利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)性質(zhì)

1、無第二章 一元微分學(xué)第六節(jié)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容包括：利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)極值和極值點(diǎn)、最值和最值點(diǎn)及其應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)圖形的凹凸性、求曲線的拐點(diǎn)，求曲線切線、法線、漸近線及函數(shù)作圖等。這部分內(nèi)容很重要，事實(shí)上前面幾節(jié)的知識(shí)都用到了本節(jié)的內(nèi)容。在高等數(shù)學(xué)的各種考試中本節(jié)的知識(shí)都是重要部分，同學(xué)們一定要很熟練。但由于這部分內(nèi)容一般不要求很高的技巧（要求熟練、準(zhǔn)確及對概念的清楚） ，所以只簡單地舉幾個(gè)例子。最后舉二個(gè)例子介紹相關(guān)變化率的問題。例 1 設(shè))(xf二階可導(dǎo)，)0()4(yydxdy若曲線)(xfy 的一個(gè)拐點(diǎn)為)3 ,(0 x，則_分析： 由題設(shè)知, 3|0 x

2、xy并且0|022xxdxyd， 而dxdyyydydyydxddxyd)4()4(22) 1(4()4()4()4(121yyyyyyyy由0|322220yxxdxyddxyd，得3注：本題的解決無需技巧，關(guān)鍵是清楚拐點(diǎn)的概念及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)例：求曲線1lnlnttyttx的漸近線解：先看是否有水平漸近線：易見t時(shí)1,yx，所以有1limyx，故有水平漸近線1y；再看是否有鉛直漸近線：易見0t時(shí)yx, 0，所以有yx0lim，故有鉛直漸近線0 x；再看是否有斜漸近線：易見0limxyx，故無斜漸近線例求橢圓12222byax在第一象限中的切線，使它被兩坐標(biāo)軸所截的線段最短解法一：橢圓的參數(shù)方

3、程為sin,cosbyax，設(shè)切點(diǎn)為)20( )sin,cos(ba，那么切線的斜率為sincosabk，切線方程為)cos(sincossinaxabby無切線在x軸上的截距為cosa，切線在y軸上的截距為sinb從所截線段長為)20( sincos)(2222bal求)(l的最小值點(diǎn)等價(jià)于求)20( sinbcos)(2222af的最小值點(diǎn)abbaftan0cossin2sincos2)(3232從而知)(f在)2, 0(有唯一駐點(diǎn)abarctan，由本問題的實(shí)際背景我們可以判斷)(f在)2, 0(內(nèi)取得最小值，因此abarctan時(shí))(f取得最小值此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為babbybaaax ,所

4、求的切線方程為)(baaaxbaabbabby，化簡得1)()(babybaax解法二：設(shè)切點(diǎn)為)0( ),(axyx，那么切線的斜率為yaxbk22，切線方程為)(22xXyaxbyY切線在x軸上的截距為xa2，切線在y軸上的截距為yb2從所截線段長為)0( )(2424axybxaxl求)(xl的最小值點(diǎn)等價(jià)于求)0( )(2424axybxaxf的最小值點(diǎn)yybxaxf343422)(32322234340)(22byaxyaxbybxa無又yx,滿足12222byax聯(lián)立以上兩個(gè)方程得：babbybaaax ,從而知)(xf在), 0(a有唯一駐點(diǎn)baaax，由本問題的實(shí)際背景我們可以

5、判斷)(xf在), 0(a內(nèi)取得最小值，因此baaax時(shí))(xf取得最小值此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為babbybaaax ,所求的切線方程1)()(babybaax注：利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題（即所謂的應(yīng)用題）幾乎是必考的其中用微分學(xué)（一元或多元微分學(xué)）知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用中的最大值或最小值問題是其中很重要的一部分解決這種問題的關(guān)鍵是：根據(jù)實(shí)際背景和問題的要求選好自變量并求出目標(biāo)函數(shù)同時(shí)確定該目標(biāo)函數(shù)的定義域I（一般情況下I是一個(gè)區(qū)間，可以是開的、閉的或半開半閉，也可是有限的、無限的 ）求出目標(biāo)函數(shù)在I內(nèi)的駐點(diǎn)，如果駐點(diǎn)是唯一的，那么可用下面兩種方式說明該駐點(diǎn)就是所求的最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)： （）根據(jù)實(shí)際問

6、題的背景，可以判定目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)部取得最大值（或最小值） ，且在I內(nèi)的駐點(diǎn)又是唯一的，則該駐點(diǎn)就是最大值點(diǎn)（最小值點(diǎn)） （）若目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，又通過一階導(dǎo)或二階導(dǎo)可以判定該駐點(diǎn)為極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)） ，則該駐點(diǎn)就是最大值點(diǎn)（最小值點(diǎn)） 另外要注意：選擇不同的自變量，目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式會(huì)不一樣，計(jì)算量及復(fù)雜性可能有很大差別，因此選擇合適的自變量有時(shí)是很關(guān)鍵的有的問題既可用一元微分學(xué)去解決，也用二元微分學(xué)去解決，就看哪個(gè)更簡便事實(shí)上例用二元微分學(xué)知識(shí)去解可能更方便，實(shí)際就是求目函數(shù))0 ,0( ),(2424byaxybxayxf在約束條件12222byax下的最小值問題，可用

7、拉格朗日乘數(shù)法去解決例 4一長度為m5的梯子鉛直地靠在鉛直的墻上，其下端沿地板以sm/3的速度離開墻角而滑動(dòng)，（） 當(dāng)其下端離開墻角m4 . 1時(shí)，梯子上端下滑的速度是多少？（） 何時(shí)梯子上、下端滑行的速度相同？解： （）梯子滑行t秒時(shí)，上、下端距離墻角的距離分別為y米和x米，依題意有225xy，3dtdx，無本題欲求4 . 1|xdtdy，對225xy兩邊對時(shí)間t求導(dǎo)得2225325xxdtdxxxdtdy從而得875. 04 . 1254 . 11|24 . 1xdtdy，即上端下滑速度為sm/875. 0（） 由32532 xx，得225x，6253xt，即梯子滑行625秒后，其上、下端

8、滑行的速度相同注：仔細(xì)體會(huì)本題的解答，本題中涉及三個(gè)變量tyx,，任一變量都是任一其它變量的函數(shù)，本題中己知yx,的函數(shù)關(guān)系，且己知x對t的導(dǎo)數(shù)，要求y對t的導(dǎo)數(shù)這種問題稱為相關(guān)變化率的問題在己知yx,的函數(shù)關(guān)系0),(yxF后，這種問題是簡單的，只須兩邊對t求導(dǎo)可得0dtdyFdtdxFyx，從而求出dtdy在具體問題中，難點(diǎn)可能是yx,的函數(shù)關(guān)系的建立例溶液自深cm18頂直徑為cm12的正圓錐漏斗中漏入一直徑為cm10的圓柱形容器中，開始時(shí)漏斗盛滿水，當(dāng)溶液在漏斗中深cm12時(shí)，其水平面下落速度為min/1cm，問此時(shí)圓柱形容器中水平面上升的速度為多少？分析：這里涉及三個(gè)變量：時(shí)刻t，及時(shí)

9、刻t時(shí)漏斗水面深度x、圓柱形容器中的水面高度y，yx,都是t的函數(shù)，y是x的函數(shù)。 已知1|12xdtdx， 欲求12|xdtdy。 仿上面例題， 如能建立yx,的函數(shù)關(guān)系，問題就不難了。那么yx,的函數(shù)關(guān)系的建立成為解決本題的關(guān)鍵，這種關(guān)系的建立是基于“漏斗漏出的水量和圓柱形容器中的水量相等” 。解：設(shè)在t時(shí)刻漏斗水的深度和圓柱形容器中水的深度分別為x厘米和y厘米，t時(shí)刻漏斗的水面半徑為xr31，此時(shí)漏斗漏出的水量為)9186(332x，此時(shí)圓柱形容器中的水量為y 25，因此有)9186(3 2532xy兩邊對t求導(dǎo)得dtdxdtdy9125，又由min)/( 1|12cmdtdxx，得mi

10、n)/(251625912|212cmdtdyx。練習(xí)題:無設(shè)nnxxxxfn( ,)!2(! 21)(22為正整數(shù)） ，證明在),(內(nèi)有正的最小值（先說明)(xf有最小值點(diǎn)，記為0 x，那么0)(0 xf，再利用)!2()()(2000nxxfxfn）比較e與e的大?。ㄗ⒁庾冃稳?shù)變成為比較eln與lne的大小，它等價(jià)于比較eeln與ln的大小，利用xxxfln)(的單調(diào)性可解決問題）求數(shù)列, 3,2, 13nn中的最大項(xiàng)（數(shù)列na也是函數(shù))(nfan，求其最大值（即最大項(xiàng)）的問題可用單調(diào)性解決這種函數(shù)的自變量n是離散變量，不能對n求導(dǎo)，于是把n變成x，通過討論)(xf的單調(diào)性進(jìn)而得到數(shù)列

11、na隨n增加時(shí)（或n1減少時(shí)）的變化情況，再求出最大項(xiàng)本題中xxxf1)(，但由于求導(dǎo)不是很方便，可考慮函數(shù)xxxgln)(）求曲線323ttytx的拐點(diǎn)（答案：)4, 1 (),4 , 1 (） 設(shè)函數(shù))(xf的定義域?yàn)?, 0|xxxD，且滿足xxxfxf1)1()(，求)(xf的表達(dá)式并求曲線)(xfy 的漸近線（由xxxfxf1)1()(，作換元xxt1得tttftf12)11()(，即xxxfxf12)11()(，再作換元ttx1得tttfttf12)11()1(即xxxfxxf12)11()1(， 由以上三個(gè)式子可得)(xf的表達(dá)式， 有了表達(dá)式后再求漸近線是容易的）將10分成n分naaa,21（即10, 01niiiaa） ，n為多少且naaa,21各是多少時(shí)，乘積naaa21最大。無（對于固定的n，naaan1021時(shí)乘積naaa21最大， 最大值為