因動點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題（三）

1、因動點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題因動點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題1、 （2012 臨沂）如圖，點(diǎn) A 在 x 軸上，OA=4，將線段 OA 繞點(diǎn) O 順時針旋轉(zhuǎn) 120至 OB的位置（1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過點(diǎn) AO、B 的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn) P，使得以點(diǎn) P、O、B 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；分類討論。解答：解： （1）如圖，過 B 點(diǎn)作 BCx 軸，垂足為 C，則BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC= OB= 4=2，BC=OBsin60=4=2，點(diǎn) B 的坐

2、標(biāo)為（2，2） ；（2）拋物線過原點(diǎn) O 和點(diǎn) AB，可設(shè)拋物線解析式為 y=ax2+bx，將 A（4，0） ，B（22）代入，得，解得，此拋物線的解析式為 y=x2+x（3）存在，如圖，拋物線的對稱軸是 x=2，直線 x=2 與 x 軸的交點(diǎn)為 D，設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（2，y） ，若 OB=OP，則 22+|y|2=42，解得 y=2，當(dāng) y=2時，在 RtPOD 中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即 P、O、B 三點(diǎn)在同一直線上，y=2不符合題意，舍去，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（2，2）若 OB=PB，則 42+|y+2|2=42，解得

3、y=2，故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（2，2） ，若 OP=BP，則 22+|y|2=42+|y+2|2，解得 y=2，故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（2，2） ，綜上所述，符合條件的點(diǎn) P 只有一個，其坐標(biāo)為（2，2） ，2、 （湖州中考）如圖 1，已知正方形 OABC 的邊長為 2，頂點(diǎn) A、C 分別在 x、y 軸的正半軸上，M 是 BC的中點(diǎn)。P（0，m）是線段 OC 上一動點(diǎn)（C 點(diǎn)除外） ，直線 PM 交 AB 的延長線于點(diǎn) D。求點(diǎn) D 的坐標(biāo)（用含 m 的代數(shù)式表示） ；當(dāng)APD 是等腰三角形時，求 m 的值；設(shè)過 P、M、B 三點(diǎn)的拋物線與 x 軸正半軸交于點(diǎn) E，過點(diǎn) O 作直線 ME 的垂線，垂

4、足為 H（如圖 2） ，當(dāng)點(diǎn) P 從點(diǎn) O 向點(diǎn) C 運(yùn)動時，點(diǎn) H 也隨之運(yùn)動。請直接寫出點(diǎn) H所經(jīng)過的路徑長。 （不必寫解答過程）AOCPBDMxyAOCPBDMxy（第 24 題圖）圖 1圖 2E3、 （鹽城中考）如圖，已知一次函數(shù) y=-x+7 與正比例函數(shù) y=43x 的圖象交于點(diǎn) A，且與 x 軸交于點(diǎn) B.（1）求點(diǎn) A 和點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn) A 作 ACy 軸于點(diǎn) C，過點(diǎn) B 作直線 ly 軸動點(diǎn) P 從點(diǎn) O 出發(fā)，以每秒 1 個單位長的速度，沿 OCA 的路線向點(diǎn) A 運(yùn)動；同時直線 l 從點(diǎn) B 出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線 l 交 x 軸于點(diǎn)

5、R，交線段 BA或線段 AO 于點(diǎn) Q當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) A 時，點(diǎn) P 和直線 l 都停止運(yùn)動在運(yùn)動過程中，設(shè)動點(diǎn) P 運(yùn)動的時間為 t 秒.當(dāng) t 為何值時，以 A、P、R 為頂點(diǎn)的三角形的面積為 8？是否存在以 A、P、Q 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，請說明理由【答案【答案】 （1）根據(jù)題意，得y=-x+7y=43x，解得x=3y=4，A(3，4) .令 y=-x+7=0，得 x=7B（7，0）.（2）當(dāng) P 在 OC 上運(yùn)動時，0t4.由 SAPR=S梯形COBA-SACP-SPOR-SARB=8，得12(3+7)4-123(4-t)-12t(7-t)-1

6、2t4=8整理,得 t2-8t+12=0,解之得 t1=2,t2=6（舍）當(dāng) P 在 CA 上運(yùn)動，4t7.由 SAPR=12(7-t) 4=8，得 t=3（舍）當(dāng) t=2 時，以 A、P、R 為頂點(diǎn)的三角形的面積為 8.當(dāng) P 在 OC 上運(yùn)動時，0t4. 此時直線 l 交 AB 于 Q。AP= （4-t）2+32，AQ= 2t，PQ=7-t當(dāng) AP =AQ 時， （4-t）2+32=2(4-t)2, 整理得，t2-8t+7=0. t=1, t=7(舍)當(dāng) AP=PQ 時， （4-t）2+32=(7-t)2,整理得，6t=24. t=4(舍去)當(dāng) AQ=PQ 時，2（4-t）2=(7-t)2

7、整理得，t2-2t-17=0 t=13 2 (舍)當(dāng) P 在 CA 上運(yùn)動時，4t7. 此時直線 l 交 AO 于 Q。過 A 作ADOB 于 D,則 AD=BD=4.設(shè)直線 l 交 AC 于 E，則 QEAC，AE=RD=t-4，AP=7-t.由 cosOAC=AEAQ=ACAO，得 AQ =53(t-4)當(dāng) AP=AQ 時，7-t =53(t-4)，解得 t =418.當(dāng) AQ=PQ 時，AEPE，即 AE=12AP得 t-4=12(7-t)，解得 t =5.當(dāng) AP=PQ 時，過 P 作 PFAQ 于 FAF=12AQ =1253(t-4).在 RtAPF 中，由 cosPAFAFAP3

8、5，得 AF35AP即1253(t-4)=35(7-t)，解得 t=22643.綜上所述，t=1 或418或 5 或22643時，APQ是等腰三角形.【考點(diǎn)】【考點(diǎn)】一次函數(shù)，二元一次方程組，勾股定理，三角函數(shù)，一元二次方程，等腰三角形。【分析【分析】 （1）聯(lián)立方程 y=- x+7 和 y=43x 即可求出點(diǎn) A 的坐標(biāo)，今 y=-x+7=0 即可得點(diǎn) B 的坐標(biāo)。（2）只要把三角形的面積用 t 表示，求出即可。應(yīng)注意分 P 在 OC 上運(yùn)動和 P 在CA 上運(yùn)動兩種情況了。只要把有關(guān)線段用 t 表示，找出 AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ 的條件時 t 的值即可。應(yīng)注意分別討論 P 在 OC 上運(yùn)動（此時直線 l 與 AB 相交）和 P 在 CA 上運(yùn)動（此時直線 l 與 AO 相交）時 AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ 的條件。4、 （揚(yáng)州中考）已知拋物線 yax2bxc 經(jīng)過 A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)