù)指數(shù)系數(shù)的偶數(shù)階對稱微分算子的譜,當(dāng)微分算子系數(shù)的實部與虛部都非負時,得到了該算子的譜是離散的充分條件;進一步得到了微分算子系數(shù)的實部與虛部在某些特定的條件下其只有離散譜.七研究了具復(fù)冪指積系數(shù)、

20、復(fù)歐指積系數(shù)的一對稱微分算式生成的算子的譜,得算子的譜是離散的.本文處理問題的根本方法:一對于二階不連續(xù)奇異微分算子譜分析的研究,采用的方法是結(jié)合邊界條件定義連續(xù)正那么微分算子譜分析的根本方法,而我們將其應(yīng)用到二階不連續(xù)奇異微分算子譜分近公式可以為相關(guān)的數(shù)值計算提供理論支持.利用這些方法研究了幾類具有特殊實系數(shù)的對稱微分算子譜的離散性及一些具有特殊復(fù)系數(shù)的一對稱微分算子譜的離散性,得到了所研究問題的譜是離散的一些充分必要條件.其主要目的是通過具有特殊系數(shù)的微分算子譜的離散性研究為具有一般系數(shù)微分算子譜的離散性統(tǒng)一框架的建立提供相關(guān)的信息.第二章根本概念及根本性質(zhì)為了方便閱讀本文,本章給出文中所

21、涉及的主要根本概念以及相關(guān)性質(zhì),其來源于文獻【】,【】,【】,【】,【】.根本概念本節(jié)給出文中所主要涉及的根本概念.定義.設(shè)是復(fù)線性空間,如果對任意的,可,都有一個復(fù)數(shù),秒與之對應(yīng),并且滿足以下性質(zhì):,當(dāng)且僅當(dāng)正定性,掣,可力口性,耖,齊次性,瓦面儕次性,其中,那么稱,可為與耖的內(nèi)積,定義了內(nèi)積的空間稱為內(nèi)積空間.定義.完備的內(nèi)積空間稱為空間.定義.設(shè)是定義在空間日中的閉稠定線性算子,表示的共軛算子.假設(shè) ,那么稱是對稱的假設(shè),那么稱是自伴的.定義.定義域在空間中日稠定的算子稱為乒對稱的,如果對于日中的復(fù)共軛,有,其中是的共軛算子,而.特別地,當(dāng),時,我們把算子稱為自伴算子.定義.設(shè)噩,乃是空

22、間日中的對稱絨乒對稱算子,假設(shè)噩易,那么稱死是乃的一個對稱絨乒對稱,擴張.定義.設(shè)乃是對稱絨對稱算子,乃是自伴做工自伴算子,假設(shè)噩噩,那么稱乃是孔的一個自伴絨工自伴擴張.定義.設(shè),是空間,:?是一個線性算子,如果對于中的任何有界子集,關(guān)于的值域的閉包開酉是緊的,那么稱是一個緊的線性算子,或稱全連續(xù)算子.定義.設(shè)是空間日中的閉對稱線性算子,入入是一個復(fù)數(shù),那么稱子留?,上,歷口一天上的維數(shù)分別記為,一,那么稱盯一,礦為閉對稱線性算子的虧指數(shù).下面我們引入線性算子預(yù)解集和譜集的相關(guān)定義.義域,并假設(shè)在日中稠密.稱為的正那么點,如果入?的值域在日中稠密,預(yù)解集夕,記為,即刁:入,一是一一的,留,一在

23、日中稠密,入?是有界線性算子.在復(fù)平面中,正那么點集的補集稱為算子的譜集仃,即仃.復(fù)數(shù)集口中的點稱為算子的譜點.一般地,譜集仃可分類為點譜唧,連續(xù)譜民和剩余譜,仃唧%其中唧:,一不是一一的】.,入:入,一是一一的,但是留入?在日中不稠密,.吼:入?是一一的,留入?在日中稠密,但是?.是無界線性算子.我們把唧稱為算子的正那么點,把唧稱為算子特征值或本征值.定義.設(shè)入為特征值,那么,一的非平凡解稱為的特征元素.定義.設(shè)是空間日上的自伴算子,那么把譜集仃中的全體聚點和無限重的孤立的特征值點所組成的集合稱為的本質(zhì)譜,記為.本質(zhì)譜在譜集中的補集稱為的離散譜,記為%盯盯。,即%是全,那么稱的譜是離散的.定

24、義.點列幾稱為線性算子關(guān)于入的匆列,如果住 , ,弱收斂到仍且一入寸佗÷。.下面將給出微分算式生成的微分算子的相關(guān)概念.定義.設(shè)切:壹。七可七是區(qū)間,上的微分算式,稱壹習(xí)可可七為幻七 七的共軛微分算式,記為三.如果,那么稱微分算式三是對稱的.注.偶數(shù)階對稱微分算式的一般形式為切一七。七可知,七其中是釓是實函數(shù).特別地,二階對稱微分算式是二可一可,其中和都是實函數(shù),通常稱這個微分算式為&一厶叫優(yōu)算式.根本性質(zhì)本節(jié)給出本文中根本概念的相關(guān)性質(zhì).引理.假設(shè)是有界線性算子,的值域冗是有限維的,那么是全連續(xù)算子絨緊的線性算子.引理.設(shè),是空間,是從到的緦生算子,那么以下表達是等價的:是

25、全連續(xù)算子是一個有界集,那么包含在的一個緊子集中;是一個有界集,那么包含在的一個自列緊的子集之中對于中的任何有界點列,乳中包含一個中的收斂的子列對于中的任何有界集,是中的完全有界集.引理.的虧指數(shù)僅與在上下平面的位置有關(guān),而與入的取值無關(guān).引理.設(shè)是空間日中的閉對稱算子,其虧指數(shù)為一,那么存在對稱擴張的充要條件是?;存在自伴擴張的充要條件是一是最大對稱算子但非自伴算子的充要條件是一,中恰有一個等于毋是自伴的充要條件是一.引理.假設(shè)為對稱算子,那么的特征值為實數(shù),且對應(yīng)于不同特征值的特征元素相互正交.特別地,假設(shè)為自伴算子,那么的特征值也為實數(shù),且對應(yīng)于不同特征值的特征元素也相互正交.引理.設(shè)是

26、空間日上的自伴算子,那么聽.引理.自伴算子的譜集中的任意離散點都是的特征值.引理.設(shè)是空間日上的自伴算子,那么以下表達是等價的:吼;存在關(guān)于的匆列對于,疵取一毋一。.引理.,鏟恒等式,對于任意的,三,有訓(xùn)一出瓦兩芻糾吐其中一影,弘是切一溉,耖的共軛微分算式,【糾可孑一,丟是半雙線性型.引理.,公式,對于任意的可三,名三,有,三可,名一矽,三/乏三矽一瓦阿】一曲口.,黝嬲刪 【夕】 匆】第三章正那么端點處含特征參數(shù)且具有轉(zhuǎn)移條件的奇異?問題不連續(xù)的砌一問題由于其在物理上的應(yīng)用背景引起了人們越來越多的研究興趣,比方質(zhì)量和熱量轉(zhuǎn)換問題、繞射問題通常都會歸結(jié)為帶有轉(zhuǎn)移條件的瑚一問題.對于具有轉(zhuǎn)移條件的

27、不連續(xù)砌一問題特征值的相關(guān)性質(zhì),按特征函數(shù)展開等問題已為很多數(shù)學(xué)工作者所關(guān)注,其研究主要集中于不連續(xù)正那么微分算子,但對不連續(xù)的奇異微分算子的相關(guān)研究比擬少見.本章應(yīng)用算子方法和函數(shù)論的方法,研究了正那么端點處邊界條件含特征參數(shù)且一個內(nèi)點處具轉(zhuǎn)移條件的奇異珊一算子問題,結(jié)合轉(zhuǎn)移條件定義新的內(nèi)積,把所研究的問題轉(zhuǎn)換成一個新直和空間中相應(yīng)的奇異算子問題,在新空間下得到了該算子是自伴算子,它的特征值與所研究問的特征值是一致的;通過所研究問題的根本解,獲得了其特征值是實的至多有可數(shù)多個且下方有界及特征值剛好其判別函數(shù)的零點.進一步給出了其特征值的漸近公式.根本問題考慮對稱微分方程三:一礦矽, .和依賴

28、于特征參數(shù)的邊界條件三暑:入耖一一秒一一剪一一口可一, .:口【可】可,】, .及處具有轉(zhuǎn)移條件:可,一一一一 .,:仡妙艘影一秒一一如一 .所生成的微分算子問題,其中,【,/衍,【,/建,是正實數(shù);三,入是復(fù)特征參數(shù);系數(shù)巧,肋,%,歹,.極限可士罌.琴是有限的.可,拋是方程一可,拶的兩個線性無關(guān)解且【可拋】本章假設(shè)切在處是極限圓型的,式。.一.中的系數(shù)滿足口。,三:三:。,:三:。,窆:。.注.由于切在點處是極限圓型的,那么由引理.和引理.知,詹吼可如,.詹.的給定是合理的.問題的自伴性在區(qū)間上平方可積的復(fù)值可測函數(shù)全體組成的空間日【,中定義如下內(nèi)積:,日,夕磺/瓣廁/,五兩,一 .,其中

29、,【一,;,;,【一,;仇,.中定義內(nèi)積:在線性空間日日,啊/,歹石弘磁/,兩出三南面麗孥三南面“,啊仁瓣磁 .,一其中.【,而日:,日,那么日是一個空間.為了簡便記:一暑可一一秒一, 二可,一一一.在空間日中定義算子,其定義域為日:可,秒一,/,可,.切日,矽士,矽,士是有限,厶矽,珈二可】.令吖秒,可,那么問題.可以寫成:入其中勛二,白,可,可日.于是,我們可以在空間日中通過方程吖入來研究問題.,顯然,我們有定理.問題.一.的特征值與算子的特征值是一致的,其特征函數(shù)是算子的相應(yīng)特征函數(shù)的第一個分量.定義.我們把,夕;,夕一,稱為,和夕的漸嬲幻行列式.特別地,我們把瑚,別記作為,.定理.算子

30、是覷庀空間日中的自伴算子.證明本定理的讓明分以卜二個晉;分:由定理.【】易知,口在日中是稠密的.下面證明在日中是對稱的.對于任意的,有,助;/,兩翻/,耳孔婦三一.廳多面.,助;,麗如翻,珊蘭一,百麗. .,一由分部積分可得,廣前/,麗出卉/,麗出雪;一一,雪;一。.,一.,一建,麗如建,瓦硯,雪;一彬,雪;。因此,.,口,亙生,雪舊蘭?,百巧一二,百面.由定義.和轉(zhuǎn)移條件。.一.知,.加;罷加;.由邊界條件.一。.和引理.可得,口一,百巧一二,百面,雪;一, ,雪; .將式.一.代入式.中,得.接下來證明在日中是自伴的.要證在日中是自伴的,只需證明對于任意的,假設(shè) ,那么且,其中夕,九丁,叫

31、,七,即:日;夕,一, 夕,必,;三;.伽三;日 ,由 ,伽和經(jīng)典的理論可知,和成立.由及任意的,等價于.毗蘭元釓,功蘭石碼,.由分部積分得,口礦,雪與礦,雪.將式.代入式。.得,.蘭而。,口,酬與,列蘭無一?,由補綴引理知,存在,使得【,】,拋】,士,士,一,一將上式代入式.中可得,成立.同理可得,成立.由盯補綴引理知,存在,使得,士,士,一,一,【,】可】,【,拋】一口阿沈】將上式代入式。.得,夕.同理可得,厶夕,.口綜上所述,在日中是自伴的.推論.問題.一.的特征值是實的,且假設(shè),是它的兩個不同的特征值,其相應(yīng)的特征函數(shù)分別是,那么在內(nèi)積.,.日下是正交的,即:麗如蘭二。釷百幣。.助;仳

32、瓦動廁.特征值的性質(zhì)引理.【】假設(shè)是區(qū)間口,上的實值函數(shù),入,入是給定的整函數(shù),那么對于任意的,方程:一矽秒,存在滿足如下初值條件的唯一解矽,入:口, 正且對于,入是關(guān)于的整函數(shù).令:,入是方程.滿足初值條件可一一, 可一一口的解,那么我們可以得到方程.滿足初值條件兒可矽咖一,口硝一,入,化可艦矽如一,口糾一,的唯一解:,入.因此,在區(qū)間,【一,上定義函數(shù):砂,入,:二:支;:二莖墨:;顯然,滿足邊界條件.和轉(zhuǎn)移條件.一.同理,我們可以定義函數(shù):入:,入一,.,【,入,使其滿足邊界條件.和轉(zhuǎn)移條件.我們把上面定義的兩個函數(shù),入,稱為方程.在區(qū)間,【一,上的兩個根本解.下面將用到的記號:可:可一

33、一一一一一可一:【可可】【】秒:剪一可一一一可:耖一一一口一 加 加 形咖 加 屯 紅尬由于卜問題的行列式如,施;是不依賴于,因此,函數(shù)蚍:咖,勉;是的整函數(shù).從而,我們有定理.對于任意的入,:.證明由于而行列式加,;是不依賴于珀勺,因此,忱入:忱:咖地¨鈣砭由轉(zhuǎn)移條件.一.知,入,呂轟二蘭;萎;二蘭;罷入,.口定理.對于任意的,譬.證明由如,船,和的定義知,一,入,二:三:二蘭;:差二蘭;:妻:三;:竺:芝:蘭;咖一口一如一一入,筆:三:二昌:翥二昌:妻:二昌:二;二暑知口由定理.知,的零點與的零點是一致的,因此,我們把函數(shù):?多入,稱為問題.的判別函數(shù).定理.問題.。.的特征值與

34、判別函數(shù)入的零點是一致的.證明首先證明判別函數(shù)的零點是問題.一.的特征值.假設(shè),那么入.因此,函數(shù)鋤知,知是線性相關(guān)的,即忱沁七知,忌.由沁滿足邊界條件.知,九沁滿足邊界條件。.故,入是對應(yīng)于知的特征函數(shù),即是問題.的特征值.接著證明問題.的特征值是判別函數(shù)的零點.假設(shè)知是問題.。.的任一特征值,那么知.下面利用反證法證明,不妨假設(shè)知是問題.的特征值,而叫入.設(shè),知是對應(yīng)于特征值知的任一特征函數(shù),那么咖,知可以表成入 入 ,;弘 入,、 、,入一哆西也如 ,、, 、,、, ,、, 、,、, ,一,其中,至少有一個不為零.由于咖,入是對應(yīng)于特征值知的特征函數(shù),因此,滿足邊界條件.和轉(zhuǎn)移條件.一.

35、,即厶咖,入,.由知,上面方程組的系數(shù)矩陣的行列式知譬入.因此,口,這與,至少有一個不為零矛盾,故知,即知.定理.問題.一.的實特征值是下方有界的.口證明本定理的證明見下節(jié)注.特征值的漸近公式定理.令入,砧,那么問題.,.的根本解,入滿足如下積分方程:未一毗未?去毗?未出譬仁未腳砒四礎(chǔ)未州加熊型些必警鱉坐出趔未蚺虹墜塑型型型蟲坐型巡集“譬未陋酬州】四排成其中七,.證明由于是如下初值問題的解一可,【一,。白秒, 一,可一一,礦一一.應(yīng)用常數(shù)變易法可得,咄。未咄蚍?啦譬仁銣四讎武.對上式求導(dǎo)可得,烈入一一口 一,;/一必.,一由也是如下初值問題的解硎,可:赴,暑妒一口糾一口可礦先一蛾一那么州班鯉型

36、型監(jiān)等型虹必觸生二絲皇壘苧生里±絲二絲呈蘭叢墨二里譬霉耽一屯式.對上式求導(dǎo)可得,鈣一警【化口一如入一一如糾一】一化咖一一隴口硝一】耽旌/一必.口定理.令,釔,那么當(dāng)?一。時,函數(shù),具有如下漸近式,并且對于【一,】是一致成立的:當(dāng)時,殺帆:郴殺蚪¨咖計,未耽?慟嘲,七。.未也施警加如一應(yīng)%當(dāng)時,殺帆詈殺?。訓(xùn)外,未。仡印?時四,七,.未也施等比%一恥%證明應(yīng)用引理易得的漸近公式.下面給出赴的漸近公式,其中鋤是滿足如下初值問題的解:兒可暑,口,一可一,仍可艘可如 ,一如一.將時的漸近式代入上式并注意到 。名, 名,?？杉円淮?如。警隴一如?如一以 】.囂【如一艦冊一加武。?饑

37、卻歸譬令?,霉,入,那么,一七斗忱九入.記群】階,姚那么入%口一舳如裔?因此,當(dāng)?一。時,即?砌?一。,并將其代入.中可得中鳧情形關(guān)于鋤的結(jié)論.口同理,應(yīng)用與中七的情形相同的過程,我們可以得到其他相關(guān)的結(jié)論.應(yīng)用與定理.的相同的過程,我們得定理.令,沈,那么當(dāng)?÷。時,函數(shù)勉,具有如下漸近式,并且對于【,】是一致成立的:未。等。:目一艦。沈未。跗叫圳嘲,未:未沈一。舳卜兵中后,.定理.令入,那么當(dāng)?寸時,判別函數(shù)入具有如下漸近式:當(dāng)時,礎(chǔ)?帆例;型凈%一腳當(dāng)時,一竺乎墮如一成伊慨.證明將定理.和定理.中關(guān)于咖,勉,的漸近公式代入.口中即可得到本定理的結(jié)論,這里不再贅述.注.定理.的證

38、明證明令讓并將其代入入中可得,當(dāng).÷時,一。.口因此,當(dāng)一充分小時,這就說明實特征值是下方有界的.定理.問題.的特征值至多有可數(shù)多個,且當(dāng)佗÷時,其特征值漸近式有如下兩類:當(dāng)時,.佗肛等卅丟或肛等丌當(dāng)時,三.肛魯丌刪去,或肛魯丌證明當(dāng)時,令入入,那么入?,舭州入學(xué)舳%一腳下面我們應(yīng)用熟知的芭定理,即假設(shè),在封閉曲線吒碟: ?一佗一% 旦, 仡一 一一% 扛旦.一一一 內(nèi)解析,且,那么,在封閉曲線內(nèi)具有相同個數(shù)的零點.顯然,在曲線內(nèi),有.設(shè)入?是入入入的零點,且.不妨假設(shè)在曲線內(nèi),有此,在一;,】內(nèi),入有且僅有禮個零點,這說明入有且僅有可數(shù)個孤立的零點.令屈魯丌如,晶蠢,那么

39、當(dāng)佗時,將镢代兒中,得“擊.同理,我們可以得到第二類特征值的漸近公式為肛魯丌爭綜上所述得:當(dāng)時,問題.一.的特征值的漸近式為壓丌或肛魯丌?口應(yīng)用與上面相同的過程,我們可得情形的結(jié)論.第四章 兩個邊界條件含特征參數(shù)的不連續(xù)奇異.問題在前一章的根底之上,進一步研究兩個邊界條件中都含特征參數(shù)且在區(qū)間內(nèi)部具有一個不連續(xù)點的奇異,】.問題,通過構(gòu)造一個新空間,把所研究的問題轉(zhuǎn)換成此空間下相應(yīng)的算子問題,得到了該算予是自伴算子;通過給定的邊界條件,將特征值問題轉(zhuǎn)化為判別函數(shù)的零點問題,得到了其特征值的相關(guān)性質(zhì);通過其問題的根本解,給出了其特征值的漸近公式.根本問題考慮對稱微分方程:一穢入矽, .和依賴于特

40、征參數(shù)的邊界條件:可一秒口一口一可, .:盧阿剪】一拋】僥耖】一屁沈】, .及在內(nèi)部口,處具有轉(zhuǎn)移條件工:一,可一一,穢一 .可:可一仇可一一飽可一 .所生成的微分算子的漸近分析,其中【口,/瑤,陋,膈,是正實數(shù);三,入是復(fù)特征參數(shù);系數(shù)巧,助,%,.,.極限夕吐驤。可是有限的?設(shè)矽?,拋是方程一礦可的兩個線性無關(guān)解且滿足眈】.本章假設(shè)切在處是極限圓型的且式.中的系數(shù)滿足口舊三小帥 :。,乏:。.注.由于切在點處是極限圓型的,那么由引理。.和引理.知,鞏三可出,參麗如和【秒】是存在的,故脅】存在.同理,【秒】存在.因此,邊界條件.的給出是有意義的.問題的自伴性在區(qū)間,上平方可積的復(fù)值可測函數(shù)全

41、體組成的空間日中定義如下內(nèi)積, ,夕日仰/,麗出建/,麗如,.廠,夕.,口 .,其中,【,尼,。,.在線性空間日日 中定義內(nèi)積:,日,玩三南面去痢,其中,夕,卯,姍日,如,卯,姍那么日是一個覷空間.為了簡便記:玩口可一口口,碰可,口一口暑,島秒愚【】一歷拋】,磁可盧阿】一盧【可拋】.在空間日中定義算子其定義域為日:,爿【,厶,以,三,研,士,吐是有限,厶,江,如磁磁,.令吖勛,玩可,玩,其中勛切,那么問題.可以寫成其中可,或,磁.于是,我們可以在脅空間日中通過方程盯來研究問題.,顯然,我們有定理.問題.的特征值與算子的特征值是一致的,其特征函數(shù)是算予的相應(yīng)特征函數(shù)的第一個分量.定義.我們把夕;

42、,協(xié)一,稱為,和夕的慚伽切行列式.特別地,我們把定【,別記作為.定理.算子是空間日中的自伴算子.口證明本定理的證明可以參看定理.的證明過程.推論.問題.。.的特征值是實的,且假設(shè),入是它的兩個不同的特征值,其相應(yīng)的特征函數(shù)分別是,口,那么在內(nèi)積.,.日下是正交的,即:懈/。砑如癘/玨砸如三或以硒去玩琢。.特征值的性質(zhì)引理.【】.】假設(shè)是區(qū)間,上的實值函數(shù),入是給定的整函數(shù),那么對于任意的,方程三:一口剪,存在滿足初值條件可,可夕入,的唯一解材可,且對于,入是關(guān)于入的整函數(shù).令:,是方程.滿足初值條件矽口一入,矽一入口的解,那么我們可以得到方程.滿足初值條件矽一饑一一,可一,暑一仇剪一一仇可一的唯一解.因此,在區(qū)