第3章 流體動力學(xué)理論基礎(chǔ)

1、第第3 3章章 流體動力學(xué)理論基礎(chǔ)流體動力學(xué)理論基礎(chǔ)n運動流體運動流體第第3 3章章 流體動力學(xué)理論基礎(chǔ)流體動力學(xué)理論基礎(chǔ)第第3 3章章 流體動力學(xué)理論基礎(chǔ)流體動力學(xué)理論基礎(chǔ)第第3 3章章 流體動力學(xué)理論基礎(chǔ)流體動力學(xué)理論基礎(chǔ)研究思路：理想流體（=0）實際流體（0）研究內(nèi)容：p=p(x,y,z,t),u=u(x,y,z,t)p=p(x,y,z,t),u=u(x,y,z,t)基本理論：質(zhì)量守恒定律、牛頓第二定律重點掌握：恒定總流的三大基本方程n拉格朗日法n研究對象流體質(zhì)點或質(zhì)點系固體運動常采用拉格朗日法研究，但流體運動一般較固體運動復(fù)雜，固體運動常采用拉格朗日法研究，但流體運動一般較固體運動復(fù)雜

2、，通常采用歐拉法研究。通常采用歐拉法研究。n歐拉法n研究對象流場n當(dāng)?shù)丶铀俣龋〞r變加速度）n遷移加速度（位變加速度）研究流體運動的若干基本概念n恒定流動與非恒定流動n一元流動、二元流動、三元流動n流線與跡線n定義u21uu2133u6545u46u研究流體運動的研究流體運動的若干基本概念若干基本概念n基本方程基本方程 流線流線n性質(zhì)性質(zhì)n一般情況，流線不能相交，且只能是一條光滑曲線。tuzuyuxzyxdddds1s2交點折點szyxuzuyuxddd0d或su研究流體運動的研究流體運動的若干基本概念若干基本概念n流線充滿整個流場。n定常流動時，流線的形狀、位置不隨時間變化，且與跡線重合。n流

3、線越密，流速越大。研究流體運動的研究流體運動的若干基本概念若干基本概念n流管、元流、總流、過流斷面流管、元流、總流、過流斷面研究流體運動的研究流體運動的若干基本概念若干基本概念n流量、斷面平均流速流量、斷面平均流速n流量：單位時間通過的流體量。流量：單位時間通過的流體量。 常用單位：常用單位：m3/s或或 L/s 換算關(guān)系：換算關(guān)系：1m3=1000LAAuQd研究流體運動的研究流體運動的若干基本概念若干基本概念n斷面平均流速斷面平均流速w 過流斷面上實際流速分布都是非均勻的。過流斷面上實際流速分布都是非均勻的。n在流體力學(xué)中，為方便應(yīng)用，常引入斷面平均流速概念在流體力學(xué)中，為方便應(yīng)用，常引入

4、斷面平均流速概念。vuAAuAQvAd研究流體運動的研究流體運動的若干基本概念若干基本概念n均勻流與非均勻流、漸變流n均勻流：各流線為平行直線的流動；其遷移加速度等于零，即n非均勻流：各流線或為曲線、或為彼此不平行的直線；其遷移加速度不等于零，即 天然河流為典型的非均勻流動。 非均勻流動根據(jù)其流線彎曲程度又可分為漸變流和急變流。0)(uu0)(uu研究流體運動的研究流體運動的若干基本概念若干基本概念n漸變流：流線近似為平行直線的流動；或流線的曲率半徑R足夠大而流線之間的夾角足夠小的流動。R研究流體運動的研究流體運動的若干基本概念若干基本概念漸變流過流斷面的兩個重要性質(zhì)n漸變流過流斷面近似為平面

5、；n漸變流過流斷面上的動壓近似按靜壓分布，即 Cpz流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的數(shù)學(xué)表達(dá)式。一、連續(xù)性微分方程 取如圖所示微小六面體為控制體，分析在dt時間內(nèi)流進(jìn)、流出控制體的質(zhì)量差：流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程x方向:zyxxuzyxxuuxxzyxxuuxxmxxxxxxddd)(dd )d21)(d21(dd )d21)(d21(流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程Y方向：Z方向：據(jù)質(zhì)量守恒定律：單位時間內(nèi)流進(jìn)、流出控制體的流體質(zhì)量單位時間內(nèi)流進(jìn)、流出控制體的流體質(zhì)量差等于控制體內(nèi)流體面密度發(fā)生變化所引起的質(zhì)量增量。差等于

6、控制體內(nèi)流體面密度發(fā)生變化所引起的質(zhì)量增量。即：即：zyxyumyyddd)(zyxzumzzddd)(zyxtmmmzyxddd流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程 將 代入上式，化簡得： 或 上式即為流體運動的連續(xù)性微分方程的一般形式。上式即為流體運動的連續(xù)性微分方程的一般形式。zyxmmm、0)()()(zuyuxutzyx0)(ut流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程 對于恒定不可壓縮流體，連續(xù)性方程可進(jìn)行簡化：對于恒定不可壓縮流體，連續(xù)性方程可進(jìn)行簡化： 定常流定常流 或或不可壓縮流體不可壓縮流體 或或)0(t0)()()(zuyuxuzyx0)(u)(常數(shù)0zuyuxuzy

7、x0 u流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程二、連續(xù)性積分方程二、連續(xù)性積分方程 取圖示總流控制體，將連續(xù)性微分方程對總流控制體積分：取圖示總流控制體，將連續(xù)性微分方程對總流控制體積分：VV0dV)(dVut流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程因控制體不隨時間變化，故式中第一項因控制體不隨時間變化，故式中第一項VVdVdVtt據(jù)數(shù)學(xué)分析中的高斯定理，式中第二項據(jù)數(shù)學(xué)分析中的高斯定理，式中第二項VddV)(AnAuu流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程故得連續(xù)性積分方程的一般形式為故得連續(xù)性積分方程的一般形式為0ddVVAnAut流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程三、定常不可壓

8、縮總流的連續(xù)性方程三、定常不可壓縮總流的連續(xù)性方程0dAnAu對于定常對于定常 不可壓縮不可壓縮 （常數(shù)）總流總流 ，連續(xù)性，連續(xù)性積分方程可簡化為：積分方程可簡化為：)0dV(Vt流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程取圖示管狀總流控制體，因其側(cè)面上取圖示管狀總流控制體，因其側(cè)面上u un n=0=0（為什么？請思考），故有（為什么？請思考），故有120dd2211AAAuAu流體運動的連續(xù)性方程流體運動的連續(xù)性方程式中第一項取負(fù)號是因為流速式中第一項取負(fù)號是因為流速u u1 1與與d dA A2 2的外法線方向相反，應(yīng)的外法線方向相反，應(yīng)用積分中值定理，可得用積分中值定理，可得上式即為恒

9、定不可壓縮總流的連續(xù)性方程。上式即為恒定不可壓縮總流的連續(xù)性方程。說明說明：流體運動的連續(xù)性方程是不涉及任何作用力的運動流體運動的連續(xù)性方程是不涉及任何作用力的運動學(xué)方程，因此對實際流體和理想流體均適用。學(xué)方程，因此對實際流體和理想流體均適用。QAvAv2211流體運動微分方程流體運動微分方程將歐拉平衡微分方程 0F01pf推廣到理想運動流體 ,得上式也稱為歐拉運動微分方程。aFmtpdd1uf能量（伯努利）方程能量（伯努利）方程一、理想流體定常元流的伯努利方程 將 各項點乘單位線段 ,得tpdd1ufsdsussfdddd1dtp能量（伯努利）方程能量（伯努利）方程為積分上式,現(xiàn)附加限制條件

10、:定常流 :)0)(tppdd s不可壓縮流體 :)(cpppdd1d1s質(zhì)量力只有重力 :fds = -gdz沿流線積分 :2dddddddd2uttuususu能量（伯努利）方程能量（伯努利）方程代入 整理積分得：或沿同一流線上式即為理想流體定常元流的伯努利方程。 sussfdddd1dtpCgugpz2212S2gz222222111ugpgugpz能量（伯努利）方程能量（伯努利）方程伯努利方程的物理意義伯努利方程的幾何意義能量（伯努利）方程 實際流體由于粘性的存在，在運動過程中，存在能量耗散，機(jī)械能沿流線不守恒。 設(shè) 為單位重量流體沿線的機(jī)械能損失，亦稱水頭損失，則據(jù)能量恒定律，可得實

11、際流體定常元流的伯努利方程WhWhgupzgupz2222222111能量（伯努利）方程為了形象地了解流體運動時能量沿示的變化情況定義：測壓管線坡度lpzJpdd總水頭線坡度lgupzJd2d2實際流體 ；理想流體 ；均勻流體 JJp0J0J能量（伯努利）方程能量（伯努利）方程三、實際流體定常總流的伯努利方程 實際工程中往往要解決的是總流問題，現(xiàn)將實際流體定常元流的伯努利方程推廣到總流：適用條件n流體是不可壓縮的，流動為定常的；n質(zhì)量力只有重力；n過流斷面為漸變流斷面；n兩過流斷面間沒有能量的輸入或輸出，否則應(yīng)進(jìn)行修正：Whgvpzgvpz222222221111能量（伯努利）方程能量（伯努利

12、）方程WhgvpzHgvpz222222221111 式中：H為單位重量流體流過水泵、風(fēng)機(jī)所獲得的能量（取“+”）或流 進(jìn)水輪機(jī)失去的能量（取“-”）應(yīng)用定?？偭鞯牟匠探忸}時，應(yīng)注意的問題：應(yīng)用定?？偭鞯牟匠探忸}時，應(yīng)注意的問題： 基準(zhǔn)面、過流斷面、計算點的選??；壓強(qiáng)p的計量標(biāo)準(zhǔn)。動量方程動量方程一、歐拉型積分形式的動量方程一、歐拉型積分形式的動量方程據(jù)理論力學(xué)知，質(zhì)點系的動量定理為uFmt dd上式是針對系統(tǒng)而言的，通常稱為拉格朗日型動量方程.現(xiàn)應(yīng)用控制體概念，將其轉(zhuǎn)換成歐拉型動量方程。動量方程動量方程如圖所示，設(shè)t時刻系統(tǒng)與控制體（虛線）重合，控制體內(nèi)任意點的密度為、流速為u動

13、量方程動量方程 t時刻系統(tǒng)的動量時刻系統(tǒng)的動量tdVVu t+tt+t時刻系統(tǒng)的動量時刻系統(tǒng)的動量AutAttddVVuuAutAutAAttdddV21Vuuu21AAA動量方程動量方程 將t時刻和t+t時刻系統(tǒng)的動量代入拉格朗日型動量方程，整理得AtAddVVuuF上式即為歐拉型積分形式的動量方程。動量方程動量方程二、定常不可壓縮總流的動量方程二、定常不可壓縮總流的動量方程 對于恒定 不可壓縮 總流，歐拉型0)(tc1122ddd2AuAuAuAA12uuuF積分形式的動量方程可簡化為QvAuuAd動量方程動量方程故12FvvQ12上式即為恒定總流的動量方程，其中稱為動量修正系數(shù)，一般流動

14、=1.021.05,工程中常見流動通常取=1.0AAvuAd2動量方程動量方程適用條件n不可壓縮流體；n定常流動。應(yīng)用時應(yīng)注意的問題 動量方程為矢量方程，應(yīng)用時必須按矢量規(guī)則進(jìn)行計算。 丹伯努利（Daniel Bernoull，17001782）：瑞士科學(xué)家，曾在俄國彼得堡科學(xué)院任教，他在流體力學(xué)、氣體動力學(xué)、微分方程和概率論等方面都有重大貢獻(xiàn)，是理論流體力學(xué)的創(chuàng)始人。 伯努利以流體動力學(xué)（1738）一書著稱于世，書中提出流體力學(xué)的一個定理，反映了理想流體（不可壓縮、不計粘性的流體）中能量守恒定律。這個定理和相應(yīng)的公式稱為伯努利定理和伯努利公式。 他的固體力學(xué)論著也很多。他對好友 歐拉提出建議

15、，使歐拉解出彈性壓桿失穩(wěn)后的形狀，即獲得彈性曲線的精確結(jié)果。17331734年他和歐拉在研究上端懸掛重鏈的振動問題中用了貝塞爾函數(shù)，并在由若干個重質(zhì)點串聯(lián)成離散模型的相應(yīng)振動問題中引用了拉格爾多項式。他在1735年得出懸臂梁振動方程；1742年提出彈性振動中的疊加原理，并用具體的振動試驗進(jìn)行驗證；他還考慮過不對稱浮體在液面上的晃動方程等。 例題例題1 1 已知平面流動的流速分布為 ux =kx uy =-ky其中y0，k為常數(shù)。試求：流線方程；跡線方程。解據(jù)y0知，流體流動僅限于xy半平面內(nèi)，因運動要素與時間t無關(guān)，故該流動為恒定二元流。n流線方程： 積分得： 該流線為一組等角雙曲線。kyyk

16、xxddcxy 例題例題1 1n跡線方程： 積分得：與流線方程相同，表恒定流動時，流線與跡線在幾何上完全重合。tkyykxxdddktktecyecx21,ccceeccxyktkt2121假設(shè)不可壓縮流體的流速場為假設(shè)不可壓縮流體的流速場為u ux x=f=f( (y,zy,z) ), u, uy y=u=uz z= =0 0 試判斷該流動是否存在。試判斷該流動是否存在。判斷流動是否存在，主要看其是否滿足連續(xù)性微分方程。判斷流動是否存在，主要看其是否滿足連續(xù)性微分方程。本題滿足0zuyuxuzyx故該流動存在。0zuyuxuzyx例題3 已知變擴(kuò)管內(nèi)水流作恒定流動，其突擴(kuò)前后管段后管徑之比已

17、知變擴(kuò)管內(nèi)水流作恒定流動，其突擴(kuò)前后管段后管徑之比d d1 1/d/d2 2=0.5=0.5，則突擴(kuò)前后斷面平均流速之比，則突擴(kuò)前后斷面平均流速之比v v1 1/v/v2 2= =? ?據(jù)恒定不可壓縮總流的連續(xù)性方程有據(jù)恒定不可壓縮總流的連續(xù)性方程有 v1 /v2 =(d2 /d1 )2=422221144dvdv例題例題4 4 皮托管是一種測量流體點流速的裝置，它是由測壓管和一根與它裝在一起且兩端開口的直角彎管（稱為測速管）組成，如圖所示。測速時，將彎端管口對著來流方向置于A點下游同一流線上相距很近的B點，流體流入測速管B點，該點流速等于零（稱為駐點），動能全部轉(zhuǎn)化為勢能，測速管內(nèi)液柱保持一

18、定高度。試根據(jù)B、A兩點的測壓管水頭差 計算A點的流速 。AABBupzpzhu例題例題4 4例題例題4 4先按理想流體研究，由A至B建立恒定元流的伯努利方程，有 故 考慮到實際流體粘性作用引起的水頭損失和測速管對流動的影響，實際應(yīng)用時，應(yīng)對上式進(jìn)行修正：式中： 稱為皮托管系數(shù)，由實驗確定，通常接近于1.0。022BBAApzgupzuAABBghpzpzgu22ughu2 如圖所示管流，已知H、d、hW，試求通過流量Q，并繪制總水頭線和測壓管水頭線。據(jù)12建立總流的伯努利方程，有WhgvH200002WhHgv2得whHgdAvQ242例題例題5 5討論討論n在理想流體情況下，hw =0，則w在在H H、d d不變情況下，若欲使不變情況下，若欲使Q Q增加，可采取什么措施？增加，可采取什么措施？gHdQ242Q Qd dJ JJ Jp pwhgv22例題例題6 6文丘里流量計是一種測量有壓管道中液體流量的儀器，它是由光滑的收縮段、喉管與擴(kuò)散段三部分組成，如圖所示.已知 、 、 （或 ），試求管道的通過能量Q。1d2dhph例題例題6 6從從1212建立總流的伯努利方程建立總流的伯努利方程0222222221111gvpzgvpz取 ，則得0 . 12122112121221