第11章 差錯(cuò)控制編碼

1、第第11章章 差錯(cuò)控制編碼差錯(cuò)控制編碼11.1 引引 言言11.2 糾錯(cuò)編碼的基本原理糾錯(cuò)編碼的基本原理11.3 糾錯(cuò)編碼的性能糾錯(cuò)編碼的性能11.4 簡(jiǎn)單的實(shí)用編碼簡(jiǎn)單的實(shí)用編碼11.5 線性分組碼線性分組碼11.6 循環(huán)碼循環(huán)碼11.7 卷積碼卷積碼11.8 Turbo碼碼11.9 低密度奇偶校驗(yàn)碼低密度奇偶校驗(yàn)碼11.7 網(wǎng)格編碼調(diào)制網(wǎng)格編碼調(diào)制11.1 引言 在數(shù)字通信中，根據(jù)不同的目的，編碼可分為信源編碼和信道編碼。信源編碼是為了提高數(shù)字信號(hào)的有效性以及為了使模擬信號(hào)數(shù)字化而采取的編碼。n信道編碼是為了降低誤碼率， 提高數(shù)字通信的可靠性而采取的編碼n數(shù)字信號(hào)在傳輸過(guò)程中受到干擾的影響

2、，使信號(hào)波形變壞，發(fā)生誤碼，可以采用一些方法解決。同時(shí)設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，還要合理地選擇調(diào)制、解調(diào)、發(fā)送功率等因素，采用上述措施仍難以滿足性能要求，就要采用差錯(cuò)控制措施了。一、一、從差錯(cuò)控制角度看，信道可以分為從差錯(cuò)控制角度看，信道可以分為三類：三類：即隨機(jī)信道、突發(fā)信道和混合信道。隨機(jī)信道隨機(jī)信道在隨機(jī)信道中、錯(cuò)碼的出現(xiàn)是隨機(jī)的，且錯(cuò)碼之間是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。突發(fā)信道突發(fā)信道錯(cuò)碼是成串集中出現(xiàn)的?；旌闲诺阑旌闲诺来嬖陔S機(jī)和突發(fā)兩種錯(cuò)碼。、接收端根據(jù)什么來(lái)識(shí)別有無(wú)錯(cuò)碼由發(fā)送端的信道編碼器在信息碼元序列中增加一些監(jiān)督碼元。這些監(jiān)督碼和信碼之間有確定的關(guān)系，使接收端可以利用這種關(guān)系由信道譯碼器來(lái)發(fā)現(xiàn)或糾正可能存

3、在的錯(cuò)碼。 在信息碼元序列中加入監(jiān)督碼元就稱為差錯(cuò)控制編碼，有時(shí)也稱為糾錯(cuò)編碼。、差錯(cuò)控制編碼原則上是以降低信息傳輸速率為代價(jià)來(lái)?yè)Q取傳輸可靠性的提高。二、差錯(cuò)控制編碼的基本思想二、差錯(cuò)控制編碼的基本思想三、常用的差錯(cuò)控制方法有以下幾種： 檢錯(cuò)重發(fā)法接收端在收到的信碼中檢測(cè)出(發(fā)現(xiàn))錯(cuò)碼時(shí)，即設(shè)法通知發(fā)送端重發(fā)，直到正確收到為止。 ARQ(Automatic Repeat Request)前向糾錯(cuò)法接收端不僅能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)碼，還能夠確定錯(cuò)碼的位置，能夠糾正它。反饋校驗(yàn)法接收端將收到的信碼原封不動(dòng)地轉(zhuǎn)發(fā)回發(fā)送端與原信碼比較。若發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤則發(fā)端重發(fā)。三種差錯(cuò)控制方法可以結(jié)合使用。發(fā)發(fā)可以糾正錯(cuò)誤的碼(a)

4、前向糾錯(cuò)(FEC)收收發(fā)能夠發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的碼應(yīng)答信號(hào)(b) 檢錯(cuò)重發(fā)(ARQ)收可以發(fā)現(xiàn)和糾正錯(cuò)誤的碼應(yīng)答信號(hào)(c) 混合糾錯(cuò)檢錯(cuò)(HEC)ARQ系統(tǒng)組成信源編碼器和緩沖存儲(chǔ)重發(fā)控制雙向信道譯碼器指令產(chǎn)生緩沖存儲(chǔ)收信者ARQ優(yōu)點(diǎn)：冗余碼元少、對(duì)信道有自適應(yīng)能力、成本和復(fù)雜性低；ARQ缺點(diǎn)：需要反向信道、重發(fā)控制較復(fù)雜、干擾大通信效率低、實(shí)時(shí)性差。一、分類一、分類（1）按照信道編碼的不同功能，分為檢錯(cuò)碼和糾錯(cuò)碼。）按照信道編碼的不同功能，分為檢錯(cuò)碼和糾錯(cuò)碼。 （2）按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的檢驗(yàn)關(guān)系，可以將按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的檢驗(yàn)關(guān)系，可以將它分為線性和非線性碼。它分為線性和非線性碼。 （

5、3）按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的約束方式不同，可按照信息碼元和監(jiān)督碼元之間的約束方式不同，可以將它分為分組碼和卷積碼。以將它分為分組碼和卷積碼。 （4）按照信息碼元在編碼后是否保持原來(lái)的形式，可以按照信息碼元在編碼后是否保持原來(lái)的形式，可以將它分為系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼。將它分為系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼。 （5）按照糾正錯(cuò)誤的類型不同，可以將它分為糾正隨機(jī)）按照糾正錯(cuò)誤的類型不同，可以將它分為糾正隨機(jī)錯(cuò)誤碼和糾正突發(fā)錯(cuò)誤碼。錯(cuò)誤碼和糾正突發(fā)錯(cuò)誤碼。 隨著數(shù)字通信系統(tǒng)的發(fā)展，可以將信道編碼器和調(diào)制器隨著數(shù)字通信系統(tǒng)的發(fā)展，可以將信道編碼器和調(diào)制器統(tǒng)一起來(lái)綜合設(shè)計(jì)，這就是所謂的網(wǎng)格編碼調(diào)制。統(tǒng)一起來(lái)綜合設(shè)計(jì)，這

6、就是所謂的網(wǎng)格編碼調(diào)制。 11. 2 糾錯(cuò)編碼的基本原理11.2 糾錯(cuò)編碼的基本原理 分組碼舉例 設(shè)：有一種由3個(gè)二進(jìn)制碼元構(gòu)成的編碼，它共有23 = 8種不同的可能碼組：000 晴 001 云 010 陰 011 雨100 雪 101 霜 110 霧 111 雹 這時(shí)，若一個(gè)碼組中發(fā)生錯(cuò)碼，則將收到錯(cuò)誤信息。 若在此8種碼組中僅允許使用4種來(lái)傳送天氣，例如：令000 晴 011 云 101 陰 110 雨 為許用碼組，其他4種不允許使用，稱為禁用碼組。 這時(shí)，接收端有可能發(fā)現(xiàn)（檢測(cè)到）碼組中的一個(gè)錯(cuò)碼。 這種編碼只能檢測(cè)錯(cuò)碼，不能糾正錯(cuò)碼。 若規(guī)定只許用兩個(gè)碼組：例如000 晴 111 雨就

7、能檢測(cè)兩個(gè)以下錯(cuò)碼，或糾正一個(gè)錯(cuò)碼。 例：3位二進(jìn)制數(shù)字構(gòu)成的碼組，共有8種不同的組合。若將其全部利用來(lái)表示天氣，則可以表示8種不同的天氣。000(晴)，001(多云)，010(陰)，011(雨)，100(雪)， 101(霜)， 110(霧)， 111(雹)。）種狀態(tài)，個(gè)許用碼組，個(gè)禁用碼組任一碼組在傳輸中若發(fā)生一個(gè)或多個(gè)措碼則將變成另一信息碼組。這時(shí)接收端將無(wú)法發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。二、一般原理、檢錯(cuò)原理若：000=晴001 =不可用010 =不可用011=云100 =不可用101=陰110=雨111 =不可用）種狀態(tài)，個(gè)許用碼）種狀態(tài)，個(gè)許用碼組，個(gè)禁用碼組組，個(gè)禁用碼組 雖然只能傳送4種不同的天氣但

8、是接收消卻有可能發(fā)現(xiàn)碼組中的一個(gè)錯(cuò)碼。 例如，若000(晴)中錯(cuò)了一位，則接收碼組將變成100或010或001，這三種碼組都是不準(zhǔn)許使用的，稱為禁用碼組，故接收端在收到禁用碼組時(shí)，就認(rèn)為發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)碼。但是這種碼不能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)措碼，因?yàn)榘l(fā)生兩個(gè)錯(cuò)碼后產(chǎn)生的是許用碼組。上述碼只能檢測(cè)錯(cuò)誤，不能糾正錯(cuò)誤。例如，當(dāng)收到的碼組為禁用碼組100時(shí)，無(wú)法判斷是哪一位碼發(fā)生了錯(cuò)誤因?yàn)榍纭㈥?、雨三者錯(cuò)了一位都可以變成100。）種狀態(tài)，個(gè)許用碼組，個(gè)禁用碼組）種狀態(tài)，個(gè)許用碼組，個(gè)禁用碼組要想能糾正錯(cuò)誤糾正錯(cuò)誤，還要增加多余度。例如，苦規(guī)定許用碼組只有兩個(gè)：000(晴)、111(雨)、其余都是禁用碼組。這時(shí)，接收?qǐng)瞿?/p>

9、檢測(cè)兩個(gè)以下錯(cuò)碼，或能糾正一個(gè)錯(cuò)碼。n、分組碼的一般概念。n為了傳輸4種不同的信息，用兩位二進(jìn)制碼組就夠了，它們是：00、01、10、11。代表所傳信息的這些兩位碼，稱為信息位。前面使用3位碼，多出的一位稱為監(jiān)督位。，每組信碼附加若干監(jiān)督碼的編碼集合，稱為分組碼。n例如分組碼的結(jié)構(gòu)n符號(hào) (n，k)表示分組碼nk信息碼元數(shù)nn碼組長(zhǎng)度(碼長(zhǎng))nn-k監(jiān)督碼元數(shù)an-1an-2arar-1a0k位信息位r位監(jiān)督位n=k+r時(shí)間碼重、碼距與碼的糾檢錯(cuò)能力n碼重“1”的數(shù)量稱為碼組的重量n碼距兩個(gè)碼組對(duì)應(yīng)位上數(shù)字不同的位數(shù)稱為碼組的距離，簡(jiǎn)稱碼距。又稱漢明(Hamming)距離。n最小碼距某種編碼中

10、各個(gè)碼組間距離的最小值稱為最小碼距(d0)。（1） e +1 d0，即碼的檢錯(cuò)能力e比最小碼距d0小1位；（2）2t+1 d0，即碼的糾錯(cuò)能力t的2倍比最小碼距d0小1位；（3） e +t+1 d0 ，即若碼同時(shí)糾t個(gè)錯(cuò)并檢出e個(gè)錯(cuò)誤，則e +t比最小碼距d0小1位。n、最小碼距決定檢錯(cuò)糾錯(cuò)n若記： d0 最小碼距； e檢錯(cuò)位數(shù)； t糾錯(cuò)位數(shù)；則有：（1） e +1 d0（2） 2t +1 d0（3） t +e+1 d0三、差錯(cuò)控制編碼的效用n 假設(shè):發(fā)送“0”的錯(cuò)誤概率和發(fā)送“1”的錯(cuò)誤概率相等，都等于P，且P1，則在碼長(zhǎng)為n的碼組中恰好發(fā)生r個(gè)錯(cuò)碼的概率為rrnrrnnprnrnpprPC

11、)!( !)1 ()(例如，當(dāng)碼長(zhǎng)n7時(shí)，p=10-3則有P7(1) 7p= 710-3 ；P7(2) 21p2=2.110-5 ； P7(3) 35p3=3.510-8。可見(jiàn)，采用差錯(cuò)控制編碼，即使僅能糾正(或檢測(cè))這種碼組中12個(gè)錯(cuò)誤，也可以使誤碼率下降幾個(gè)數(shù)量級(jí)。這就表明，即使是較簡(jiǎn)單的差錯(cuò)控制編碼也具有較大實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。例如，當(dāng)碼長(zhǎng)n7時(shí)，p=10-3則有P7(1) 7p= 710-3 ；P7(2) 21p2=2.110-5 ； P7(3) 35p3=3.510-8。編碼效率用差錯(cuò)控制編碼提高通信系統(tǒng)的可靠性， 是以降低有效性為代價(jià)換來(lái)的。我們定義編碼效率R來(lái)衡量有效性:R=k/n其中

12、, k是信息元的個(gè)數(shù)，n為碼長(zhǎng)。對(duì)糾錯(cuò)碼的基本要求是: 檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力盡量強(qiáng)； 編碼效率盡量高；編碼規(guī)律盡量簡(jiǎn)單。實(shí)際中要根據(jù)具體指標(biāo)要求，保證有一定糾、檢錯(cuò)能力和編碼效率，并且易于實(shí)現(xiàn)。 .奇偶監(jiān)督碼n如果以上關(guān)系被破壞，則出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此能檢查出奇數(shù)個(gè)錯(cuò)誤，但不能檢測(cè)偶數(shù)個(gè)錯(cuò)誤。最小碼距為 dmin=212100nnaaaa12101nnaaaa01221 aaaaann信息位監(jiān)督位 11. 3 常用的簡(jiǎn)單編碼偶監(jiān)督奇監(jiān)督如：信息碼為如：信息碼為10010101，則奇校驗(yàn)碼為則奇校驗(yàn)碼為10010101 1 偶校驗(yàn)碼為偶校驗(yàn)碼為10010101 02二維奇偶監(jiān)督碼又稱方陣碼。每一行是奇偶監(jiān)督

13、碼的一個(gè)碼組，若干碼組再按列排列成矩陣，每列增加一位監(jiān)督位。圖 7-2 (66,50)行列監(jiān)督碼 110010100000100001101001111000011100111000001010101010111000111100n二維奇偶監(jiān)督碼特點(diǎn)：可檢測(cè)奇數(shù)個(gè)錯(cuò)誤適于檢測(cè)突發(fā)錯(cuò)碼。不僅可檢錯(cuò)，還可糾一些錯(cuò)。檢錯(cuò)能力強(qiáng)。n3恒比碼每個(gè)碼組均含有相同數(shù)目的“1”(和“0”)。n應(yīng)用：電傳機(jī)傳輸漢字，每個(gè)漢字用4位阿拉伯?dāng)?shù)字表示。每個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字又用5位二進(jìn)制符號(hào)構(gòu)成的碼組表示。每個(gè)碼組的長(zhǎng)度為5位，其中恒有3個(gè)1，稱為5中取3恒比碼?？赡芫幊傻牟煌a組數(shù)等于從5中取3組合數(shù)30。30種許用碼組恰

14、好可用來(lái)表示10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字。表表9-3 39-3 3：2 2的恒比碼的恒比碼數(shù)數(shù)字字碼字碼字?jǐn)?shù)數(shù)字字碼字碼字00 1 l 0 l50 0 1 l l10 1 0 l l61 0 1 0 l2l l 0 0 171 1 1 0 031 0 l 1 080 1 l 1 041 1 0 1 091 0 0 1 111.3 線性分組碼一、基本概念 代數(shù)碼 利用代數(shù)關(guān)系式產(chǎn)生監(jiān)督位的編碼 線性分組碼 代數(shù)碼的一種，其監(jiān)督位和信息位的關(guān)系由線性代數(shù)方程決定 漢明碼 一種能夠糾正一個(gè)錯(cuò)碼的線性分組碼 校正子：在偶數(shù)監(jiān)督碼中，計(jì)算實(shí)際上就是計(jì)算 并檢驗(yàn)S是否等于0。S稱為校正子。 監(jiān)督關(guān)系式：0021aaa

15、nn021aaaSnn021aaaSnn 糾錯(cuò)基本原理 中，S只有兩種取值，故只能表示有錯(cuò)和無(wú)錯(cuò)，而不能進(jìn)一步指明錯(cuò)碼的位置。 若此碼組長(zhǎng)度增加一位，則能增加一個(gè)監(jiān)督關(guān)系式。這樣，就能得到兩個(gè)校正子。兩個(gè)校正子的可能取值有4種組合，即00，01，10，11，故能表示4種不同的信息。若用其中一種組合表示無(wú)錯(cuò)碼，則還有其他3種組合可以用于指明一個(gè)錯(cuò)碼的3種不同位置。 從而可以有糾錯(cuò)能力。 一般而言，若有 r 個(gè)監(jiān)督關(guān)系式，則 r 個(gè)校正子可以指明一個(gè)錯(cuò)碼的 (2r 1) 個(gè)不同位置。 當(dāng)校正子可以指明的錯(cuò)碼位置數(shù)目等于或大于碼組長(zhǎng)度n時(shí)，才能夠糾正碼組中任何一個(gè)位置上的錯(cuò)碼，即要求1212rknr

16、r或021aaaSnn 漢明碼的設(shè)計(jì)原理漢明碼的設(shè)計(jì)原理 .例：要求設(shè)計(jì)一個(gè)能夠糾正1個(gè)錯(cuò)碼的分組碼(n, k)，給定的碼組中有4個(gè)信息位，即k = 4。S1 S2 S3錯(cuò)碼位錯(cuò)碼位置置S1 S2 S3錯(cuò)碼位錯(cuò)碼位置置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000無(wú)錯(cuò)碼無(wú)錯(cuò)碼2121rrnkr由或16542310(0)(0)(0)aaaSaaaa13562aaaaS03463aaaaS用a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0表示這7個(gè)碼元，S1 S2 S3表示校正子，則這3個(gè)校正子恰好能夠指明23 1 = 7個(gè)錯(cuò)碼的位置。若規(guī)定校正子和錯(cuò)碼位置的關(guān)系如下表：這時(shí)

17、要求監(jiān)督位數(shù)r 3。若取r = 3，則n = k + r = 7。則僅當(dāng)在a6 a5 a4 a2位置上有錯(cuò)碼時(shí)，校正子S1的值才等于1； 否則S1的值為零。這就意味著a6 a5 a4 a2四個(gè)碼元構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系116542Saaaa111346035614562aaaaaaaaaaaa信息位信息位a6 a5 a4 a3監(jiān)督位監(jiān)督位a2 a1 a0信息位信息位a6 a5 a4 a3監(jiān)督位監(jiān)督位a2 a1 a00000000100011100010111001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110011111

18、010001110001111111在編碼時(shí)，信息位a6 a5 a4 a3的值決定于輸入信號(hào),它們是隨機(jī)的.監(jiān)督位a2 a1 a0是按監(jiān)督關(guān)系確定的，應(yīng)該保證上列3式中的校正子等于0，即有給定信息位后，為了計(jì)算監(jiān)督位，上式可以改寫(xiě)為24561aaaaS13562aaaaS03463aaaaS265465136430aaaaaaaaaaaa =0 =0 =024561aaaaS13562aaaaS03463aaaaSS1 S2 S3錯(cuò)碼位置錯(cuò)碼位置001a0010a1100a2011a3101a4110a5111a6000無(wú)錯(cuò)碼無(wú)錯(cuò)碼在接收端解碼時(shí)，對(duì)于每個(gè)接收碼組，先按式計(jì)算出S1，S2和S3

19、，然后按照表判斷錯(cuò)碼的位置例：若接收碼組為0000011，則按上三式計(jì)算得到：S1 = 0，S2 = 1，S3 = 1。這樣，由上表可知，錯(cuò)碼位置在a3.10 ed120 td1212rrrnk由于漢明碼是(7, 4)碼，其最小碼距d0 = 3由式漢明碼的碼率：可知，此碼能夠檢測(cè)，或或000034613562456aaaaaaaaaaaa010011010010101100010111012345601234560123456aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa可以改寫(xiě)為已經(jīng)將“”簡(jiǎn)寫(xiě)成“+”（模2加）0001011001110101011101000123456aaaaaaa1 1、監(jiān)

20、督矩陣、監(jiān)督矩陣上式可以寫(xiě)成矩陣形式：HAT = 0T或AHT = 0將上式簡(jiǎn)寫(xiě)為101100111010101110100HA = a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 = 000稱為監(jiān)督矩陣rPIH001101101011011001110式中，P 為r k階矩陣，Ir為 r r 階單位方陣。典型監(jiān)督矩陣H 矩陣的各行應(yīng)該是線性無(wú)關(guān)的，否則將得不到 r 個(gè)線性無(wú)關(guān)的監(jiān)督關(guān)系式。若一個(gè)矩陣能寫(xiě)成典型陣形式 P Ir ，則其各行一定是線性無(wú)關(guān)的。監(jiān)督矩陣H確定碼組中的信息位和監(jiān)督位的關(guān)系。H 的行數(shù)就是監(jiān)督關(guān)系式的數(shù)目，即監(jiān)督位數(shù) r 。H 的每行中“1”的位置表示相應(yīng)的碼元參與監(jiān)督關(guān)

21、系。 H 可以分成兩部分，例如3456012101111011110aaaaaaa346035614562aaaaaaaaaaaaQ34563456012011101110111aaaaaaaaaaa2、生成矩陣可以寫(xiě)為上式兩端分別轉(zhuǎn)置后，可以變成式中，Q為k r 階矩陣，是是P的轉(zhuǎn)置，即的轉(zhuǎn)置，即 將將Q的左邊加上一個(gè)的左邊加上一個(gè)k階單位階單位方陣，稱為生成矩陣方陣，稱為生成矩陣0110001101001011001001111000QGkI IG34560123456aaaaaaaaaaaAG稱為生成矩陣，因?yàn)榭梢杂盟a(chǎn)生整個(gè)碼組A，即有 具有IkQ形式的生成矩陣稱為典型生成矩陣典型生成

22、矩陣。 由典型生成矩陣得出的碼組A中，信息位的位置不變，監(jiān)督位附加于其后。這種形式的碼組稱為系統(tǒng)碼系統(tǒng)碼。 矩陣G的各行也必須是線性無(wú)關(guān)的。 如果已有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的碼組，則可以將其用來(lái)作為生成矩陣G，并由它生成其余碼組。0110001101001011001001111000QGkI I 錯(cuò)誤圖樣設(shè)：發(fā)送碼組A是一個(gè)n列的行矩陣：接收碼組是一個(gè)n列的行矩陣B： 令接收碼組和發(fā)送碼組之差為E就是錯(cuò)碼的行矩陣 稱為 式中， (i = 0, 1, , n-1)若ei = 0，表示該碼元未錯(cuò)；若ei = 1，表示該碼元為錯(cuò)碼。 0121aaaaAnn0121bbbbBnnB A = E (模2)012

23、1eeeeEnniiiiiababe當(dāng)當(dāng), 1, 0n3、校正子矩陣 B A = E 可以改寫(xiě)成 B = A + E上式表示發(fā)送碼組A與錯(cuò)碼矩陣E之和等于接收碼組B。 例如， 若發(fā)送碼組A = 1 0 0 0 1 1 1， 錯(cuò)碼矩陣E = 0 0 0 0 1 0 0， 則 接收碼組B = 1 0 0 0 0 1 1。 在接收端解碼時(shí)，將接收碼組B代入式AHT = 0中A的位置進(jìn)行計(jì)算。若接收碼組中無(wú)錯(cuò)碼，則B = A。代入后，該式仍成立，即有BH T = 0只有當(dāng)錯(cuò)碼未超出檢測(cè)能力時(shí)，上式才不成立。 假設(shè)，這時(shí)該式的右端等于S，即有BH T = S將B = A + E 代入上式，得到:S =

24、(A + E) H T = AH T + EH TS = (A + E) H T = AH T + EH T上式右端第一項(xiàng)等于0，所以 S = EH T 校正子矩陣當(dāng)H 確定后，上式中S只與E 有關(guān)，而與A 無(wú)關(guān)。 這意味著，S 和錯(cuò)碼E 之間有確定的線性變換關(guān)系。 若S 和E 有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則S 將能代表錯(cuò)碼位置。 線性碼的封閉性：若A1和A2是一種線性碼中的兩個(gè)碼組，則(A1+A2)仍是其中一個(gè)碼組。 證若A1和A2是兩個(gè)碼組，則有：A1HT = 0, A2HT = 0 將上兩式相加，得出A1HT + A2HT = (A1 + A2 ) HT = 0 所以(A1 + A2)也是一個(gè)碼組。

25、 由于線性碼具有封閉性，所以兩個(gè)碼組(A1和A2)之間的距離（即對(duì)應(yīng)位不同的數(shù)目）必定是另一個(gè)碼組(A1 + A2)的重量（即“1”的數(shù)目）。因此，碼的最小距離就是碼的最小重量（除全“0”碼組外）。11.5 循環(huán)碼11.5.1 循環(huán)碼的概念：循環(huán)性指任一碼組循環(huán)一位后仍然是該編碼中的一個(gè)碼組 例：一種(7, 3)循環(huán)碼的全部碼組如下 表中第2碼組向右移一位即得到第5碼組；第5碼組向右移一位即得到第7碼組。 碼組編碼組編號(hào)號(hào)信息位信息位 監(jiān)督位監(jiān)督位 碼組編碼組編號(hào)號(hào)信息位信息位 監(jiān)督位監(jiān)督位A6a5a4a3a2a1a0a6a5a4A3a2a1a0100000005100101120010111

26、6101110030101110711001014011100181110010n一般情況n若(an-1 an-2 a0)是循環(huán)碼的一個(gè)碼組，則循環(huán)移位后的碼組：012211)(axaxaxaxTnnnn11010011)(25623456xxxxxxxxxxT多項(xiàng)式表示法一個(gè)長(zhǎng)度為n的碼組(an-1 an-2 a0)可以表示成上式中x 的值沒(méi)有任何意義，僅用它的冪代表碼元的位置。例：碼組1 1 0 0 1 0 1可以表示為n(an-2 an-3 a0 an-1)n(an-3 an-4 an-1 an-2)n n (a0 an-1 a2 a1)11.5.2 循環(huán)碼的運(yùn)算n 整數(shù)的按模運(yùn)算在整數(shù)

27、運(yùn)算中，有模n運(yùn)算。例如，在模2運(yùn)算中，1 + 1 = 2 0 (模2)，1 + 2 = 3 1 (模2)， 2 3 = 6 0 (模2) 等等。 一般說(shuō)來(lái)，若一個(gè)整數(shù)m可以表示為式中，Q為整數(shù)，則在模n運(yùn)算下，有m p (模n)所以,在模n運(yùn)算下,一個(gè)整數(shù)m等于它被n除得的余數(shù)npnpQnm,)()()()(xRxQxNxF）（模)()()(xNxRxF）（模) 1(133xx）（模) 1(113224xxxxx碼多項(xiàng)式的按模運(yùn)算若任意一個(gè)多項(xiàng)式F(x)被一個(gè)n次多項(xiàng)式N(x)除，得到商式Q(x)和一個(gè)次數(shù)小于n的余式R(x)，即則在按模N(x)運(yùn)算下，有這時(shí)，碼多項(xiàng)式系數(shù)仍按模2運(yùn)算。例1

28、：x3被(x3 + 1)除，得到余項(xiàng)1，即例2：x4 +x2 + 1X4 + xx2 +x +1x3 + 1x在模2運(yùn)算中加法和減法一樣。n 循環(huán)碼的數(shù)學(xué)表示法 在循環(huán)碼中，設(shè)T(x)是一個(gè)長(zhǎng)度為n的碼組，若則T (x)也是該編碼中的一個(gè)碼組。 證 設(shè)一循環(huán)碼為 則有上式中的T (x) 正是碼組T (x)向左循環(huán)移位 i 次的結(jié)果例： 一循環(huán)碼為1100101，即若給定 i = 3，則 上式對(duì)應(yīng)的碼組為0101110，它正是T(x)向左移3位的結(jié)果。結(jié)論：一個(gè)長(zhǎng)為n的循環(huán)碼必定為按模(xn + 1)運(yùn)算的一個(gè)余式。 ）（模) 1()()(nixxTxTx012211)(axaxaxaxTnnn

29、n)()(1102211011112211xTaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxTxininininniniinininninni1)(256xxxxT）（模) 1()(723535893xxxxxxxxxxTx 循環(huán)碼的生成 有了生成矩陣G，就可以由k個(gè)信息位得出整個(gè)碼組：例：式中，生成矩陣G的每一行都是一個(gè)碼組。 因此，若能找到 k 個(gè)已知的碼組，就能構(gòu)成矩陣G。如前所述，這k個(gè)已知碼組必須是線性不相關(guān)的。 在循環(huán)碼中，一個(gè)(n, k)碼有2k個(gè)不同的碼組。若用g(x)表示其中前(k-1)位皆為“0”的碼組，則g(x)，x g(x)，x2 g(x)，xk-1 g(x)都是碼組，而且這

30、k個(gè)碼組是線性無(wú)關(guān)的。因此它們可以用來(lái)構(gòu)成此循環(huán)碼的生成矩陣G。G34560123456aaaaaaaaaaaA0110001101001011001001111000QGkI I 在循環(huán)碼中除全“0”碼組外，再?zèng)]有連續(xù)k位均為“0”的碼組。否則，在經(jīng)過(guò)若干次循環(huán)移位后將得到k位信息位全為“0”，但監(jiān)督位不全為“0”的一個(gè)碼組。這在線性碼中顯然是不可能的。 因此，g(x)必須是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)不為“0”的(n - k)次多項(xiàng)式，而且這個(gè)g(x)還是這種(n, k)碼中次數(shù)為(n k)的唯一一個(gè)多項(xiàng)式。因?yàn)槿绻袃蓚€(gè)，則由碼的封閉性，把這兩個(gè)相加也應(yīng)該是一個(gè)碼組，且此碼組多項(xiàng)式的次數(shù)將小于(n k)，

31、即連續(xù)“0”的個(gè)數(shù)多于(k 1)。顯然，這是與前面的結(jié)論矛盾的。 我們稱這唯一的(n k)次多項(xiàng)式g(x)為碼的生成多項(xiàng)式。一旦確定了g(x)，則整個(gè)(n, k)循環(huán)碼就被確定了。)()()()()(21xgxxgxgxxgxxkkG碼組編碼組編號(hào)號(hào)信息位信息位監(jiān)督位監(jiān)督位碼組編碼組編號(hào)號(hào)信息位信息位監(jiān)督位監(jiān)督位A6a5a4a3a2a1a0a6a5a4A3a2a1a01000000051001011200101116101110030101110711001014011100181110010因此，循環(huán)碼的生成矩陣G可以寫(xiě)成例：上表中的編碼為(7, 3)循環(huán)碼，n = 7, k = 3, n

32、k = 4，其中唯一的一個(gè)(n k) = 4次碼多項(xiàng)式代表的碼組是第二碼組0010111，與它對(duì)應(yīng)的碼多項(xiàng)式，即生成多項(xiàng)式，為g(x) = x4 + x2 + x + 1。g(x) = x4 + x2 + x + 1 即 “1 0 1 1 1”將此g(x)代入上矩陣，得到 或上式不符合G = IkQ形式，所以它不是典型生成矩陣。但它經(jīng)過(guò)線性變換后，不難化成典型陣。此循環(huán)碼組的多項(xiàng)式表示式T(x)： 上式表明，所有碼多項(xiàng)式T(x)都能夠被g(x)整除，而且任意一個(gè)次數(shù)不大于(k 1)的多項(xiàng)式乘g(x)都是碼多項(xiàng)式。 )()()()(2xgxxgxgxxG001011101011101011100

33、)(xG)()()()()()()()()()(452645262456456xgaxaxaxgaxxgaxgxaxgxxgxgxaaaxaaaxTG 尋求碼生成多項(xiàng)式 因?yàn)槿我庖粋€(gè)循環(huán)碼T(x)都是g(x)的倍式，故它可以寫(xiě)成T(x) = h(x)g(x)而生成多項(xiàng)式g(x)本身也是一個(gè)碼組，即有 T (x) = g(x)由于碼組T (x)是一個(gè)(n k)次多項(xiàng)式，故xk T (x)是一個(gè)n次多項(xiàng)式。由可知，xk T (x)在模(xn + 1)運(yùn)算下也是一個(gè)碼組，所以有上式左端分子和分母都是n次多項(xiàng)式，故相除的商式Q(x) = 1。因此，上式可以寫(xiě)成）（模) 1()()(nixxTxTx1)

34、()(1)(nnkxxTxQxxTx)() 1()(xTxxTxnk將 T(x) = h(x)g(x) 和 T (x) = g(x) 代入化簡(jiǎn)后，得到上式表明，生成多項(xiàng)式g(x)應(yīng)該是(xn + 1)的一個(gè)因子。例：(x7 + 1)可以分解為為了求出(7, 3)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式 g(x)，需要從上式中找到一個(gè)(n k) = 4次的因子。這樣的因子有兩個(gè)，即以上兩式都可以作為生成多項(xiàng)式。 選用的生成多項(xiàng)式不同，產(chǎn)生出的循環(huán)碼碼組也不同。 )() 1()(xTxxTxnk)()(1xhxxgxkn) 1)(1)(1(13237xxxxxx1) 1)(1(2423xxxxxx1) 1)(1(234

35、3xxxxxx11.6.3 循環(huán)碼的編碼方法用xn-k乘m(x)。這一運(yùn)算實(shí)際上是在信息碼后附加上(n k)個(gè)“0”。例如，信息碼為110，它寫(xiě)成多項(xiàng)式為m(x) = x2 + x。當(dāng)n k = 7 3 =4時(shí)，xn-k m(x) = x4 (x2 +x) = x6 +x5，它表示碼組1100000。用g(x)除xn-k m(x)，得到商Q(x)和余式r(x)，即有例：若選定g(x) = x4 + x2 + x + 1，則有 上式是用碼多項(xiàng)式表示的運(yùn)算。它和下式等效：編出的碼組T(x)為：T(x) = xn-k m(x) +r(x)在上例中，T(x) = 1100000 + 101 = 110

36、0101 )()()()()(xgxrxQxgxmxkn11) 1(1)()(24222456xxxxxxxxxxxxgxmxkn10111101111101111100000 11.6.4 循環(huán)碼的解碼方法 在檢錯(cuò)時(shí)：當(dāng)接收碼組沒(méi)有錯(cuò)碼時(shí)，接收碼組R(x)必定能被g(x)整除，即下式中余項(xiàng)r(x)應(yīng)為零；否則，有誤碼。當(dāng)接收碼組中的錯(cuò)碼數(shù)量過(guò)多，超出了編碼的檢錯(cuò)能力時(shí)，有錯(cuò)碼的接收碼組也可能被g(x)整除。這時(shí)，錯(cuò)碼就不能檢出了。 在糾錯(cuò)時(shí)：用生成多項(xiàng)式g(x)除接收碼組R(x)，得出余式r(x)。按照余式r(x)，用查表的方法或計(jì)算方法得出錯(cuò)誤圖樣E(x)。從R(x)中減去E(x)，便得到

37、已經(jīng)糾正錯(cuò)碼的原發(fā)送碼組T(x)。)(/)()()(/)(xgxrxQxgxR硬件實(shí)現(xiàn)固定除式的多項(xiàng)式除法abcd信息碼元輸入移存器反饋輸出mabcddf0000001111011110011101010100010100000101100001000000011校驗(yàn)碼元11.5.3 縮短循環(huán)碼通過(guò)縮短循環(huán)碼，可以滿足系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，碼長(zhǎng)、信息位和糾錯(cuò)能力的不同要求。對(duì)于(n,k)循環(huán)碼，使前i(0ik)個(gè)信息位為零可得到有2k-i個(gè)碼組的集合，然后從這些碼組中刪去這i個(gè)零信息位，得到一種新的(r-i，k-i)的線性碼，稱為縮短循環(huán)碼?？s短循環(huán)碼與產(chǎn)生該碼的原循環(huán)碼至少具有相同的糾錯(cuò)能力?？s短循環(huán)

38、碼的編碼和譯碼可用原循環(huán)碼使用的電路完成。n例：若要求構(gòu)造一個(gè)能夠糾正一位錯(cuò)誤的(13，9)碼，則可以由(15，11)漢明碼選出前面兩個(gè)信息位均為零的碼組。然后在發(fā)送時(shí)，這兩個(gè)零信息不發(fā)送，即發(fā)送的是(13，9)縮短循環(huán)碼。n因校驗(yàn)位數(shù)相同，(13，9)碼與(15，11)循環(huán)碼具有相同的糾錯(cuò)能力。11.5.4 BCH碼BCH碼是一類糾正多個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤的特殊的循環(huán)碼。特點(diǎn)是可以根據(jù)給定的糾錯(cuò)能力，找出生成多項(xiàng)式。 BCH碼分兩類：本原BCH碼和非本原BCH碼。本原BCH碼的碼長(zhǎng)為n=2m-1(M 3)，生成多項(xiàng)式g(x)中含有最高次數(shù)為m次的本原多項(xiàng)式；非本原BCH碼的碼長(zhǎng)n是2m-1的一個(gè)因子，

39、它的生成多項(xiàng)式中不含有最高次數(shù)為m的本原多項(xiàng)式。n對(duì)于正整數(shù)m(M3)和t(t 2)必存在有下列參數(shù)的二進(jìn)制BCH碼：碼長(zhǎng)n=2m-1，監(jiān)督位數(shù)rmt，能糾正所有的小于或等于t個(gè)隨機(jī)錯(cuò)誤的BCH碼。nBCH碼生成多項(xiàng)式 g(x)=LCMm1(x)，m2(x)， m2t-1(x)式中t可糾正的錯(cuò)誤個(gè)數(shù)；mi(x)最小多項(xiàng)式;LCM( )指取括號(hào)內(nèi)所有多項(xiàng)式的最小公倍式.n查表法得到生成多項(xiàng)式，用八進(jìn)制數(shù)表示。n例如當(dāng)n=7,k=4,t=1 g=(13)8意指 g=(001011)2 g(x)=x3+x+1 n=3 kt g(x)117 n=7kt g(x)41131377表98（部分）nR-S碼

40、是一類具有很強(qiáng)糾措能力的多進(jìn)制BCH碼。n伽羅華域(即有限域) ：對(duì)于有限個(gè)符號(hào)，若符號(hào)的數(shù)目是一素?cái)?shù)的冪，可以定義有加法和乘法，則構(gòu)成符號(hào)域?yàn)橛邢抻?；若它?m個(gè)符號(hào)的域則稱之為伽羅華域GF(2m) .n例如，兩個(gè)符號(hào)0、1，定義有模2加法和模2乘法，即 0+0=0，0+1=1，1+1=0； 00=0，01=1，111，則稱之為二元域，也是伽羅華域。11.5.5 里德-索羅門(mén)碼（R-S碼）n從兩個(gè)符號(hào)0和1及一個(gè)m次多項(xiàng)式p(x)開(kāi)始，并引入一個(gè)新符號(hào) ，設(shè)p()=0。若適當(dāng)?shù)剡x擇p(x)就可得到的各次冪，一直到2m-2次冪，都不相同，并且m-1 =1。這樣一來(lái)， 構(gòu)成GF(2m)的所有元素

41、。域中每個(gè)非零元素還可以用上面元素的和來(lái)表示。例如，m=4和p(x)=x4+x+1，則2242, 1 , 0mn得到GF(24)的所有元素，詳見(jiàn)表9-10。01 2 3 4= +1 5= (+1)=2+ 6=(2+)= 3+2 7=(3+ 2)= 3+2 = 3+1 8=(3+1)= 4+2 +1=2 +1 9=(2 +1)= 3+ 10=(3+)= 2 +1 11=(2 +1)= 3+ 2 + 12= (3+ 2 +)= 3+ 2 +1 13= (3+ 2 +1)= 3+ 2+1R-S碼是q進(jìn)制BCH碼的子類。具有如下的參數(shù)：碼長(zhǎng)：n=q-1符號(hào)監(jiān)督位數(shù)： r=2t符號(hào)糾錯(cuò)位數(shù)： t 符號(hào)生

42、成多項(xiàng)式：每個(gè)碼元都是q進(jìn)制的，通常令q=2m，則每個(gè)q進(jìn)制碼元都可以表示為m位二進(jìn)制碼元，于是碼長(zhǎng)mn位，監(jiān)督位數(shù)mr位，信息位數(shù)： mn- mr位。)()()(22txxxxgR-S碼應(yīng)用：n由于采用多進(jìn)制，所以對(duì)于多進(jìn)制調(diào)制是自然和方便的編碼手段;n因?yàn)镽S碼能夠糾正t個(gè)q位二進(jìn)制碼，即對(duì)以糾t個(gè)連續(xù)的突發(fā)性二進(jìn)制錯(cuò)誤,所以適合衰落信道應(yīng)用;nRS碼可應(yīng)用在計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)系統(tǒng)中以克服系統(tǒng)的差錯(cuò)。n卷積編碼則把k比特信息段編成n比特的碼組，但所編的n長(zhǎng)碼組不僅同當(dāng)前的k比特信息段有關(guān)聯(lián)，而且還同前面的(N-1)個(gè)信息段有關(guān)聯(lián)，人們常稱這N為該卷積碼的約束長(zhǎng)度。n一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于卷積碼，k和n是較

43、小的整數(shù), 常把卷積碼記作(n,k,N)卷積碼，它的編碼效率為R=k/n。 9. 6 卷積碼1161 卷積碼的圖形描述n(3,1,3)卷積碼編碼器n編碼器的輸入和輸出樹(shù)狀圖狀態(tài)圖狀態(tài)圖網(wǎng)格圖網(wǎng)格圖特點(diǎn)： 有2N-1種狀態(tài)；對(duì)于k個(gè)輸入信息比特，相應(yīng)出現(xiàn)有2k條支路；碼樹(shù)中的上支路用實(shí)線表示，下支路用虛線表示：支路上標(biāo)注的碼元為輸出比特；從第N個(gè)節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，圖形開(kāi)始重復(fù)，且完全相同。n 例9-1 (3,1,3)編碼器，起始狀態(tài)為a，輸入序列為1101011，求輸出序列和相應(yīng)狀態(tài)變化路徑。n解：由卷積碼的網(wǎng)格圖，可找出編碼時(shí)網(wǎng)格圖中的編碼路徑如圖913所示，由此即可得到輸出序列。為11.6.2 卷積

44、碼的解析描述1生成矩陣卷積碼是一種線性碼。一個(gè)線性碼完全由一個(gè)監(jiān)督矩陣H或生成矩陣G所確定。生成矩陣G 輸入第一個(gè)信息比特m1時(shí)，y1,1=m1； y21=m1 ；y31=m1。 輸入第二個(gè)信息比特m2時(shí)，y1,2=m2； y22=m2 ；y32= m1 + m2。輸入第j個(gè)信息比特mj時(shí)， y1j=mj； y2j=mj +mj-2 ； y3j= mj +mj-1+mj-2上式可寫(xiě)成矩陣形式 mj +mj-1+mj-2 A = y1j y2j y3jn其中生成矩陣為n在過(guò)渡時(shí)刻 m1 0 0 T1 = y11 y21 y31 m1 m2 0 T2 = y12 y22 y32其中11110011

45、0A0000001111Tn輸出矩陣與輸入矩陣的關(guān)系有 Y=MG0001111002TAAAATTG00000021 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 上面矩陣空白處均為0元素。該生成矩陣是半無(wú)限矩陣。2 . 多項(xiàng)式描述例如：輸入序列1101110 可表示為 m(x)=1+x+x3+x4+x5+連接關(guān)系表示為 g1(x)=1 g2(x)= 1+x2 g3(x)= 1+x+x2編碼輸出為 y1(x)=m(x)g1(x)= 1+x

46、+x3+x4+x5+ y2(x)=m(x)g2(x)=(1+x+x3+x4+x5+)(1+x2)=1+x+x3+x4+x5+ +x2+x3+x5+x7+ = 1+x +x2 +x4 +x7 y3(x)= (1+x+x3+x4+x5+)(1+x+x2)= 1+x+x3+x4+x5+ x+x2+x4+x5+x6+ x2+x3+x5+x6+ x7+ =1+ x5 + x7+ 對(duì)應(yīng)的序列為 y1=1 1 0 1 1 1 0 0； y2=1 1 1 0 1 0 0 1 y3=1 0 0 0 0 1 0 1 n總的輸出序列為 Y=y11,y21,y31,y12,y22,y32, = 1 1 1, 1 1

47、0, 0 1 0, 1 0 0, 1 1 0, 1 0 1, 0 0 0, 0 1 1, 結(jié)果與網(wǎng)格圖是一樣的。 卷積碼編碼器的一般結(jié)構(gòu)11.6.3 卷積碼譯碼卷積碼的譯碼方法有兩類：一類是大數(shù)邏輯譯碼，又稱門(mén)限譯碼：另一類是概率譯碼。概率譯碼又分為維特比譯碼和序列譯碼兩種。門(mén)限譯碼方法是以分組碼理論為基礎(chǔ)的其譯碼設(shè)備簡(jiǎn)單，速度快，但其誤碼性能要比概率譯碼法差。下面只介紹維特比譯碼。11.6.3維特比譯碼維特比譯碼算法，簡(jiǎn)稱VB算法。維特比(viterbi)譯碼和序列譯碼都屬于概率譯碼。當(dāng)卷積碼的約束長(zhǎng)度不太大時(shí)，與序列譯碼相比，維持比譯碼器比較簡(jiǎn)單，計(jì)算速度更快。VB算法在前向糾錯(cuò)系統(tǒng)中用得

48、較多，在衛(wèi)星通信中已被采用作為標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)。n概率譯碼的基本想法是：把已接收序列與所有可能的發(fā)送序列做比較，選擇其中碼距最小的一個(gè)序列作為發(fā)送序列。n如果發(fā)送L組信息比特，對(duì)于(n,k)卷積碼來(lái)說(shuō)，可能發(fā)送的序列有2kL個(gè)，計(jì)算機(jī)或譯碼器需存儲(chǔ)這些序列并進(jìn)行比較，以找到碼距最小的那個(gè)序列。當(dāng)傳信率和信息組數(shù)人較大時(shí)，使得澤碼器難以實(shí)現(xiàn)。VB算法則對(duì)上述概率譯碼(又稱最大似然譯碼)做了簡(jiǎn)化，使其成為一種實(shí)用的譯碼算法。它并不是在網(wǎng)格圖上一次比較所有可能的2kL條路徑(序列)，而是接收一段，計(jì)算和比較一段，選擇一段有最大似然可能的碼段。從而達(dá)到整個(gè)碼序列是一個(gè)有最大似然值的序列。以下以（2,1,3)卷

49、積碼為例說(shuō)明：設(shè)輸入信息數(shù)目L=5，所以畫(huà)有L+N=8個(gè)時(shí)間單位。編碼器從a狀態(tài)開(kāi)始工作。該網(wǎng)格圖的每一條路徑都對(duì)應(yīng)著不同的輸入信息序列。由于所有的可能輸入信息序列共有2kL=32個(gè).n設(shè)輸入編碼器的信息序列為(11011000)，則由編碼器輸出的序列 y(1101000010,11100)，編碼器的狀態(tài)轉(zhuǎn)移路線為abdcbdca。n若收到的序列為R=0101011001011100，對(duì)照網(wǎng)格圖來(lái)說(shuō)明維特比譯碼的方法。n前3步輸入R=010101；根據(jù)不同輸入信息，編碼器的輸出序列以及它們與接收序列的距離見(jiàn)下表R=010101信息編碼路徑距離000000000 aaaa3001000011 a

50、aab3010001110 aabc4011001101 aabd2100111011 abca4101111000 abcb4110110101 abdc1111110110 abdd3前3步對(duì)應(yīng)網(wǎng)格圖幸存路徑，如下頁(yè)對(duì)應(yīng)4條幸存路徑的序列分別為： a-a-a-a000000 a-a-a-b000011 a-b-d-c110101 a-a-b-d001101.到第5步的幸存路徑和對(duì)應(yīng)的序列分別為： a-a-b-d-d-c001101 1001. a-b-d-c-a-a110101 1100 a-b-d-c-a-b110101 1111 a-b-d-c-b-d110101 1101到第8步的幸存路徑和對(duì)應(yīng)的序列分別為： a-b-d-c-b-d-c-a-a 11 01 01, 00 01 01 11 00對(duì)應(yīng)信息1 1 0 1 1 0 0 0與發(fā)送信息相同。對(duì)比接收0*1 01 01 1*0 01 01 11 00糾正了兩個(gè)錯(cuò)誤?？偨Y(jié)與復(fù)習(xí)第一章第一章 緒