概率論與數(shù)理統(tǒng)計-21隨機變量及其分布

1、 為了進(jìn)一步深入研究隨機現(xiàn)象, 在這一章里我們將引入隨機變量的概念. 由于隨機變量概念的引入，我們可利用微積分知識，更全面更深刻地揭示隨機現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律。在第一章里，我們討論了隨機事件及其概率，其中隨機事件都是用定性的語言描述的，與數(shù)學(xué)最基本的研究對象數(shù)及變量尚未建立直接聯(lián)系。 在許多帶有隨機因素的實際問題中，我們往往只關(guān)心某些數(shù)據(jù)，如電子元件的壽命、車站的候車人數(shù)等等. 此外人們還發(fā)現(xiàn)建立數(shù)和人或其他事物的對應(yīng)關(guān)系會帶來許多便利，比如每一個學(xué)生可以用一個學(xué)號與之對應(yīng)，城市的每一間房屋可以用一個門牌號與之對應(yīng)，工廠生產(chǎn)的同一種型號產(chǎn)品（如計算機可以用一個代碼與之對應(yīng)）. 同樣，建立數(shù)和基本事件

2、的對應(yīng)關(guān)系將有助于我們利用現(xiàn)有的一些數(shù)學(xué)方法對隨機現(xiàn)象作進(jìn)一步的研究.2.1 離散型離散型隨機變量及其分布隨機變量及其分布 1. 隨機變量隨機變量2. 離散型隨機變量離散型隨機變量3. 兩點分布兩點分布4. 二項分布二項分布5. 泊松分布泊松分布6. 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)1.隨機變量隨機變量 在許多隨機試驗中，除試驗結(jié)果之外，往往有另一個量與每個結(jié)果相關(guān)聯(lián)。如賭博時投擲硬幣，人們總是不加思素地將正面和反面轉(zhuǎn)化成贏和輸了多少錢； 再如，摸球中獎活動，人們摸中紅球、白球、黑球等時，總是和中幾等獎、多少獎金聯(lián)系起來。 這樣，就自然建立了一個對應(yīng)關(guān)系。 有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)：有些

3、試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)：（1）擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；（4）七月份濟南的最高溫度；（2）每天到北京下火車的人數(shù)；（3）昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；盒中有3個黑球和2個白球，從中隨機抽取3個，考慮取得的白球數(shù)。 抽取的白球數(shù)有三個可能結(jié)果：0，1或2，對于不同的抽取次數(shù)其結(jié)果可能不同。為此，引入一個變量，用表示“抽取的白球數(shù)”，該變量的不同取值表達(dá)不同的隨機事件，如 （=0） 表示“抽取的3個球中無白球”； （=1） 表示“抽取的3個球中有1個白球”； （2）表示“抽取的3個球中至多有2個白球”。 在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個變量來表示它的各種結(jié)果. 也就是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化.

4、 例例: 拋擲一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面與反面的情況，則其有二個可能結(jié)果：出現(xiàn)正面H或出現(xiàn)反面T，其樣本空間為=H,T.這樣我們就將試驗結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來了.HTXX10)(若我們在樣本空間上定義一個函數(shù):通常，我們用大寫字母X、Y、Z等表示隨機變量.引入隨機變量后，就可以用隨機變量X描述事件定義定義:設(shè)隨機試驗E的樣本空間 ，如果對每一個樣本點 ，都有唯一實數(shù) 與之對應(yīng)，則稱 為樣本空間 上的隨機變量.)(XX )(XX 例例在一批燈泡中任意抽取一只，測試其壽命，那么燈泡的壽命 (小時)是一個隨機變量，顯然的一切可能取的值是非負(fù)實數(shù)值，即0, +) 而(=1200)，(5000)，(1500)

5、等都是隨機事件。由此可知，隨機試驗的結(jié)果可以用變量來表示，但這種“變量”與微積分中的“變量”是有區(qū)別的. 它有兩個特點：取值的隨機性，也就是說取哪一個值，在抽樣前無法確定；取值的統(tǒng)計規(guī)律性，也就是取這些值的概率是確定的。 隨機變量的隨機變量的兩個主要問題：兩個主要問題： 研究隨機變量可能取哪些值； 研究隨機變量取這些值的概率各是多少。如在擲骰子試驗中，用X表示出現(xiàn)的點數(shù),則 “出現(xiàn)偶數(shù)點”可表示為：X=2 X=4 X=6 “出現(xiàn)的點數(shù)小于”可表示為：X 4或X3 如“取到次品的個數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)”等.隨隨機機變變量量離散型離散型隨機變量隨機變量連續(xù)型連續(xù)型隨機變量隨機變量有有限或可列無窮

6、多個所有取值，可以逐個一一列舉如“電視機的壽命”、實際中常遇到的“測量誤差”等.全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個區(qū)間.2. 離散型隨機變量離散型隨機變量), 2 , 1(,kxk, 2 , 1,)(kpxXPkkkx 把X可能取的值及相應(yīng)的概率列成表，如表2.1.1所示，稱表為X的概率分布表，或稱為分布列Xx1x2xkPp1p2pk隨機變量的分布律是指隨機變量所有可能的取值與取這些值的概率之間的一種對應(yīng)關(guān)系。這種對應(yīng)關(guān)系可用解析式（2.1.1）和分布列表示，還可用圖示法表示（圖2.1.1） 對于離散型隨機變量，概率分布中的pk必須滿足下列兩個性質(zhì)兩個性質(zhì)：1) 2 (,

7、 2 , 1, 0) 1 (1kkkpkp反過來，滿足上式的數(shù)pk也一定可作為離散型隨機變量的概率分布。例例2.1.1 設(shè)有10件產(chǎn)品，其中正品6件，次品4件，從中任取3件產(chǎn)品，用X表示從中取出的次品數(shù)，求其分布律.解：解：X表示3件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X可能取的值是0,1,2,3，“X=k” (k=0,1,2,3) 表示事件“有k件次品”. 則301) 3(103) 2(21) 1(61) 0(3100634310162431026143103604CCCXPCCCXPCCCXPCCCXP其分布列為X0123P1/61/23/101/30隨機變量X的分布律可表示為. 3 , 2 , 1 , 0

8、)(310364kCCCkXPkk一般，在總共N件產(chǎn)品中，其中有M件次品，現(xiàn)從中任取n件（不放回地?。瑒t這n件中所含的次品數(shù)X是一個離散型隨機變量，其概率分布為lkCCCkXPnNknMNkM, 2 , 1 , 0)(其中通常稱這個概率分布為超幾何分布超幾何分布),min(nMl 例例2.1.2 從次品率為p的一批藥品中，有放回地一個一個抽取，直到抽到次品為止. 設(shè)X為所抽取的藥品次數(shù)，求X的概率分布.解解則，次抽取次品第設(shè), 2 , 1iiAiqpAPpAPii1)(,)(于是, 2 , 1,)()()()()()(1121121kpqAPAPAPAPAAAAPkXPkkkkk因為Ai之間

9、相互獨立上式是幾何級數(shù)的一般項，因此稱上式為幾何分布幾何分布顯然111)(11111qpqppqkXPkkkkk已知離散型隨機變量的分布列為求 （1） (-16)； （2） (=1)解解 （1）注意到在-110，p0.1時，就可用公式近似計算二項分布的概率（前）例（前）例2.1.4 設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.1，現(xiàn)獨立地射擊400次，求（1）最可能命中目標(biāo)的次數(shù)及相應(yīng)的概率；（2）至少3次命中目標(biāo)的概率.解解 因為401. 0400 np4544!4!4)5()4()4() 1 (ekekXPXPXPkkkk查附表3（泊松分布表）得195367. 0371163. 0566530. 0)4

10、(XP761897. 0!4)3()2(43ekXPkk,2, 1,2iaiXPi求常數(shù)a.2.下面給出的數(shù)列能否成為某一隨機變量的分布列： 0.1,0.2,0.3,0.4.課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.3.設(shè)隨機變量X的概率分布為X 0 1 2 3P 1/8 3/8 3/8 a求:(1)a的值; (2)P(X1); (3)P(1X0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布)(PX記作 泊松分布是概率論中最重要的離散型隨機變量的分布之一，許多稀疏現(xiàn)象，如電話交換機的電話轉(zhuǎn)接次數(shù)、放射性物質(zhì)每分鐘分裂的原子數(shù)、在一寄生動物的宿主上寄生物的數(shù)目等都服從泊松分布。所以泊松分布又稱為稀疏現(xiàn)象律 泊松分布是法國數(shù)學(xué)家泊

11、松（Poisson）研究二項分布在一定條件下的極限分布時而發(fā)現(xiàn)的?？沈炞C泊松分布滿足分布律的兩條性質(zhì)：1)() 2 (, 2 , 1 , 0, 0)() 1 (0kkXPkkXP泊松分布圖的上升、下降情況與二項分布相仿。由kkXPkXP) 1()(可看出，若不是整數(shù)，泊松分布的最可能值為；若是整數(shù)，泊松分布的最可能值為或-1.例例2.1.6 某電話交換臺每分鐘接到的呼叫次數(shù)服從=5的泊松分布，試求一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)不超過6次的概率。一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)不超過6次的概率為XP(5)，于是解解 設(shè)每分鐘電話交換臺接到的呼叫次數(shù)為X，則5!5)(ekkXPk7622. 02378. 01!51)()6(5

12、760ekkXPXPkkk查泊松分布表解解（1）保險公司在該項業(yè)務(wù)中的收入為 1202500300000元 設(shè)在這一年中死亡人數(shù)為x，則保險公司要支付賠償金20000 x元 ，只要20000 x 300000 即x 15人，保險公司在辦理該項業(yè)務(wù)上就虧本。例例2.1.7 保險問題：人群出現(xiàn)意外事故的概率為0.002，現(xiàn)有2500人參加這種保險，規(guī)定參加該項保險的人每年交保險金120元，若在一年內(nèi)被保人出現(xiàn)意外，保險公司賠償20000元。試問（1）保險公司在辦理該項業(yè)務(wù)上虧本的概率是多少？（2）該項業(yè)務(wù)獲利不少于10萬元的概率有多大？設(shè)出現(xiàn)事故人數(shù)為X，則)002. 0 ,2500( BX因為n

13、較大，p較小，且5np故5525001625001625002500109 . 6!5998. 0002. 0)16()15(ekCXPXPkkkkkk（2）該項業(yè)務(wù)獲利不少于10萬元，即3000020000 x100000，x10人，故9863. 00137. 01)11(1)10(1)10(XPXPXP由此可看出，保險公司在辦理該項業(yè)務(wù)虧本的風(fēng)險很小，贏利10萬元以上的可能性接近99稱為隨機變量X的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)F(x)是x的一個普通的函數(shù)！定義域為？（,）；值域為？,)()(x X P xF6. 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)xxx F(x)是一個不減函數(shù)，且 F(x+0)=F(x), 即 F(x)是右連續(xù)的。注注：若將分布函數(shù)定義為：F(x) = P X x 性質(zhì)將改為左連續(xù)1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx0（ab對于離散型隨機變量X), 2 , 1()(kpxX PkkxxkxxkkkpxXPx X P xF)()()(由分布函數(shù)的定義及概率加法公式得（前）例（前）例2.1.1 設(shè)有10件產(chǎn)品，其中正品6件，次品4件，從中任取3件產(chǎn)品，用X表示從中取出的次品數(shù)，求其分布律. 求X的分布函數(shù)并作出圖形.X0123