第3講概率統(tǒng)計

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三第三 講講主講教師：郭念國主講教師：郭念國河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 在實際問題中在實際問題中, 除了要考慮某事件除了要考慮某事件A的概率的概率P(A)外，有時還要考慮在外，有時還要考慮在“事件事件B已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生”的條件下，事件的條件下，事件A發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。1.4.1 條件概率條件概率I. 條件概率的概念條件概率的概念 通常記事件通常記事件B發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下, 事件事件A發(fā)生的發(fā)生的概率為概率為 P(A|B)。一般情況下，一般情況下， P(A|B) P(A) 。1.4 條件概率條件概率例例1：100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有5件不

2、合格品，而件不合格品，而5件不合件不合格品中又有格品中又有3件是次品，件是次品，2件是廢品?，F(xiàn)從件是廢品。現(xiàn)從100件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)品被抽到件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)品被抽到的可能性都相同，求的可能性都相同，求(1).(1).抽到的產(chǎn)品是次品的概率；抽到的產(chǎn)品是次品的概率；(2).(2).在抽到的產(chǎn)品是不合格品條件下在抽到的產(chǎn)品是不合格品條件下, , 產(chǎn)品是產(chǎn)品是 次品的概率。次品的概率。解：解：設(shè) A=抽到的產(chǎn)品是次品， B=抽到的產(chǎn)品是不合格品。(1).(1). 按古典概型計算公式，有 ;1003)(AP可見，可見，P(A) P(A|B)。(2). 由于由于5件不合格

3、品中有件不合格品中有3件是次品，故可得件是次品，故可得 雖然雖然 P(A) 與與 P(A|B) 不同，但二者之間存不同，但二者之間存在什么關(guān)系呢在什么關(guān)系呢? 先來計算先來計算P(B)和和P(AB)。.53)|(BAP 因為因為100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有5件是不合格品，所以件是不合格品，所以P(B)=5/100。P(AB)=3/100。而而P(AB)表示事件表示事件“抽到的產(chǎn)品是不合格品、抽到的產(chǎn)品是不合格品、又是次品又是次品”的概率，再由的概率，再由100件產(chǎn)品中只有件產(chǎn)品中只有3件件即是不合格品又是次品，得即是不合格品又是次品，得通過簡單運算，得通過簡單運算，得.)()(100510035

4、3)|(BPABPBAP有有.)()()|(BPABPBAPP(A)=1/6，又如：又如：擲一顆均勻骰子，擲一顆均勻骰子，A=擲出擲出2點點， B=擲出偶數(shù)點擲出偶數(shù)點，求求P(A|B)。 已知事件已知事件B發(fā)生，此時試驗所發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B。于是，于是，P(A|B)= 1/3。 B中共有中共有3個元素，每個元素出現(xiàn)個元素，每個元素出現(xiàn)是等可能的，且其中只有是等可能的，且其中只有1個個(2點點)在集合在集合A中。中。可以得到：可以得到：.)()(636131)|(BPABPBAP受此啟發(fā)，對條件概率進行受此啟發(fā)，對條件概率進行 如下定義。如下定義

5、。 若事件若事件B已發(fā)生已發(fā)生, 則為使則為使 A也也發(fā)生發(fā)生 , 試驗結(jié)果必須是既試驗結(jié)果必須是既在在 B 中又在中又在A中的樣本點中的樣本點 , 即即此點必屬于此點必屬于AB。 由于我們已由于我們已經(jīng)知道經(jīng)知道B已發(fā)生已發(fā)生, 故故B就就變成變成了新的樣本空間了新的樣本空間 , 于是于是 就有就有(1)。II. 條件概率定義條件概率定義為在事件為在事件B發(fā)生條件下，事件發(fā)生條件下，事件A的條件概率。的條件概率。定義定義1: 設(shè)設(shè)A、B是兩個事件，且是兩個事件，且P(B)0，稱，稱) 1 ( )()()|(BPABPBAPIII. 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)設(shè)設(shè)B是一事件，且是一事件，且P

6、(B)0, 則則1. 對任一事件對任一事件A，0P(A|B)1;2. P(|P(|B)=1)=1；而且，前面對概率所證明的一切性質(zhì)，也都而且，前面對概率所證明的一切性質(zhì)，也都適用于條件概率。適用于條件概率。3. 設(shè)設(shè)A1, A2,互斥，則互斥，則)|()|()| )(2121BAPBAPBAAP例例2 2：有外觀相同的三極管有外觀相同的三極管6 6只，按電流放大系只，按電流放大系數(shù)分類數(shù)分類,4,4只屬甲類只屬甲類, , 兩只屬乙類。不放回地抽兩只屬乙類。不放回地抽取三極管兩次取三極管兩次, , 每次只抽一只。求在第一次抽每次只抽一只。求在第一次抽到是甲類三極管的條件下到是甲類三極管的條件下,

7、 , 第二次又抽到甲類第二次又抽到甲類三極管的概率。三極管的概率。解解:記記Ai= 第第 i 次抽到的是甲類三極管次抽到的是甲類三極管, i=1,2,A1A2=兩次抽到的都是甲類三極管兩次抽到的都是甲類三極管,由第由第2講中的例講中的例1.3.3，可知，可知. 5/230/12)(21AAP再由再由P(A1)=4/6=2/3，得，得.533/22/5)()()|(12112APAAPAAP由條件概率的定義：由條件概率的定義：即即 若若P(B)0, 則則 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2),)()()|(BPABPBAP而而 P(AB) = P(BA)，1.4.2 乘法公式乘法公式在已

8、知在已知P(B), P(A|B)時時, 可反解出可反解出P(AB)。將將 A、B的位置對調(diào)，有的位置對調(diào)，有故故 P(A)0，則，則P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3)若若 P(A)0, 則則P(BA)=P(A)P(B|A) ， (2)和和(3)式都稱為乘法公式式都稱為乘法公式, 利用利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率。它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率。當(dāng)當(dāng) P(A1A2An-1) 0 時，有時，有 P (A1A2An）= P(A1) P(A2|A1) P(An| A1A2An-1) .多個事件乘法公式的推廣多個事件乘法公式的推廣: 例例 3: 一批燈泡共一批燈泡共100100只，其

9、中只，其中1010只是次品，其只是次品，其余為正品，作不放回抽取，每次取一只，求余為正品，作不放回抽取，每次取一只，求: : 第三次才取到正品的概率。第三次才取到正品的概率。解：解：設(shè)設(shè) Ai =第第 i 次取到正品次取到正品, , i=1,2,3=1,2,3。 A =第三次才取到正品第三次才取到正品 。則。則: :。故故，0083.0989099910010)|()|()()()( . 213121321321AAAPAAPAPAAAPAPAAAA例例4：袋中有同型號小球袋中有同型號小球b+ +r個，其中個，其中b個是黑個是黑球，球，r個是紅球。每次從袋中任取一球，觀其個是紅球。每次從袋中任

10、取一球，觀其顏色后放回顏色后放回, ,并再放入同顏色，同型號的小球并再放入同顏色，同型號的小球c 個。若個。若 B=第一、第三次取到紅球第一、第三次取到紅球, ,第二次第二次取到黑球取到黑球 ，求，求P(P(B) )。解解: 設(shè)設(shè)Ai i=第第 i 次取到紅球次取到紅球, , i =1,2,3, 1,2,3, 則則)()()()|()|()()()(213121321crcbcrcrbbrbrAAAPAAPAPAAAPBP故，321AAAB 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率比較復(fù)雜事件的概率, 它們實質(zhì)上是加法公它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公

11、式的綜合運用。式和乘法公式的綜合運用。 綜合運用綜合運用加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 1.4.3 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式例例5: 有三個箱子有三個箱子, 分別編號分別編號1, 2, 3。1號箱裝號箱裝有有1紅球紅球, 4白球白球; 2號箱裝有號箱裝有2紅球紅球, 3白球白球; 3號箱裝有號箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱紅球。某人從三箱中任取一箱, 再再從箱中任取一球，求取到紅球的概率。從箱中任取一球，求取到紅球的概率。解：解：記記 Ai=球取自球取自 i 號箱號箱, i =1,

12、2,3; B =取得紅球取得紅球。即即 B= A1BA2BA3B， 且且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥。兩兩互斥。B發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著A1, ,A2, ,A3 之一同時發(fā)生，之一同時發(fā)生，于是，于是，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)運用加法公式運用加法公式將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的得到在概率計算中常用的全概率公式。全概率公式。對和式中的各項對和式中的各項運用乘法公式得運用乘法公式得15813152315131)|()(31iiiABPAP31)()(iiBAPBP 設(shè)設(shè)A1, A2, An是

13、兩兩互斥的事件，且是兩兩互斥的事件，且P(Ai)0, i =1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它總是與它總是與A1, A2, , An 之一同時發(fā)生，則之一同時發(fā)生，則 niiiABPAPBP1)()()(全概率公式全概率公式 在較復(fù)雜情況下，直接計算在較復(fù)雜情況下，直接計算P(B)不容易不容易, 但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的Ai , 使使B伴隨著某個伴隨著某個Ai 的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個 P( Ai B) 容易計算?？捎盟腥菀子嬎恪？捎盟?P( Ai B) 之和計算之和計算 P(B)。 niiiABPAPBP1)()()

14、(由公式由公式“全部概率全部概率” P(B)，可分成多，可分成多個個“部分概率部分概率” P( Ai B) 之和。之和。它的理論和實用意義在于它的理論和實用意義在于:不難看出不難看出: 某一事件某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因的發(fā)生有各種可能的原因Ai (i=1,2,n)，如果，如果B是由原因是由原因Ai所引起，則所引起，則B發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是 每一原因都可能導(dǎo)致每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故發(fā)生，故B發(fā)生的發(fā)生的概率是各原因引起概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概發(fā)生概率的總和，即全概率公式。率公式。P(AiB)=P(Ai)P(B |Ai)我們還可以從另一個角度去理解全概率公式。我們

15、還可以從另一個角度去理解全概率公式。 由此可以形象地把全概率公式看成是：由此可以形象地把全概率公式看成是：由原因推結(jié)果由原因推結(jié)果，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的一定的“作用作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的各種原因的“作用作用”大小有關(guān)。全概率公大小有關(guān)。全概率公式表達了因果之間的關(guān)系式表達了因果之間的關(guān)系 。諸諸Ai是原因是原因B是結(jié)果是結(jié)果實際中還有下面一類問題：實際中還有下面一類問題：已知結(jié)果求原因。已知結(jié)果求原因。 這一類問題在實際中常見，它所求的是這一類問題在實際中常見，它所求的是條件概率，是某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因條件概率，是某結(jié)

16、果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小。發(fā)生的可能性大小。接上例，考慮如下問題：接上例，考慮如下問題：或者問：或者問：“該球取自各箱的可能性大小該球取自各箱的可能性大小” 。某人從任意一箱中任意摸出一球，某人從任意一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自紅球，求該球是取自1號箱的概率號箱的概率。)()()|(11BPBAPBAP考慮上邊例子：考慮上邊例子：記記 Ai = 球取自球取自 i 號箱號箱， i =1, 2, 3; B = 取得紅球取得紅球。所求為所求為 P(A1|B)。3111kkkABPAPABPAP)()()|()(運用全概率公式運用全概率公式 計算計算P(B)將上述公

17、式一般化，就得貝葉斯公式。將上述公式一般化，就得貝葉斯公式。. , 2 , 1 , )()()()()|(1 niABPAPABPAPBAPnjjjiii 該公式于該公式于17631763年由貝葉斯年由貝葉斯 (BayesBayes) 給出。給出。 它是在觀察到事件它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致致B發(fā)生的每個原因的概率。發(fā)生的每個原因的概率。貝葉斯公式貝葉斯公式 設(shè)設(shè)A1, A2, An是兩兩互斥的事件，且是兩兩互斥的事件，且P(Ai)0，i=1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它總是與它總是與A1, A2, , An 之一同時發(fā)生，則之一同時發(fā)生

18、，則 例例6: 某一地區(qū)患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大的概率有多大?則則 表示表示“抽查的人不患癌癥抽查的人不患癌癥”。 A解：解：設(shè)設(shè) A = 抽查的人患有癌癥抽查的人患有癌癥, B = 試驗結(jié)果是陽性試驗結(jié)果是陽性。求求 P(A|B)。已知已知:。 04. 0)|( ,95. 0)|(, 995. 0)( ,0

19、05. 0)(ABPABPAPAP現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義：現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義：代入數(shù)據(jù)計算，得代入數(shù)據(jù)計算，得 P(A | B)= 0.1066。 (2). 檢出陽性是否一定患有癌癥檢出陽性是否一定患有癌癥? (1). 該試驗對于診斷一個人是否患有癌有無該試驗對于診斷一個人是否患有癌有無 意義？意義？， )|()()|()()|()()|( ABPAPABPAPABPAPBAP 由由貝葉斯公式貝葉斯公式，得，得 如果不做試驗，抽查一人如果不做試驗，抽查一人, 他是癌癥患他是癌癥患者的概率者的概率 P(A)=0.005 。 患者陽性反應(yīng)的概率是患者陽性反應(yīng)的概率是0.950.95，若試驗

20、后，若試驗后呈陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗得到的信息：此人呈陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗得到的信息：此人是癌癥患者的概率為是癌癥患者的概率為 P(A|B)= 0.1066 。 說明試驗對于診斷一個人是否患癌癥有意義。說明試驗對于診斷一個人是否患癌癥有意義。 概率從概率從0.005增加到增加到0.1066, 約約增加了增加了2121倍。倍。(1). 該試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無該試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無 意義？意義？(2). 檢出陽性是否一定患有癌癥檢出陽性是否一定患有癌癥? 試驗結(jié)果為陽性，此人確患癌癥的概率為試驗結(jié)果為陽性，此人確患癌癥的概率為 P(A|B)=0.1066。 即使你檢出陽性

21、，尚可不必過早下結(jié)論你即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有有癌癥，這種可能性只有10.66% (平均來說，平均來說，1000個人中大約只有個人中大約只有107人確患癌癥人確患癌癥)，此時醫(yī)，此時醫(yī)生常要通過其他試驗來確認生常要通過其他試驗來確認。 njiiiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(貝葉斯公式貝葉斯公式在貝葉斯公式中，在貝葉斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分別稱為分別稱為原因的原因的驗前概率驗前概率和和驗后概率驗后概率。P(Ai) ( i =1, 2, n ) 是在沒有進一步的信息是在沒有進一步的信息(不知道事件不知道事件B是否發(fā)生是否

22、發(fā)生) 的情況下，人們對的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識。諸事件發(fā)生可能性大小的認識。當(dāng)有了新的信息當(dāng)有了新的信息(知道知道B發(fā)生發(fā)生)，人們對諸事件，人們對諸事件發(fā)生可能性大小發(fā)生可能性大小 P(Ai | B) 有了新的認識。有了新的認識。例例7 7：8 8支步槍中有支步槍中有5 5支已校準(zhǔn)過支已校準(zhǔn)過,3,3支未校準(zhǔn)。支未校準(zhǔn)。一名射手用校準(zhǔn)過的槍射擊時，中靶概率為一名射手用校準(zhǔn)過的槍射擊時，中靶概率為0.8；用未校準(zhǔn)的槍射擊時，中靶概率為；用未校準(zhǔn)的槍射擊時，中靶概率為0.3?，F(xiàn)從現(xiàn)從8 8支槍中任取一支用于射擊，結(jié)果中靶。支槍中任取一支用于射擊，結(jié)果中靶。 求：所用的槍是校準(zhǔn)過的概率。求：所用的槍是校準(zhǔn)過的概率。解：解：設(shè)設(shè) A=射擊時中靶射擊時中靶 ，B1 1=槍校準(zhǔn)過槍校準(zhǔn)過, , B2 2=槍未校準(zhǔn)槍未校準(zhǔn) ，則則 B1 1, ,B2 2 是是一個劃分，由貝葉斯公式，得一個劃分，由貝葉斯公式，得)()|()()|()()|()|(2211111BPBAPBPBAPBPBAPABP4940) 8/3(3 . 0) 8/5(8 . 0) 8/