第2章2量綱分析法

1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 公平的席位分配公平的席位分配 2.2 錄像機計數(shù)器的用途錄像機計數(shù)器的用途 2.3 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效2.4 汽車剎車距離汽車剎車距離2.5 劃艇比賽的成績劃艇比賽的成績2.6 實物交換實物交換2.7 核軍備競賽核軍備競賽2.8 啟帆遠航啟帆遠航2.9 量綱分析與無量綱化量綱分析與無量綱化 2.9 量綱分析與無量綱化量綱分析與無量綱化物物理理量量的的量量綱綱長度長度 l 的量綱記的量綱記 L=l質量質量 m的量綱記的量綱記 M=m時間時間 t 的量綱記的量綱記 T=t動力學中動力學中基本量綱基本量綱 L, M, T速度速度 v 的量綱的量綱

2、 v=LT-1導出量綱導出量綱221rmmkf 加速度加速度 a 的量綱的量綱 a=LT-2力力 f 的量綱的量綱 f=LMT-2引力常數(shù)引力常數(shù) k 的量綱的量綱 k對無量綱量對無量綱量 ， =1(=L0M0T0)2.9.1 量綱齊次原則量綱齊次原則=fl2m-2=L3M-1T-2量綱齊次原則量綱齊次原則等式兩端的量綱一致等式兩端的量綱一致量綱分析量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關系系例：單擺運動例：單擺運動)1 (321glmt 321glmt lmgm求擺動周期求擺動周期 t 的表達式的表達式設物理量設物理量 t, m, l, g 之間有關系式之

3、間有關系式 1, 2, 3 為待定系數(shù)，為待定系數(shù)， 為無量綱量為無量綱量 2/ 12/ 10321glt(1)的量綱表達式的量綱表達式glt2對比對比33212TLMT12003321對對 x,y,z的兩組測量值的兩組測量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )2121pppp為什么假設這種形式為什么假設這種形式321glmt 設設p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量綱單的量綱單位縮小位縮小a,b,c倍倍zyxzyxf),(

4、p= f(x,y,z)的形式為的形式為),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt單擺運動中單擺運動中 t, m, l, g 的一般表達式的一般表達式0),(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 為待定常數(shù)為待定常數(shù), 為無量綱量為無量綱量0)(F設設 f(q1, q2, , q

5、m) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價等價, F未定未定Pi定理定理 (Buckingham)是與量綱單位無關的物理定律，是與量綱單位無關的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量是基本量綱綱, n m, q1, q2, , qm 的量綱可表為的量綱可表為,mnijaA量綱矩陣記作量綱矩陣記作rA rank若線性齊次方程組線性齊次方程組0Ay有有 m-r 個基本解，記作個基本解，記作mjyjssjq1為為m-r 個相

6、互獨立的無量綱量個相互獨立的無量綱量, 且且則則)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量綱分析示例：量綱分析示例：波浪對航船的阻力波浪對航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船體尺寸船體尺寸l, 浸沒面積浸沒面積 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqfTTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0,

7、 0, 1(321flgslvl 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3個基本解個基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r個基本解個基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 個無量綱量個無量綱量0),(21mqqqf0),(fsvlg F( 1, 2 , 3 ) = 0與與 (g,l, ,v,s,f) = 0 等價等價flgslvl得到阻力為得到阻力 f 的顯式表達式的顯式表達式F=0),(213 未定未定m

8、jyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 與與 f (q1, q2, , qm) =0 等價等價221213,),(lsglvglf量綱分析法的評注量綱分析法的評注 物理量的選取物理量的選取 基本量綱的選取基本量綱的選取 基本解的構造基本解的構造 結果的局限性結果的局限性 () = 0中包括哪些物理量是至關重要的中包括哪些物理量是至關重要的基本量綱個數(shù)基本量綱個數(shù)n; 選哪些基本量綱選哪些基本量綱有目的地構造有目的地構造 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普適性方法的普適性函數(shù)函數(shù)F和無量綱量未定和無量綱量未定不需要特定的專業(yè)知識不需要特定的專業(yè)知識2.9.2 量綱分析在物理模擬中

9、的應用量綱分析在物理模擬中的應用 例例: 航船阻力的物理模擬航船阻力的物理模擬通過航船模型確定原型船所受阻力通過航船模型確定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的參數(shù)模型船的參數(shù)(均已知均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的參數(shù)原型船的參數(shù)(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同2211,1gg llvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1 按一定尺寸比例造模型船，按一

10、定尺寸比例造模型船，量測量測 f，可算出，可算出 f1 物理模擬物理模擬221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf2.9.3 量綱分析量綱分析例：爆炸的沖擊波例：爆炸的沖擊波(爆炸的破壞力分析爆炸的破壞力分析)(一一)問題提出問題提出 爆炸的沖擊波是造成破壞的主要原因，研究沖擊波是必要的。建立爆炸的沖擊波是造成破壞的主要原因，研究沖擊波是必要的。建立數(shù)學模型，用予預測沖擊波的傳播過程：沖擊波的半徑隨時間變化的規(guī)數(shù)學模型，用予預測沖擊波的傳播過程：沖擊波的半徑隨時間變化的規(guī)律。律。研究沖擊波的半徑隨時間變化的規(guī)律研究沖擊波的半徑隨時間變化的規(guī)律（二

11、）量的分析（二）量的分析 爆炸爆炸能量釋放能量釋放.發(fā)生是在一點上突然釋放出大量發(fā)生是在一點上突然釋放出大量的能量。的能量。主要變量：主要變量：E能量能量 爆炸表面形成一個球面，以沖擊波形式在空中向外傳播.假設球的半徑為R:是關于時間的函數(shù). 時間t. 半徑R的變化還與空氣密度 . 空氣氣壓 .有關.00P即00, ,RE tP設00(, ,)RfE tP(三)假設 1)爆炸在一點突然發(fā)生,在氣壓為 的空氣中傳播; 2)同一時間只一點發(fā)生爆炸,傳播空間內無大型障礙物的阻止; 3)爆炸在極短時間內釋放能量. 時,能量 E 完全釋放.0P00t (四)模型的建立 尋求關系式 00( , ,)0f

12、R E tP量綱分析:力學問題,基本量綱:L,M,T 涉及物理量:00, ,R E tP各物理量的量綱:0022222003001222120dim dim ,dim dimdim,/RLM TEL MTflMLTLL MTtL M TL MTPL MTF sfsMLTLL MT 功：壓強：從而可以得到量綱矩陣:35nmAA3 5120310101102102A00( )( )( )()()REtPRank(A)=3 解齊次線性方程組:AY=0.其中Y=(y1, y2, y3, y4, y5).有m-r=5-3=2個基本解.解得: 1(5,1,2,1,0)2(0,2,6,3,5)TTYY 得2

13、個無量綱量:512026350012R EtEtP變換形式得:1 / 5021 / 5602301 12 2RE ttPE上式滿足函數(shù)式:( 11,22)0 由此可得: ,代入 得11(22)F1/50211()REt21 / 50()(22)E tRF 其中, 可以通過小型爆炸實驗分析后用數(shù)學軟件(MATLAB)或最小二乘法求得,最終求得爆炸沖擊波表達式.表達式近似描述了爆炸沖擊波的傳播過程. 反過來,根據(jù)爆炸過程的高速攝像照片,可以計算出爆炸釋放的能量.即已知t時刻的R，求出E.0( 22)F和2.9.4 無量綱化無量綱化例：火箭發(fā)射例：火箭發(fā)射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx

14、)0(, 0)0()(22 ),;(gvrtxx m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射。初速星球表面豎直發(fā)射。初速v, 星球半星球半徑徑r, 表面重力加速度表面重力加速度g研究火箭高度研究火箭高度 x 隨時間隨時間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律t=0 時時 x=0, 火箭質量火箭質量m1, 星球質量星球質量m2牛頓第二定律，萬有引力定律牛頓第二定律，萬有引力定律)0( xgx grkm223個獨立參數(shù)個獨立參數(shù)用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù)用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù)x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2變量變量 x,t 和獨立參數(shù)和獨立參數(shù) r,v,g 的量綱的量綱用用參數(shù)參

15、數(shù)r,v,g的組合的組合, ,分別分別構造與構造與x,t具有相同具有相同量綱量綱的的xc, tc （特征尺度）（特征尺度）無量綱變量無量綱變量tx ,vrtrxcc/,如),;(gvrtxx 利用新變量利用新變量, tx將被簡化將被簡化cctttxxx,令令 xc, tc的不同構造的不同構造vrtrxcc/,1）令cctttxxx,的不同簡化結果的不同簡化結果),;(gvrtxx xrvt dxdrvxxvt dxdvx 2222),;(gvrtxx );(txx 為無量綱量為無量綱量rvttrxx/,/vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxr

16、gvxx gvtgvxcc/,/23）令),;(gvrtxx 1) 0 (, 0) 0 (,) 1(122xxrgvxx );(txx 為無量綱量為無量綱量),;(gvrtxx grtrxcc/,2）令rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 );(txx 為無量綱量為無量綱量)/(80008 . 91063703smrg1）2）3）的共同點的共同點只含只含1個參數(shù)個參數(shù)無量綱量無量綱量 );(txx 解解重要差別重要差別rgv2考察無量綱量考察無量綱量v1在在1）2）3）中能否忽略以）中能否忽略以 為因子的項？為因子的項？1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx 1)忽略忽略 項項無解無解x不能忽略不能忽略 項項1)0(, 0)0(, 0) 1(12xxxtttx2)(21) 0(, 0) 0(, 1xxx 0)0(, 0)0(,) 1(12xxxx rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 2)1) 0 (, 0) 0 (,) 1(122xxrgvxx 3)忽略忽略 項項0)(tx不能忽略不能忽略 項項忽略忽略 項項0)(txvxxgx)0(0)0( tttx2)(2gvtgvxcc/,/2cctttxxx,vtgttx221)(火箭發(fā)射過程火箭發(fā)射過程中引力中引力m1g不變不變 即即 x+r rvxxrxgrx)0(, 0)0()(22 原原問問題題可以