實(shí)驗(yàn)報(bào)告隨機(jī)分布數(shù)據(jù)

1、實(shí)驗(yàn)報(bào)告時(shí)間測量中隨機(jī)誤差的分布規(guī)律No.1得分：505 級(jí)數(shù)學(xué)系 PB050010672006.03.27實(shí)驗(yàn)?zāi)康模河贸Ｒ?guī)儀器（如電子秒表、頻率計(jì)等）測量時(shí)間間隔，通過對(duì)時(shí)間和頻率測量的隨機(jī)誤差分布，學(xué)習(xí)用統(tǒng)計(jì)方法研究物理現(xiàn)象的過程和研究隨機(jī)誤差分布的規(guī)律。實(shí)驗(yàn)原理：1. 常用時(shí)間測量儀表的簡要原理(1)(2)(3)(4)機(jī)械節(jié)拍器電子節(jié)拍器電子秒表VAFN 多用數(shù)字測試儀的性能2. 統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律的研究在近似消除了系統(tǒng)誤差的條件下，對(duì)某物理量進(jìn)行等精度測量，當(dāng)次數(shù)趨向無窮時(shí)，各測量值出現(xiàn)的概率密度分布可用正交分布函數(shù)表示：正態(tài)分布概率密度函數(shù)(x - x)22s 21f (x) =exp-

2、(1)s2pnnåxå(x - x)2iix = i=1ns = i=1n -1其中(2)a(3)式中 a=，2，3有：-aP(s ) =0.683，P(2s ) =0.955P(3s ) =0.997(1) 統(tǒng)計(jì)直方圖法在一組等精度測量所得的 N 個(gè)結(jié)果 x1，x2，xN 中，找出其最大值與最小值，并求出級(jí)差 R=xmax-xmin，由級(jí)差分= xmax - xmin為 K 個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)域的間隔（x）的大小就等于 RK。結(jié)果出現(xiàn)在某個(gè)小區(qū)域內(nèi)的次數(shù) n 稱為iKåninini頻數(shù)，則為頻率，N為累計(jì)頻率，稱為頻率密度。N × DxN(2) 利用式

3、（1）求出各小區(qū)域中點(diǎn)的正態(tài)分布的概率密度值 f（x），以 f（x）為縱坐標(biāo)，x 為橫坐標(biāo)，可得概率密度分布曲線。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：1. 時(shí)間間隔測量：用電子秒表測量機(jī)械節(jié)拍器的擺動(dòng)周期或電子節(jié)拍器的周期。2. 統(tǒng)計(jì)概率研究：時(shí)間測量均要求在相同條件下，重復(fù)測量 200 次以上。（1） 計(jì)算結(jié)果的 x 和（2） 計(jì)算各區(qū)中點(diǎn)的 f（x）（3） 合理劃分小區(qū)間數(shù) K，并確定其間隔，計(jì)算各區(qū)間的頻率、相對(duì)頻率、相對(duì)頻率密度和累計(jì)頻率，以頻率密度為縱坐標(biāo)，測量值 x 為橫坐標(biāo)，作統(tǒng)計(jì)直方圖，并將 f（x）x 中曲線繪在統(tǒng)計(jì)直方圖中，檢驗(yàn)測量值分布是否符合正態(tài)分布。（4） 計(jì)算測量列誤差出現(xiàn)在±，&

4、#177;2，±3范圍內(nèi)的概率（5）計(jì)算測量平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，并正確寫出測量結(jié)果完整的表。數(shù)據(jù)：由以下“原始數(shù)據(jù)表”計(jì)算得：nnå xå(x - x)2iix = i=1得其值為ns= i=1得其值為 0.0677 秒。n -13.96 秒;原始數(shù)據(jù)表（秒）(注：由于的是 Excel 表格，軟件系統(tǒng)導(dǎo)致類似于 4.00 的數(shù)字省去了后面的“0”，特此說明，望諒解o)3.93.973.924.084.083.934.143.943.853.973.963.973.963.973.893.884.14.013.783.993.913.884.023.854.013.98

5、3.953.963.83.933.993.953.923.973.893.983.933.9443.943.9543.914.014.034.063.963.9443.983.9443.973.963.843.953.953.9743.86443.964.024.013.983.863.983.883.984.013.984.013.983.814.033.944.044.13.983.953.974.0443.913.973.864.024.023.963.993.974.043.983.993.973.974.083.834.013.984.013.933.784.0343.923.924

6、.014.043.893.924.013.894.073.913.974.0343.963.983.9743.983.813.9943.993.934.023.973.973.973.873.833.984.0543.983.833.983.954.013.9643.973.853.9544.0543.883.863.83.884.023.984.083.863.883.933.944.013.833.983.934.044.033.824.083.943.963.893.893.93.983.854.043.873.914.013.993.893.974.084.013.973.943.99

7、4.013.983.983.983.893.93.914.1143.83.99繪圖統(tǒng)計(jì)表3.8653.9053.9453.9854.0254.0654.1054.1453.9053.9453.9854.0254.0654.1054.1454.185由此繪得下圖：比較P(a) 與理論值的偏差（a=，2，3）P(s ) = 0.685 ；P(2s ) = 0.940 ；P(3s ) = 1.000 。(理論值： P(s ) =0.683；P(2s ) =0.955；P(3s ) =0.997)思考題：若不考慮系統(tǒng)誤差：時(shí)間的所有測量值應(yīng)十分靠近正態(tài)分布曲線(x - x)22s 21f (x) =e

8、xp-，s2pnnå(x - x)2å ixis =x = i=1， i=1；n -1其中n當(dāng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)量趨于無窮的時(shí)候，兩曲線會(huì)趨于重合；兩曲線又應(yīng)有所不同，因?yàn)槔碚撉€ x Î(-¥,+¥) ,而實(shí)際總是偏離 x 太多。分析產(chǎn)生偏離的：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有限（正態(tài)分布需要大量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)才能接近吻合，200 個(gè)數(shù)據(jù)仍不夠）；秒表的精度有限（只能精確到 0.01 秒，而正態(tài)分布是連續(xù)函數(shù)）；實(shí)際測量區(qū)間有限（正態(tài)分布是在無窮區(qū)間上）；人的疲倦等不可避免的導(dǎo)致的反應(yīng)時(shí)間延遲。但在條件與誤差范圍內(nèi)，實(shí)驗(yàn)相當(dāng)。周2006-4-6No.2單擺的設(shè)計(jì)和研究得分：5-0

9、5 級(jí)數(shù)學(xué)系 PB05001067實(shí)驗(yàn)?zāi)康模豪媒?jīng)典的單擺公式、所給器材及對(duì)重力度 g 的測量精度要求，進(jìn)行簡單的設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)方法的訓(xùn)練；學(xué)會(huì)用誤差均分原則選用適當(dāng)?shù)膬x器和測量方法；1.2.3.4.學(xué)習(xí)積累放的原理及應(yīng)用；分析基本誤差的來源。實(shí)驗(yàn)儀器：游標(biāo)卡尺，米尺，電子秒表，支架，細(xì)線，鋼球，擺幅測量標(biāo)尺實(shí)驗(yàn)原理：lgl= 2p（即 g = 4p 2），通過測量周期 T、擺長 l 求重力由一級(jí)近似周期公式T度。r 2設(shè)計(jì)方案：l ，有Dg = 2DT + Dl故DTT£ 0.25% ， Dl £ 0.5%l根據(jù) g = 4p 2T 2gTl米尺精度米0.05cm=ll

10、15;0.5%0.35cm選用米尺D（ 值）2（n 為單擺周期次數(shù)）TT×0.25%4.25×10-3sDT £ DB =D2儀nD 值n<4.25×10-3s <<儀估0.2n >4.25´10-3故 n 取 50 次實(shí)驗(yàn)步驟：1.（1）制作單擺。用游標(biāo)卡尺測小球直徑 D，懸起小球后用米尺測出擺繩長，則l = l+ D ，多次繩2測量(6 次)。（2）提起小球一點(diǎn)距離并靜止平面中進(jìn)行。，用擺幅測量標(biāo)尺測量擺角，確保<5°，同時(shí)要確保單擺在（3） 放下鋼球，當(dāng)球在最低處時(shí)開始（4） 計(jì)算 T、T 得 g2

11、. 檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否達(dá)到設(shè)計(jì)要求。，測 n(n>=50)個(gè)周期。l3. T = 2p分析擺長、擺角、懸線質(zhì)量、空氣浮力誤差大小g數(shù)據(jù)：123456平均l 繩（cm）64.7064.8164.7564.7864.8264.8464.78D（cm）2.2222.2202.2222.2202.2182.2202.220l（cm）65.8165.9265.8665.8965.9365.9565.89周期 T：不確定度分析:l繩 =64.78cm， D =2.220cm， t =81.65， g = 9.755m/s2簡記為 D =D ， l繩 =l， t =t，4p 2 (l + D )1 dD

12、按 g =2 取對(duì)數(shù)，求微分有 dg =dl- 2dt ，2+l + Dl + D2tgt()22n系數(shù)取絕對(duì)值并改成不確定度符號(hào)1 uu u2+ 2Dgg=+t，l + D2t22æöæ 1öç÷çuD ÷2öæ u2öæ 2ulu÷ + ç 2g ÷= ç÷從而çt+ ç÷，ç l + D ÷ç l + D ÷g øtèø&

13、#232;è2 øè2 ø已求得s (l) = 0.0516cm，s (D) = 0.0015cm，s (t) = 0.0742s，各組數(shù)據(jù)測量了 6 次， t0 68 = 1.11,那么uA (l) = 1.11´ 0.0516/ 6 cm=0.0233cm，ull + D2T(s)n(次)t(s)1.6325081.621.6345081.721.6355081.731.6315081.531.6335081.661.6325081.62T (s)1.633g (m/s)9.755uA (D) = 1.11´ 0.0015/ 6

14、cm=0.0007cm，uA (t) = 1.11´ 0.0742/于是6 s=0.0336s，2öæ u2ö2ö22 öæææ11g ÷ç» ç÷ ´ 0.02332 + ç÷ ´ 0.00072 + ç÷ ´ 0.03362è 65+1øè1+1øgè 82 øèøuA (g) 9.6 ´10-

15、4g-32則 g 的 A 類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為uA (g) = 9.4 ´10 m/s有 g=(975.5±0.94) cm/s2 ,P=0.68 P=0.68 時(shí)將鋼卷尺視為米尺一類的儀器，其誤差正態(tài)分布，U(l)=(0.0233)2 + (0.12 / 3)2 = 0.0463cm22(0.0007)+ (0.002/3)游標(biāo)卡尺誤差均勻分布，U(D)=0.0014cm秒表誤差呈正態(tài)分布，最大允差取最小分度 0.01 秒，22(0.0336) + (0.01/ 3)U(t)=，=0.0338sUgg= 3.0×10-30.4%，實(shí)驗(yàn)Ug = 3.0 ´1

16、0 m-22s，P=0.68.可見，儀器（游標(biāo)卡尺，米尺，電子秒表）的最大允差使標(biāo)準(zhǔn)不確定度顯著增大。展伸不確定度由標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘以 2 得到Ug =6.0 cm/s ，P=0.952測量結(jié)果表示為g=(975.5±3.0) cm/s2，P=0.68 g=(975.5±6.0) cm/s2，P=0.95的分析:對(duì)該實(shí)驗(yàn)中誤差產(chǎn)生理論引起的系統(tǒng)誤差：單擺的擺動(dòng)周期與擺角的關(guān)系，可通過測量<5°時(shí)兩次不同擺角1、2 的周期值進(jìn)行比較。在本實(shí)驗(yàn)的測量精度范圍內(nèi)，驗(yàn)證出單擺的 T 與無關(guān)。實(shí)際上，單擺的周期 T 隨擺角增加而增加。根據(jù)振動(dòng)理論，周期不僅與擺長 L 有

17、關(guān)，而且與擺動(dòng)的角振幅有關(guān)，其公式為：2 q1´ 32 q122T=T01+( ) sin+() sin+222 ´ 42Lgo式中 T0 為接近于 0 時(shí)的周期，即 T0=2懸線質(zhì)量 m0 應(yīng)遠(yuǎn)小于擺球的質(zhì)量 m，擺球的半徑 r 應(yīng)遠(yuǎn)小于擺長 L，實(shí)際上任何一個(gè)單擺都不是理想的，由理論可以證明，此時(shí)考慮上述因素的影響，其擺動(dòng)周期為：1é2rr 2 öù 2æ2r 2mê1 + 0 ç1 -+÷ú5L23m èLL2 øúL êT = 2pg êúúúûmær ö1 + 0 ç1 -÷êêë2m èL ør空氣æ