多面體與球的接切(1)

1、7.2.2與球有關(guān)的切接問題與球有關(guān)的切接問題學(xué)學(xué)情分析情分析 幾何體外接球?qū)τ趯W(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，幾何體外接球?qū)τ趯W(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，主要有主要有如下問題（如下問題（1 1）圖形不會(huì)畫，圖形不會(huì)畫， （2 2）在畫出圖形的情況下在畫出圖形的情況下，不知道球心在什么位置，半徑是多少而無法解題。不知道球心在什么位置，半徑是多少而無法解題。 半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面球面.球面所球面所圍成的幾何體叫做圍成的幾何體叫做_,半圓的圓心叫做球的半圓的圓心叫做球的_，半圓的半徑叫做球的半圓的半徑叫做球的_ 。球球球心球心半徑半徑 性質(zhì)性質(zhì)2:

2、球心和截面圓心的連線球心和截面圓心的連線_于截面于截面22dRr性質(zhì)性質(zhì)1：用一個(gè)平面去截用一個(gè)平面去截球球，截面是，截面是_ ； 用一個(gè)平面去截用一個(gè)平面去截球面球面， 截線是截線是 _。大圓大圓-截面過截面過_，半徑等于球半徑；，半徑等于球半徑；小圓小圓-截面不過截面不過_性質(zhì)性質(zhì)3: 球心到截面的距離球心到截面的距離d與球與球 的半徑的半徑R及截面的半徑及截面的半徑r 有下面的關(guān)系有下面的關(guān)系:圓面圓面圓圓球心球心球心球心垂直垂直二、二、 球與多面體的接、切球與多面體的接、切定義定義1：若一個(gè)多面體的：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上都在一個(gè)球的球面上， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)

3、球的則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體內(nèi)接多面體， 這個(gè)球是這個(gè)這個(gè)球是這個(gè) 。定義定義2：若一個(gè)多面體的：若一個(gè)多面體的各面各面都與一個(gè)球的球面相切都與一個(gè)球的球面相切， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體外切多面體， 這個(gè)球是這個(gè)這個(gè)球是這個(gè) 。一、一、球體的體積與表面積球體的體積與表面積343VR 球球24SR 球球面面多面體的多面體的外接球外接球 多面體的多面體的內(nèi)切球內(nèi)切球問題探究一 球心在正方體的中心，隨著球的半徑逐漸增大，球與正方體有哪些特殊位置關(guān)系？正方體正方體的內(nèi)切、外接、棱切球的內(nèi)切、外接、棱切球.ra正方體的正方體的內(nèi)切內(nèi)切球球的半徑是棱的半徑是棱

4、長(zhǎng)的一半長(zhǎng)的一半正方體的內(nèi)切球正方體的內(nèi)切球球的直徑等于正方體棱長(zhǎng)。aR 2正方體的棱切球正方體的棱切球球與正方體的棱相切球與正方體的棱相切球的直徑等于正方體一個(gè)面上的對(duì)角線長(zhǎng)aR22切點(diǎn)：切點(diǎn)：各棱的中點(diǎn)各棱的中點(diǎn)。球心：球心：正方體的中心正方體的中心。直徑：直徑： “對(duì)棱對(duì)棱”中點(diǎn)連線中點(diǎn)連線正方體的外接球正方體的外接球球直徑等于球直徑等于正方體的（體）對(duì)角線aR32正方體的內(nèi)切球直徑正方體的內(nèi)切球直徑正方體的外接球直徑正方體的外接球直徑與正方體所有棱相切的球直徑與正方體所有棱相切的球直徑若正方體的棱長(zhǎng)為若正方體的棱長(zhǎng)為a，則，則aa3a2問題探究二 球與長(zhǎng)方體又有哪些位置關(guān)系？長(zhǎng)方體的外

5、接球長(zhǎng)方體的外接球長(zhǎng)方體的（體）對(duì)角線等于球直徑Rcbalcba2222，則、分別為設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高核對(duì)變式1答案 問題探究三 隨著球半徑的逐漸減小，球與正四面體有哪些特殊位置關(guān)系？1、球與正四面體的外接問題、球與正四面體的外接問題設(shè)棱長(zhǎng)為設(shè)棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球的半徑的正四面體的外接球的半徑R. aR4622212ROOBO2.球與正四面體的棱切問題球與正四面體的棱切問題 設(shè)棱長(zhǎng)為設(shè)棱長(zhǎng)為a的正四面體的棱切球的半徑的正四面體的棱切球的半徑R. 122=4Ra正方體的棱長(zhǎng)3.球與正四面體的內(nèi)切問題球與正四面體的內(nèi)切問題rShSV全面積底面積3131ar126 ShSr 底面積全面積14

6、SrSh底面積全面積14rh？63haOPABCDKH16412rha內(nèi)36=44arh外63haOPABCDKH122=4ra棱正方體的棱長(zhǎng)：若正四面體變成正三棱錐，方法是否有變化？22212ROOBO：若正四面體變成正四棱錐，方法是否有變化？22212ROOBO：正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，求其內(nèi)切球半徑r與外接球半徑R.1 1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等2 2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合3 3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高

7、線上，但、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合不一定重合4 4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理5 5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法28（2）正四面體的切接問題）正四面體的切接問題 例 3 、 一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為2， 四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上， 則此球的表面積為 （ ） A. 3 B. 4 C. 33 D. 6 C 解：設(shè)四面體為解：設(shè)四面體為ABCD， 為其外接球?yàn)槠渫饨忧蛐?。心?O 球半徑為球半徑為R，O為為A在平面在平面BCD上的上的射影，射影，M為為CD的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。連結(jié)連結(jié)B1

8、O222223() ,43 .323RRRR球解得所以SOABS1OMR301t00RAR利用勾股定理解得D1C1B1A1DCBA234()3,2S球= 解法解法2 構(gòu)造棱長(zhǎng)為構(gòu)造棱長(zhǎng)為1的正方的正方體，如圖。則體，如圖。則A1、C1、B、D是是棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為 的正四面體的頂點(diǎn)。的正四面體的頂點(diǎn)。正方體的外接球也是正四面體正方體的外接球也是正四面體的外接球，此時(shí)球的直徑的外接球，此時(shí)球的直徑為為 ，23選選A31CBA D A D 舉一反三：若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)分別為1、2、3，則其外接球的表面積是 .14S2563VCBAABCPP222222411=)()222abcSabacbcabc側(cè)（CBDAACDB球球里里面面的的內(nèi)內(nèi)接接圓圓柱柱問問題題等邊三等邊三角形角形直角三直角三角形角形等腰三等腰三角形角形120度度AA1CB3462014屆邯鄲市摸底考屆邯鄲市摸底考（2012遼寧遼寧理理16） 已知正三棱錐已知正三棱錐 P-ABC，點(diǎn)，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為都在半徑為 的的球球面上，若面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂兩兩互相垂直，則球心到截面直，則球心到截面ABC的距離為的距離為_. 3,.22261233333363323323333解法 ：PAaABa AHaPHaOHaRRaRaRad2322 312 323333解法 ：RRPHROHRPH1.