第4章 電磁波的傳播

1、1第四章第四章 電磁波的傳播電磁波的傳播在迅變情況下，電磁場以波動形式存在變化在迅變情況下，電磁場以波動形式存在變化著的電場和磁場互相激發(fā)，形成在空間中傳播著的電場和磁場互相激發(fā)，形成在空間中傳播的電磁波的電磁波由于在廣播通訊、光學和其他科學技術中的廣由于在廣播通訊、光學和其他科學技術中的廣泛應用，電磁波的傳播、輻射和激發(fā)問題已發(fā)泛應用，電磁波的傳播、輻射和激發(fā)問題已發(fā)展為獨立的學科，具有十分豐富的內容展為獨立的學科，具有十分豐富的內容2 無界空間中平面電磁波傳播的主要特性無界空間中平面電磁波傳播的主要特性 電磁波在介質界面上的反射和折射電磁波在介質界面上的反射和折射 有導體存在時的電磁波傳播

2、問題有導體存在時的電磁波傳播問題 有界空間的電磁波有界空間的電磁波 在激光技術有重要應用的電磁波狹窄波束的傳播在激光技術有重要應用的電磁波狹窄波束的傳播 等離子體的基本電磁現(xiàn)象等離子體的基本電磁現(xiàn)象主要內容：主要內容：31 平面電磁波平面電磁波一種最基本的交變電磁場：一種最基本的交變電磁場：平面電磁波平面電磁波1. 電磁波動方程電磁波動方程一般情況下，電磁波的基本方程是麥克斯韋方程組一般情況下，電磁波的基本方程是麥克斯韋方程組0BEtDHJtDB 4在自由空間中，電場和磁場互相激在自由空間中，電場和磁場互相激發(fā)，電磁場的運動規(guī)律是齊次的麥發(fā)，電磁場的運動規(guī)律是齊次的麥克斯韋方程組（克斯韋方程組

3、（ =0, J=0情形）情形）00BEtDHtDB 真空情形真空情形: D= 0E, B= 0H 0022EEB tt 22EEEE 0E 代入上述得電場代入上述得電場E的偏微分方程的偏微分方程220020EEt 0 5同樣，可得磁場同樣，可得磁場B的偏微分方程的偏微分方程220020BBt 001c 令令222222221010EEctBBct 波動方程，其解包括各種形式的波動方程，其解包括各種形式的電磁波，電磁波，c是電磁波在真空中的傳是電磁波在真空中的傳播速度播速度在真空中，一切電磁波（包括各種頻率范圍的電磁在真空中，一切電磁波（包括各種頻率范圍的電磁波，如無線電波、光波波，如無線電波、

4、光波x射線和射線和 射線等）都以速度射線等）都以速度c傳播，傳播，c是最基本的物理常量之一是最基本的物理常量之一6介質情形介質情形: 研究介質中的電磁波傳播問題時，必須研究介質中的電磁波傳播問題時，必須給出給出D和和E以及以及B和和H的關系當以一定角頻率的關系當以一定角頻率 作作正弦振蕩的電磁波入射于介質內時，介質內的束正弦振蕩的電磁波入射于介質內時，介質內的束縛電荷受電場作用，亦以相同頻率作正弦振動縛電荷受電場作用，亦以相同頻率作正弦振動由介質的微觀結構可以推論，對不同頻率的電磁由介質的微觀結構可以推論，對不同頻率的電磁波，介質的電容率是不同的，即波，介質的電容率是不同的，即 和和 是是 的

5、函數(shù)的函數(shù) , 和和 隨頻率而變的現(xiàn)象隨頻率而變的現(xiàn)象介質的色散介質的色散由于色散，關系式由于色散，關系式D(t)= E(t)不成立因此在介質不成立因此在介質內，不能夠推出內，不能夠推出E和和B的一般波動方程的一般波動方程.見第七章見第七章67 2時諧電磁波時諧電磁波 在很多實際情況下，電磁波的激發(fā)源往往以大致確在很多實際情況下，電磁波的激發(fā)源往往以大致確定的頻率作正弦振蕩，輻射出的電磁波以相同頻率定的頻率作正弦振蕩，輻射出的電磁波以相同頻率作正弦振蕩作正弦振蕩例如無線電廣播或通訊的載波，激光例如無線電廣播或通訊的載波，激光器輻射出的光束等，都接近于正弦波這種以一定器輻射出的光束等，都接近于正

6、弦波這種以一定頻率作正弦振蕩的波稱為時諧電磁波頻率作正弦振蕩的波稱為時諧電磁波（單色波）（單色波）在一般情況下，即使電磁波不是單色波，它也可在一般情況下，即使電磁波不是單色波，它也可以用傅里葉（以用傅里葉（Fourier）分析（頻譜分析）方法分）分析（頻譜分析）方法分解為不同頻率的正弦波的疊加解為不同頻率的正弦波的疊加8設角頻率為設角頻率為 ，電磁場對時間的依賴關系是，電磁場對時間的依賴關系是cos t，或用復數(shù)形式表為或用復數(shù)形式表為 ,i ti tB x tB x eE x tE x e E(x)表示抽出時間因子表示抽出時間因子e-i t以后的電場強度以后的電場強度在一定頻率下，有在一定頻

7、率下，有D= 0E, B= 0H，把上式代入麥氏，把上式代入麥氏方程，消去共同因子方程，消去共同因子e-i t 后得后得00EiHHiEEH 注意：這組方程不是獨立的注意：這組方程不是獨立的 : 0, 0EH 0, 0HE ：9取第一式旋度并用第二式得取第一式旋度并用第二式得 2EE 22EEEE 220, Ek Ek 0E 因為因為解出解出E后，磁場后，磁場B可由第一式求出，可由第一式求出，iiBEEk 亥姆霍茲方程是一定頻率下電磁波的基本方程，亥姆霍茲方程是一定頻率下電磁波的基本方程，其解其解E(x)代表電磁波場強在空間中的分布情況，代表電磁波場強在空間中的分布情況，每一種可能的形式稱為一

8、種每一種可能的形式稱為一種波模波模亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程10概括起來，麥氏方程組化為以下方程：概括起來，麥氏方程組化為以下方程：2200Ek EEiBE 亥姆霍茲方程的每一個滿亥姆霍茲方程的每一個滿足足E=0的解都代表一種的解都代表一種可能存在的可能存在的波模波模類似地，也可把麥氏方程組在一定頻率下化為類似地，也可把麥氏方程組在一定頻率下化為2200Bk BBiiEBBk 113 3平面電磁波平面電磁波按照激發(fā)和傳播條件的不同，電磁波的場強按照激發(fā)和傳播條件的不同，電磁波的場強E(x)可以有各種不同形式可以有各種不同形式例如從廣播天線發(fā)射出的球面波，沿傳輸線或例如從廣播天線發(fā)射出的球面波，沿

9、傳輸線或波導走向傳播的波，由激光器激發(fā)的狹窄光束波導走向傳播的波，由激光器激發(fā)的狹窄光束等，其場強都是亥姆霍茲方程的解等，其場強都是亥姆霍茲方程的解下面討論一種最基本的解，它是存在于全空間下面討論一種最基本的解，它是存在于全空間中的中的平面波平面波12設電磁波沿設電磁波沿x軸方向傳播，其場強在與軸方向傳播，其場強在與x軸正交的平軸正交的平面上各點具有相同的值，即面上各點具有相同的值，即E和和B僅與僅與x，t有關，而有關，而與與y，z無關這種電磁波稱為平面電磁波，其波陣無關這種電磁波稱為平面電磁波，其波陣面（等相位點組成的面）為與面（等相位點組成的面）為與x軸正交的平面軸正交的平面 2220dE

10、 xk E xdx 亥姆霍茲方程化為一維的常微分方程：亥姆霍茲方程化為一維的常微分方程：它的一個解：它的一個解： 0ikxE xE e 場強的全表示式：場強的全表示式： 0,i kxtE x tE e 13因此，只要因此，只要E0與與x軸垂直，代表一種可能的模式軸垂直，代表一種可能的模式以上為了運算方便采用了復數(shù)形式，對于實際存以上為了運算方便采用了復數(shù)形式，對于實際存在的場強應理解為只取在的場強應理解為只取實數(shù)實數(shù)部分，即部分，即 0,cosE x tEkxt 由條件由條件E=0得得 ，即要求，即要求 ,0 xikeE x t ,xE x te 0E電場的振幅電場的振幅 i kxte 波動的

11、相位因子波動的相位因子14相位因子相位因子cos(kx- t)的意義的意義t=0時，相位因子是時，相位因子是 coskx，x0的平面處于波的平面處于波峰峰在另一時刻在另一時刻 t，相因子變?yōu)?，相因子變?yōu)閏os(kx- t)波峰移至波峰移至kx- t處，即移至處，即移至x= t/k的平面上的平面上.其其相速度相速度：1dxvdtk 0,i kxtE x tE e 表示一個沿表示一個沿x軸方向傳播的平面波軸方向傳播的平面波因此因此15真空中電磁波的傳播速度為真空中電磁波的傳播速度為介質中電磁波的傳播速度為介質中電磁波的傳播速度為001c rrc 式中式中 r和和 r分別代表介質的相對電容率和相對磁

12、分別代表介質的相對電容率和相對磁導率，由于它們是頻率導率，由于它們是頻率 的函數(shù)，因此在介質中的函數(shù)，因此在介質中不同頻率的電磁波有不同的相速度，這就是介質不同頻率的電磁波有不同的相速度，這就是介質的的色散色散現(xiàn)象現(xiàn)象16 0,i kxtE x tE e 選擇了一個特殊坐標系，選擇了一個特殊坐標系，x軸沿電磁波傳播方向軸沿電磁波傳播方向在在一般坐標系一般坐標系下平面電磁波的表示式是下平面電磁波的表示式是 0,i k xtE x tE e k 式中式中k是沿電磁波傳播方向的一個矢量，其量值為是沿電磁波傳播方向的一個矢量，其量值為k 17在特殊坐標系下，當在特殊坐標系下，當k的方向的方向取為取為x

13、軸時，有軸時，有k xkx， 0,i kxtE x tE e 圖示表示沿圖示表示沿k方向傳播的平方向傳播的平面電磁波面電磁波PSk xzyox x 0,i k xtE x tE e 取垂直于矢量取垂直于矢量k的任一平面的任一平面S，設，設P為此平面上的任為此平面上的任一點，位矢為一點，位矢為x，則，則kxkx ，x為為x在矢量在矢量k上的上的投影，在平面投影，在平面S上任意點的位矢在上任意點的位矢在k上的投影都等上的投影都等于于x，因而整個平面，因而整個平面S是等相面是等相面18 0,i k xtE x tE e k稱為波矢量，其量值稱為波矢量，其量值k稱為稱為園園波數(shù)波數(shù). 沿電磁波傳播沿電

14、磁波傳播方向相距為方向相距為 x=2 /k的兩點有相位差的兩點有相位差2 ，因此因此 x是是電磁波的波長電磁波的波長 2k 對上式必須加上條件對上式必須加上條件E=0才得到電磁波解才得到電磁波解 00 i k xti k xtEEeik E eik E 因此因此0k E 表示電場波動是橫波表示電場波動是橫波, E可在垂直可在垂直于于k的任意方向上振蕩的任意方向上振蕩.矢量矢量k方向傳播的平面波方向傳播的平面波2 弧度的波長數(shù)弧度的波長數(shù)19E的取向稱為電磁波的的取向稱為電磁波的偏振偏振方向可選與方向可選與k垂直的任垂直的任意兩個互相正交的方向作為意兩個互相正交的方向作為E的兩個獨立偏振方向的兩

15、個獨立偏振方向因此，對每一波矢量因此，對每一波矢量k，存在，存在兩個獨立兩個獨立的偏振波的偏振波平面電磁波的磁場平面電磁波的磁場 0i k xtEeEikE kBEnEk n為傳播方向的單位矢量由上式得為傳播方向的單位矢量由上式得k B=0，因此，因此磁場波動也是磁場波動也是橫波橫波20E、B和和k是三個互相正交的矢量是三個互相正交的矢量E和和B同相，振幅同相，振幅比為比為1EvB 在真空中，平面電磁波的電場與磁場比值為在真空中，平面電磁波的電場與磁場比值為001EcB （用（用高斯單位制高斯單位制時，此比值為時，此比值為1，即電場與磁場量，即電場與磁場量值相等）值相等）21概括平面電磁波的特

16、性如下概括平面電磁波的特性如下 電磁波為橫波電磁波為橫波, E和和B都與傳播方向垂直；都與傳播方向垂直； E和和B互相垂直，互相垂直，E B沿波矢沿波矢k方向；方向； E和和B同相，振幅比為同相，振幅比為v平面電磁波沿傳播方向各點上的電場和磁場瞬時值平面電磁波沿傳播方向各點上的電場和磁場瞬時值如圖所示隨著時間的推移，整個波形向如圖所示隨著時間的推移，整個波形向x軸方向軸方向的移動速度為的移動速度為rrvc 224電磁波的能量和能流電磁波的能量和能流電磁場的能量密度電磁場的能量密度 2211122wE DH BEB 在平面電磁波情形在平面電磁波情形221EB 平面電磁波中電場能量和磁場能量相等，

17、有平面電磁波中電場能量和磁場能量相等，有221wEB 1EvB 23平面電磁波的能流密度平面電磁波的能流密度 2 SEHEnEE n 1Swnvwnwv v為電磁波在介質中的相速為電磁波在介質中的相速24由于能量密度和能流密度是場強的二次式，不能把由于能量密度和能流密度是場強的二次式，不能把場強的復數(shù)表示直接代入場強的復數(shù)表示直接代入.例如：例如：Eaib E的物理有意義部分為的物理有意義部分為a，22SEa若直接代入：若直接代入： 22Saibaibab 減少了減少了b2 22020cos1 1cos22wEk xtEk xt 計算計算 和和S的瞬時值時，應把的瞬時值時，應把實數(shù)實數(shù)表示代入

18、表示代入25為了以后應用，這里給出二次式求平均值的一般為了以后應用，這里給出二次式求平均值的一般公式設公式設f(t)和和g(t)有復數(shù)表示有復數(shù)表示 00,i ti t if tf eg tg e 和和S都是隨時間迅速脈動的量，實際上我們只需都是隨時間迅速脈動的量，實際上我們只需用到它們的用到它們的時間平均值時間平均值 是是f(t)和和 g(t)的相位差的相位差. fg對一周期的平均值為對一周期的平均值為 2000*00dcoscos211 cosRe22fgtft gtf gf g 式中式中f *表示表示f的復共軛，的復共軛，Re表示實數(shù)部分表示實數(shù)部分26由此，能量密度和能流密度的平均值為

19、由此，能量密度和能流密度的平均值為22001122wEB *201122SEHE n 27本節(jié)所要研討的問題是：本節(jié)所要研討的問題是：用用Maxwell電磁理論來分電磁理論來分析在介質的分界面上，電磁波將發(fā)生的反射和折射析在介質的分界面上，電磁波將發(fā)生的反射和折射規(guī)律。規(guī)律。28關于反射和折射的規(guī)律包括兩個方面：關于反射和折射的規(guī)律包括兩個方面： 運動學規(guī)律運動學規(guī)律: 入射角、反射角和折射角的關系；入射角、反射角和折射角的關系； 動力學規(guī)律動力學規(guī)律: 入射波、反射波和折射波的振幅比和相對相位。入射波、反射波和折射波的振幅比和相對相位。研究電磁波反射和折射問題的基礎是電磁場在兩個研究電磁波反

20、射和折射問題的基礎是電磁場在兩個不同介質界面上的不同介質界面上的邊值關系邊值關系。29一般情況下，電磁場的邊值關系為：一般情況下，電磁場的邊值關系為：21212121()0()()()0nEEnHHnDDnBB 介質的分界面上，通常沒介質的分界面上，通常沒有自由電荷和傳導電流，有自由電荷和傳導電流，即即0 , 0 21212121()0()0()0()0nEEnHHnDDnBB 30但是，在一定頻率的情況下，這組邊界方程但是，在一定頻率的情況下，這組邊界方程（邊值關系）不是完全獨立的。因此，在討（邊值關系）不是完全獨立的。因此，在討論定態(tài)（一定頻率）電磁波時，介質界面上論定態(tài)（一定頻率）電磁波

21、時，介質界面上的邊值關系只取下列兩式：的邊值關系只取下列兩式：2121()0()0nEEnHH 也就是說也就是說2121 , ttttEEHH 切向連續(xù)性切向連續(xù)性31 反射和折射定律反射和折射定律假若所考慮的交界面為一平面，即設假若所考慮的交界面為一平面，即設 x-y 平面，考平面，考慮一單色平面電磁波入射到交界面上，設在慮一單色平面電磁波入射到交界面上，設在z = 0 平平面的上、下方的介質不同，如圖所示面的上、下方的介質不同，如圖所示xzkkkEEE11 22 設入射波、反射波和折射波的設入射波、反射波和折射波的電場強度為電場強度為 、 ，波矢量，波矢量分別為分別為 、 。由。由Four

22、ier頻頻譜分析可知，反射波和折射波譜分析可知，反射波和折射波與入射波一樣，也是平面波。與入射波一樣，也是平面波。EEE 和和 kkk 和和32把入射波、反射波和折射波寫為：把入射波、反射波和折射波寫為：()0()0()0 i k xti k xti kxtEE eEE eEE e 入入射射波波反反射射波波折折射射波波由由 可得磁場矢量為：可得磁場矢量為：BEt ()()00()()00()()001 1 1 i k xti k xti k xti k xti kxti kxtBB ekE eBB ekE eBB ekE e 入入射射波波反反射射波波折折射射波波33在在 z=0 的平面所有的點

23、必須滿足邊界條件。意味著：的平面所有的點必須滿足邊界條件。意味著：在在 z=0 處，所有場的空間和時間變化必須相同。即，處，所有場的空間和時間變化必須相同。即，所有的相因子在所有的相因子在 z=0 處必須相等處必須相等. 波矢量方向之間的關系波矢量方向之間的關系()nEEnE ()()()00000 i k xti k xti kxtttztzE eE eE e 邊界條件邊界條件要使該式成立，只有要使該式成立，只有00000000 ttztzzzzEEEk xtkxtkxt 以以及及34因為因為x、y、t 都是獨立變量，必然有都是獨立變量，必然有xyxyxyk xk ytk xk ytk xk

24、 yt 因此因此xxxyyykkkkkk討論討論：由于由于 ，說明反射波、折射波的頻率與，說明反射波、折射波的頻率與入射波的入射波的頻率相同頻率相同。 35根據(jù)根據(jù) ，假若，假若 ，則必有，則必有 這說明反射波和折射波與入射波在這說明反射波和折射波與入射波在同一平面內同一平面內，這個面就稱為這個面就稱為入射面入射面（入射波矢（入射波矢 與分界面的法線與分界面的法線 所組成的平面）。所組成的平面）。yyykkk 0yk 0.yykk kn因此：因此： ，即反射角，即反射角=入射角。入射角。（反射定律）（反射定律）根據(jù)根據(jù) 11 , | |, xxkkkk sinsinkk 36根據(jù)根據(jù)xxkk

25、1122sin , sin, | | , sinsinxxkkkkkkkk 則則222222111111sinsinknnkn 這就是這就是折射定律折射定律，其中，其中n21為介質為介質2相對于介質相對于介質1的折射率，一般介質的折射率，一般介質 （除鐵磁質外），故（除鐵磁質外），故 0 為兩介質的為兩介質的相對折射率相對折射率。21 37所謂菲涅耳公式就是在邊值關系條件下求得的所謂菲涅耳公式就是在邊值關系條件下求得的入射波、反射波和折射波的振幅關系。入射波、反射波和折射波的振幅關系。對每一個波矢對每一個波矢 有兩個獨立的偏振波，所以有兩個獨立的偏振波，所以只需要分別討論電場只需要分別討論電場

26、 入射面和電場入射面和電場 入射面兩種情況就可以了。入射面兩種情況就可以了。kEE38 入射面入射面E 電場只有電場只有y分量，并分量，并入射面（紙入射面（紙面）指向外面。因為介質面）指向外面。因為介質1中有入中有入射波和反射波，介質射波和反射波，介質2中只有折射中只有折射波，根據(jù)邊界條件（邊值關系）：波，根據(jù)邊界條件（邊值關系）： kkkSESESEPHPHPH1 122 xz2100021000 , , ttttxxxEEEEEHHHHH由由有有由由有有即即000coscoscosHHH11221 , | | BHkEkkk 考慮到考慮到39故有故有1200012()coscosEEE 聯(lián)

27、立聯(lián)立、兩式得兩式得121200121211001212coscoscoscos2coscoscosEEEE 40對于光波，對于光波，120 2100210021sincoscoscoscossinsincoscoscoscossinsin()sin()2cos2cos sinsin()coscosEEEE 因此因此41 入射面入射面/E kkkPEPEPESHSHSH1 122 xz這時磁場只有這時磁場只有y分量，并分量，并入射面入射面（紙面）指向外面，以（紙面）指向外面，以 表示。由表示。由邊界條件，即在邊界條件，即在 z=0 的界面上有：的界面上有：000000 xxxEEEHHH 即即

28、000000coscoscosEEEHHH 同理由同理由 的關系的關系, 把上式中的磁場換為把上式中的磁場換為電場。電場。1HkE 420001200012()coscos()EEEEEE 從而得到：從而得到：0|21120|21120|120|2112coscoscoscos2coscoscosEEEE 即得即得43對于光波，對于光波，120 20|10|21222222sincoscoscoscossinsincoscoscoscossinsin cossincossin cossincossin cossincossincossincossin cossincossiEE 22ncoss

29、incossin()cos()tan()sin()cos()tan() 440|0|212coscossincoscoscoscossin2cossinsincossincosEE 綜上所述，我們得到的振幅關系就是光學中的菲涅綜上所述，我們得到的振幅關系就是光學中的菲涅耳公式。不過當時，菲涅耳是利用光的耳公式。不過當時，菲涅耳是利用光的“以太以太”理理論推導出來的。因此，這也有力地證示了光是電磁論推導出來的。因此，這也有力地證示了光是電磁波的理論學說，即光實際上是在一個特殊頻段（波波的理論學說，即光實際上是在一個特殊頻段（波長由長由4000 到到8000 ）的電磁波。）的電磁波。AA45菲涅耳

30、公式菲涅耳公式0000sin()sin()2cossinsin()EEEE 0|0|0|0|tan()tan()2cos sinsincossincosEEEE 利用菲涅耳公式討論利用菲涅耳公式討論 偏振偏振 半波損失半波損失 反射系數(shù)、透射系數(shù)反射系數(shù)、透射系數(shù)90 46菲涅耳公式討論：菲涅耳公式討論：垂直偏振：垂直偏振： 當當 時，時， ，即，即反射波中沒有電場平行入射面的部分，這時的反反射波中沒有電場平行入射面的部分，這時的反射波是完全的線偏振波射波是完全的線偏振波. 0|090 0 , 0EE 根據(jù)根據(jù)21sinsinsinsin(90)n 令此時的令此時的b sinsintansin

31、(90)cosbbbbb 121tanbn Brewsters angle47bi90bir r由此可見，一個任由此可見，一個任意偏振的波，總可意偏振的波，總可以分為平行和垂直以分為平行和垂直入射面的兩個入射入射面的兩個入射波。平面波以布儒波。平面波以布儒斯特角入射時，反斯特角入射時，反射波只有垂直入射射波只有垂直入射面偏振的波，反射面偏振的波，反射波和折射波傳播方波和折射波傳播方向互相垂直。向互相垂直。48半波損失：半波損失：當平面波從光疏介質入射到光密介當平面波從光疏介質入射到光密介質時（即質時（即n211）。根據(jù)折射定律）。根據(jù)折射定律21sinsinn 可知：可知： 00: 0 ;EE

32、E 入入射射面面與入射波的相應分量反向與入射波的相應分量反向反射波與入射波位相相差反射波與入射波位相相差 ，好象差個半波長，好象差個半波長，這種現(xiàn)象稱為這種現(xiàn)象稱為半波損失半波損失。 49當平面波從光密介質入射到光疏介質時當平面波從光密介質入射到光疏介質時00 , 0EE 反射波與入射波同位相，即沒有半波損失。反射波與入射波同位相，即沒有半波損失。由菲涅耳公式可以計算電磁波的反射系數(shù)和透由菲涅耳公式可以計算電磁波的反射系數(shù)和透射系數(shù)。射系數(shù)。反射系數(shù)（反射系數(shù)（R）：）：反射波平均能流與入射波平反射波平均能流與入射波平均能流在法線方向的分量之比均能流在法線方向的分量之比透射系數(shù)（透射系數(shù)（T）

33、：）：折射波平均能流與入射波平折射波平均能流與入射波平均能流在法線方向的分量之比。均能流在法線方向的分量之比。50E 入射面入射面*210111Re()22|kSEHEk 入入入射波的能流平均值：入射波的能流平均值：反射波的能流平均值：反射波的能流平均值：*221100111Re()21122|SEHkkEEkk 反反51折射波的能流平均值：折射波的能流平均值：*22021()212|eSR EHkEk 折折從而得到：從而得到：2202202202210|sin ()|sin ()cos|sin2 sin2cos|sin ()SnERESnSnnETnESn 反反入入折折入入52同理同理|:E

34、 入入射射面面220|220|22|tg ()|()sin2 sin2sin ()cos ()EREtgT 容易證明：容易證明：|11RTRT 符合能量守恒定律符合能量守恒定律53若若 ，則，則 ，因此，因此12 211n sin1sin 即電磁波從介質即電磁波從介質1入射時，折射角入射時，折射角入射角入射角。當當 時，則時，則 。2211sinn 2 1021sin ()n 全反射臨界角全反射臨界角如果再增大入射角，使得如果再增大入射角，使得 ，這時不能定義，這時不能定義實數(shù)的折射角，因而將出現(xiàn)不同于一般反射折射實數(shù)的折射角，因而將出現(xiàn)不同于一般反射折射的物理現(xiàn)象的物理現(xiàn)象.21sinn 5

35、4假設在這種情形下兩介質中的電場形式仍然為假設在這種情形下兩介質中的電場形式仍然為()0()i k xtE x tE e 邊值關系依舊成立，仍可得到邊值關系依舊成立，仍可得到 , xxxyyykkkkkk 112122sinxxxxkkkkkkkkkknk 5521sinn 在在 ，情形下有，情形下有 .xkk 令令2221 , sinzkikn 222222222212221sinsinzxyxkkkkkkk nkikn 因此因此y軸垂直與入射面時，=0虛數(shù)虛數(shù)故折射波的傳播因子為：故折射波的傳播因子為：()()xzi k x k zi kxee 這里這里sin , cosxxzkkkkk

36、56即即sin()sinzikxik zi kxikxzeeee 折射波的電場為：折射波的電場為：()(sin)00i kxtzi kxtEE eE ee 上式仍然是亥姆霍茲方程的解，因此代表在介質上式仍然是亥姆霍茲方程的解，因此代表在介質2中傳播的一種可能波模因為當中傳播的一種可能波模因為當z- 時時E ，上式所表示的波不能在全空間中存在。但是這里所上式所表示的波不能在全空間中存在。但是這里所研究的折射波只存在于研究的折射波只存在于z0的半空間中，因此，上的半空間中，因此，上式是一種可能的解式是一種可能的解57折射波將沿折射波將沿 z 方向衰減，沿方向衰減，沿 x 方向傳播。因此，在方向傳播

37、。因此，在全反射時，介質全反射時，介質2中的電磁波并不為零，如果介質中的電磁波并不為零，如果介質2的電磁波完全為零的話，那么就不滿足邊值關系。的電磁波完全為零的話，那么就不滿足邊值關系。可見電場不僅沿著界面方向傳播，而且被限制在表可見電場不僅沿著界面方向傳播，而且被限制在表面附近的一個區(qū)域內，所以稱全反射時的折射波為面附近的一個區(qū)域內，所以稱全反射時的折射波為表面波表面波。xzk58上式是沿上式是沿x軸方向傳播的電磁波，它的場強沿軸方向傳播的電磁波，它的場強沿z軸方軸方向指數(shù)衰減。因此，這種電磁波只存在于界面附近向指數(shù)衰減。因此，這種電磁波只存在于界面附近一薄層內，該層厚度一薄層內，該層厚度

38、(sin)0zi kxtEE ee 11222221211sin2sinknn 1 1為介質為介質1中的波長。一般來說，透入第二介質中中的波長。一般來說，透入第二介質中的薄層厚度與波長同數(shù)量級。的薄層厚度與波長同數(shù)量級。折射波磁場強度折射波磁場強度kBEnEk 59考慮考慮 入射面入射面 ：E yEE 222221sinxzykHEEkn 22222221sin1zxykHEiEkn 與與 同相同相與與 有有900的相位差的相位差E E 60 *1Re02zyxSEH 折射波平均能流密度折射波平均能流密度 2*22022111sinRe22zxyzSE HEen 由此，折射波平均能流密度只有由

39、此，折射波平均能流密度只有x分量，沿分量，沿z軸方軸方向透入第二介質的平均能流密度為零向透入第二介質的平均能流密度為零虛數(shù)虛數(shù)61以上推出的有關反射和折射的公式在以上推出的有關反射和折射的公式在 sin n21情情形下形式上仍然成立。只要作對應形下形式上仍然成立。只要作對應212221sinsinsincos1xzkknkikn 62當當 入射面時：入射面時：E22210220212222221212221cossincossincos(sin)2cossin1iinEEinninen 222cos2sin2(cossin)2sin cosieii 比較上式，可得比較上式，可得22122212

40、21coscos1sinsin1nnn 歐拉公式歐拉公式632221sinsintancoscosn 表示在全反射時，入射波和反射波表示在全反射時，入射波和反射波振幅相同振幅相同，兩者存在兩者存在相位差相位差，因此反射波與入射波的瞬時，因此反射波與入射波的瞬時能流值是不同的。只是能流值是不同的。只是 Sz 的平均值為零，其的平均值為零，其瞬時值不為零。由此可見，在全反射過程中第瞬時值不為零。由此可見，在全反射過程中第二介質是起作用的。在半周內，電磁能量透入二介質是起作用的。在半周內，電磁能量透入第二介質，在界面附近薄層內儲存起來，在另第二介質，在界面附近薄層內儲存起來，在另一半周內，該能量釋放

41、出來變?yōu)榉瓷洳芰?。一半周內，該能量釋放出來變?yōu)榉瓷洳芰俊?4當當 入射面時：入射面時：|E 22120|2120|212212221212222121sincos1sincos1cossincossininiEnEninninenin 2221221sinsintgcoscosnn 其中其中65比較比較 ，可見，可見 ，并與入射角有關，并與入射角有關，如果如果 入射波是線編振波，但其振動方向與入射面入射波是線編振波，但其振動方向與入射面成一定夾角，則反射波的兩個分量將有一個位相成一定夾角，則反射波的兩個分量將有一個位相差，因而是一個差，因而是一個橢園偏振波橢園偏振波，即一個線偏振波入，即一

42、個線偏振波入射在介質界面上經(jīng)過反射成了一個射在介質界面上經(jīng)過反射成了一個橢園偏振波橢園偏振波。和和0 66本節(jié)所要研討的問題是：導電介質中的電磁波的本節(jié)所要研討的問題是：導電介質中的電磁波的傳播。由于導體內有自由電荷存在，在電磁波的傳播。由于導體內有自由電荷存在，在電磁波的電場作用下，自由電荷運動形成傳導電流，而傳電場作用下，自由電荷運動形成傳導電流，而傳導電流要產生焦耳熱，使電磁波能量有損耗。由導電流要產生焦耳熱，使電磁波能量有損耗。由此可見，在導體內部的電磁場（波）是一種衰減此可見，在導體內部的電磁場（波）是一種衰減波，在傳播過程中，電磁能量轉化為熱量。波，在傳播過程中，電磁能量轉化為熱量

43、。671、導體內的自由電荷的分布、導體內的自由電荷的分布根據(jù)焦耳定律的微分形式根據(jù)焦耳定律的微分形式jE 電荷守恒定律電荷守恒定律0jt Gauss 定理定理D 0t 0( )tte 衰減的特征時間為衰減的特征時間為 電荷密度電荷密度隨時間指數(shù)衰減隨時間指數(shù)衰減68因此，只要電磁波的頻率滿足因此，只要電磁波的頻率滿足1 1 或或良導體條件良導體條件導電介質與非導電介質的根本區(qū)別在于導電介質導電介質與非導電介質的根本區(qū)別在于導電介質中有自由電荷存在。因而，只要有電磁波存在，中有自由電荷存在。因而，只要有電磁波存在，總要引起傳導電流總要引起傳導電流 。j 因此，導體內部：因此，導體內部：0 , j

44、E 69則則Maxwell equs為：為：00BEtDHjtDB 00EiHHiEEEH DEBH jE 令令i 00EiHHiEEH 70從形式上看，與均勻介質中的情況完全相同從形式上看，與均勻介質中的情況完全相同2 ()() EiHEEiE 0 則有則有220EE 22k 220Ek E 220Hk H 令令同理：同理：運動方程運動方程7122k i 如果令如果令ki 復波數(shù)復波數(shù)22222kii 22212xxyyzz 72 0k 0kkxz導體當電磁波從真空中入射到導體表面時，以當電磁波從真空中入射到導體表面時，以 矢量表矢量表示真空中的波矢，示真空中的波矢， 表示導體內的波矢表示導

45、體內的波矢.(0)k k 根據(jù)邊值關系：根據(jù)邊值關系： (0)(0)1 xxxkkk 真空中真空中 為實數(shù)，其值為為實數(shù)，其值為(0)(0)00kk (0)k (0)(0) , sinxxxxkikk (0)(0)sinxxxikk 垂直于金屬表面垂直于金屬表面 (0)00sin0 xxxk 73 (0)(0)2 0yyykkk 0yyyki 00yy 2222ki 2222()(1)kiii 13 2xxyyzzzz 1 因為良導體條件下因為良導體條件下在導體內部，在導體內部，k也在入射面內也在入射面內k2的實部可忽略的實部可忽略74220222zxz 12zz 12zzzx 2220000

46、0202(0)2211sin22111sin()()222xxkk 21sin 2222zxzz 753、趨膚效應和穿透深度、趨膚效應和穿透深度根據(jù)根據(jù)22212 221112111 .2 1 良導體：良導體：1276則此時的電磁場形式為：則此時的電磁場形式為：()0()0.n xin xtn xin xtEE eeHH ee 討論：討論：從電磁場從電磁場 可看到，復數(shù)波矢量可看到，復數(shù)波矢量 ，包含了兩個部分：實部包含了兩個部分：實部 是通常意義上的是通常意義上的波矢量，而虛部波矢量，而虛部 反映著電磁波在進入導體以后反映著電磁波在進入導體以后的衰減程度。的衰減程度。EH和和ki 2/ 77

47、波振幅沿傳播方向按指數(shù)衰減，波振幅沿傳播方向按指數(shù)衰減， 為為衰減常數(shù)衰減常數(shù)。 12 例如對銅來說，例如對銅來說， 5 107S m-1，當頻率為，當頻率為 50Hz時，時， 0.9cm；當頻率為；當頻率為 100MHz時，時， 0.7 10-3cm因此，對于高頻電磁波，電磁場以及和它因此，對于高頻電磁波，電磁場以及和它相作用的高頻電流僅集中于表面很薄一層內，這相作用的高頻電流僅集中于表面很薄一層內，這種現(xiàn)象稱為種現(xiàn)象稱為趨膚效應趨膚效應 .穿透深度穿透深度78不良導體不良導體1 221111 , 1122進行泰勒展開，得進行泰勒展開，得, ,2 21 衰減很小，穿透深度很大衰減很小，穿透深

48、度很大. 例如對于例如對于1020Hz的的X射線，銅的射線，銅的 ，X射射線可以穿透銅板線可以穿透銅板210 79相速度相速度 ，可見，在導體中傳播速度，可見，在導體中傳播速度k 由由決定，決定，稱為稱為相位常數(shù)相位常數(shù)，波長，波長 .22k 1 一般介質中：一般介質中： 0k 金屬中：金屬中：2k 02kk 一般情況下，所以在導體中一般情況下，所以在導體中波長變短波長變短了。了。良導體條件良導體條件80在良導體中，在良導體中， ，電磁場的關系為：，電磁場的關系為：2 411()11122.iHkEinEinEe nE 磁場相位比電磁場相位比電場相位滯后場相位滯后45 1HE 磁場遠比電場重要

49、，金磁場遠比電場重要，金屬內電磁波的能量主要屬內電磁波的能量主要是磁場能量是磁場能量1()2wE DH B 能量密度能量密度81和絕緣介質情形一樣，應用邊值關系可以分析導和絕緣介質情形一樣，應用邊值關系可以分析導體表面上電磁波的反射和折射問題在一般入射體表面上電磁波的反射和折射問題在一般入射角下，由于導體內電磁波的特點使計算比較復角下，由于導體內電磁波的特點使計算比較復雜垂直入射情形計算較為簡單，而且已經(jīng)可以雜垂直入射情形計算較為簡單，而且已經(jīng)可以顯示出導體反射的特點因此這里只討論垂直入顯示出導體反射的特點因此這里只討論垂直入射情形射情形82設電磁波由真空入射于導體表面，在界面上產生設電磁波由

50、真空入射于導體表面，在界面上產生反射波和透入導體內的折射波垂直入射情形，反射波和透入導體內的折射波垂直入射情形，電磁場邊值關系為：電磁場邊值關系為：,EEEHHH 012EEi E 112Hi nE 入射方為真空，故入射方為真空，故0000, HE HE83 反射系數(shù)反射系數(shù)202020211212211EREi 電導率越高，發(fā)射系數(shù)越接近于電導率越高，發(fā)射系數(shù)越接近于1. 測量結果證實測量結果證實此式的正確性?？梢詫⒔饘俳瓶醋骼硐雽w，此式的正確性?？梢詫⒔饘俳瓶醋骼硐雽w，其反射系數(shù)接近于其反射系數(shù)接近于1. 002121iEEi 84200002000000020000coscosc

51、ossincoscoscossin2cos2coscoscoscossinEEEE 由菲涅耳公式得到：（非垂直入射）由菲涅耳公式得到：（非垂直入射）2000|020|0000|0020|000sincos1coscoscoscossincos12cos2coscoscossincos1EEEE 85若電磁波從真空垂直入射到金屬表面，即若電磁波從真空垂直入射到金屬表面，即0 故反射波和入射波的振幅之比為：故反射波和入射波的振幅之比為：0000EkkEkk 0|00|0EkkEkk 對于良導體，對于良導體，1 1iki 從而從而2 其中其中8600000000000011112121iiEiEii

52、i 0 87000|0|0000000011211121iEkkiEkkiiii 88反射系數(shù)為：反射系數(shù)為：202022002020|220|0211211211211EREERE 8902|2222 1 . (1)11(1)11(1)(1)1212(1)(1)1AAARRRAAAAAAAAAA 所所以以021212RA 設設905、導體內功率損耗問題、導體內功率損耗問題導體內的電場為：導體內的電場為：()()00i kxtziztEE eE ee 其中略去了其中略去了 因子，可見導體內的電流密度為因子，可見導體內的電流密度為x jE 導體內單位體積內的平均功耗為：導體內單位體積內的平均功耗

53、為： *()()0022011Re()Re221Re212ziztziztzPj EEEE eeE eeEe 91 導體表面單位面積的功耗為：導體表面單位面積的功耗為：2220000124zLEPPdzEedz 定義定義表面電流密度表面電流密度：()000()00()0001ziztfizi ti tizi tjdzE eedzEeedzE eedzE ei 92因為因為221 . tgiie 故得故得022()022ii tfiteE eeE 由此可見：由此可見：0022: .ffE 的的峰峰值值所以所以022222200444LfEEP 與平均功率與平均功率 比較，可見比較，可見212mP

54、I R 93222SR 導體表面電阻導體表面電阻在高頻情況下：在高頻情況下：() 2212SR0 xyzds=dxdyf相當于厚度為相當于厚度為 的薄層的直流電阻的薄層的直流電阻1lRS 單位面積下的導體在高頻電磁波的電阻單位面積下的導體在高頻電磁波的電阻 11l 944-4 4-4 諧振腔諧振腔951有界空間中的電磁波有界空間中的電磁波在無界空間中，電磁波最基本的存在形式為平面在無界空間中，電磁波最基本的存在形式為平面電磁波，這種波的電場和磁場都作橫向振蕩。這電磁波，這種波的電場和磁場都作橫向振蕩。這種類型的波稱為種類型的波稱為橫電磁（橫電磁（TEM）波）波.從電磁波與導體的相互作用可知，電

55、磁波主要是從電磁波與導體的相互作用可知，電磁波主要是在導體以外的空間或絕緣介質內傳播的，只有很在導體以外的空間或絕緣介質內傳播的，只有很小部分電磁能量透人導體表層內小部分電磁能量透人導體表層內理想導體理想導體(電導率電導率)，導體表面自然構成電導體表面自然構成電磁波存在的邊界磁波存在的邊界.962理想導體邊界條件理想導體邊界條件實際導體雖然不是理想導體，但是象銀或銅實際導體雖然不是理想導體，但是象銀或銅等金屬導體，對無線電波來說，透入其內而等金屬導體，對無線電波來說，透入其內而損耗的電磁能量一般很小，接近于理想導體。損耗的電磁能量一般很小，接近于理想導體。因此，分析實際問題時，在第一級近似下，

56、因此，分析實際問題時，在第一級近似下，可以先把金屬看作理想導體，把問題解出來，可以先把金屬看作理想導體，把問題解出來，然后在第二級近似下，再考慮有限電導率引然后在第二級近似下，再考慮有限電導率引起的損耗。起的損耗。97在第二節(jié)中我們闡明在一定頻率的電磁波在第二節(jié)中我們闡明在一定頻率的電磁波情形，兩不同介質（包括導體）界面上的情形，兩不同介質（包括導體）界面上的邊值關系可以歸結為邊值關系可以歸結為 12DDn 012 BBn式中式中n為由介質為由介質1指向介質指向介質2的法線。這的法線。這兩關系滿足后，另外兩個關于法向分量兩關系滿足后，另外兩個關于法向分量的關系自然能夠滿足。的關系自然能夠滿足。

57、 21210nEEnHH 98取角標取角標1、2分別代表理想導體和真空或絕緣介質。分別代表理想導體和真空或絕緣介質。取法線由導體指向介質中。在理想導體情況下，取法線由導體指向介質中。在理想導體情況下，導體內部沒有電磁場（對實際導體來說，應為導導體內部沒有電磁場（對實際導體來說，應為導體內部足夠深處，例如離表面幾個穿透深度處，體內部足夠深處，例如離表面幾個穿透深度處，該處實際上已沒有電磁場），因此，該處實際上已沒有電磁場），因此，E1=H10。導體表面邊界條件導體表面邊界條件略去角標略去角標 2，以，以E和和H表示介質一側處的場強，有表示介質一側處的場強，有邊界條件邊界條件0nEnH 0n Dn

58、 B 自然滿足自然滿足99理想導體界面邊界條件可以表述為：理想導體界面邊界條件可以表述為：電場線與界電場線與界面正交，磁感應線與界面相切。面正交，磁感應線與界面相切。 實際求解時，先看方程實際求解時，先看方程 E=0對邊界電場的限制對邊界電場的限制往往是方便的。在邊界面上，若取往往是方便的。在邊界面上，若取x，y軸在切面軸在切面上，上，z軸沿法線方向，由于該處軸沿法線方向，由于該處Ex=Ey=0，因此方，因此方程程 E=0在靠近邊界上為在靠近邊界上為 Ez/ z0，即，即0nEn 100例題：證明兩平行無窮大導例題：證明兩平行無窮大導體平面之間可以傳播一種偏體平面之間可以傳播一種偏振的振的TE

59、M電磁波。電磁波。解：設兩導體板與解：設兩導體板與y軸垂直。軸垂直。兩導體平面上的邊界條件為，兩導體平面上的邊界條件為，Ex=Ez=0 , Hy=0 若沿若沿z軸傳播的平面電磁波的電場沿軸傳播的平面電磁波的電場沿y軸方向偏振，則軸方向偏振，則此平面波滿足導體板上的邊界條件，因此可以在導體此平面波滿足導體板上的邊界條件，因此可以在導體板之間傳播。另一種偏振的平面電磁波板之間傳播。另一種偏振的平面電磁波(E與導體面相與導體面相切切)不滿足邊界條件，因而不能在導體面間存在。所不滿足邊界條件，因而不能在導體面間存在。所以在兩導體板之間只能傳播一種偏振的以在兩導體板之間只能傳播一種偏振的TEM平面波。平

60、面波。101實踐上電磁波是用具有特定諧振頻率的線路或元件實踐上電磁波是用具有特定諧振頻率的線路或元件激發(fā)。低頻無線電波采用激發(fā)。低頻無線電波采用LC回路產生振蕩。在回路產生振蕩。在LC回回路中，集中分布于電容內部的電場和集中分布于電路中，集中分布于電容內部的電場和集中分布于電感線圈內部的磁場交替激發(fā)，以一定頻率振蕩感線圈內部的磁場交替激發(fā)，以一定頻率振蕩3 3諧振腔諧振腔1 2LC 如果要提高諧振頻率，必須減小如果要提高諧振頻率，必須減小L或或C的值。頻率提的值。頻率提高到一定限度后，具有很小的高到一定限度后，具有很小的C和和L值的電容和電感值的電容和電感不能再使電場和磁場集中分布于它們內部，