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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)列專題3一、裂項求和法裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的. 通項分解(裂項)如:通項為分式結(jié)構(gòu),分母為兩項相乘,型如:, 是的等差數(shù)列。常用裂項形式有: ;特別地:二、用放縮法證明數(shù)列中的不等式將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的方法,叫放縮法。1.常見的數(shù)列不等式大多與數(shù)列求和或求積有關(guān),其基本結(jié)構(gòu)形式有如下4種:(為常數(shù));(為常數(shù)).放縮目標模型可求和(積)等差模型、等比模型、裂項相消模型2.幾種常見的放縮方法 (1)添加或舍去一些項,如:;(2)將分子或分母放大(或縮小) ; (程度大)(程度?。?/p>
2、或平方型:;立方型:指數(shù)型: ;利用基本不等式,如:(一)放縮目標模型可求和等比數(shù)列或等差數(shù)列例如:(1)求證:.(2)求證:.(3)求證:.總結(jié):放縮法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式,若可直接求和,就先求和再放縮;若不能直接求和的,一般要先將通項放縮后再求和. 問題是將通項放縮為可以求和且“不大不小”的什么樣的才行呢?其實,能求和的常見數(shù)列模型并不多,主要有等差模型、等比模型、錯位相減模型、裂項相消模型等. 實際問題中,大多是等比模型或裂項相消模型. (1)先求和再放縮例1.設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足4Snan124n1,nN*,且a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列(1)證明:;
3、(2)求數(shù)列an的通項公式;(3)證明:對一切正整數(shù)n,有.(2)先放縮再求和例如:求證:. 例如:函數(shù),求證:.例2.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列(1)求a1的值;(2)求數(shù)列an的通項公式;(3)證明:對一切正整數(shù)n,有總結(jié):一般地,形如或(這里)的數(shù)列,在證明(為常數(shù))時都可以提取出利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其放縮為等比模型.練習:1.設(shè)數(shù)列滿足,數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求證:當時,;(3)試探究:當時,是否有?說明理由.(3)形如例如:設(shè),求證:.根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的不等式,不等式關(guān)系:注:應注意把握放縮的“度”
4、:上述不等式右邊放縮用的是均值不等式,若放縮成,則得,就放過“度”了。總結(jié):形如的數(shù)列不等式證明:設(shè)和分別為數(shù)列和的前項和,若,利用不等式的“同向可加性”這一基本性質(zhì),則有.要證明不等式,如果記看作是數(shù)列的前項和,則,那么只要證其通項滿足即可.(二)放縮目標模型可求積放縮法證明與數(shù)列求積有關(guān)的不等式,方法與上面求和相類似,只不過放縮后的是可求積的模型,能求積的常見的數(shù)列模型是(分式型),累乘后約簡為.姐妹不等式:和記憶口訣:“小者小,大者大”,(解釋:看,若小,則不等號是小于號,反之)。例如:求證:.例如:求證:??偨Y(jié):形如的數(shù)列不等式證明:設(shè)和分別為數(shù)列和的前項積,若,利用不等式的“正數(shù)同向
5、可乘性”這一基本性質(zhì),則有.要證明不等式,如果記看作是數(shù)列的前項積,則,那么只要證其通項滿足即可.例3.已知數(shù)列滿足,.(1)求證:是等差數(shù)列,并求出的通項;(2)證明:對于,.(二)添加或舍去一些正項(或負項)若多項式中加上一些正的值,多項式的值變大,多項式中加上一些負的值,多項式的值變小。由于證明不等式的需要,有時需要舍去或添加一些項,使不等式一邊放大或縮小,利用不等式的傳遞性,達到證明的目的。例如:已知,求證:.例4.已知數(shù)列的各項為正數(shù),其前n項和.(I)求之間的關(guān)系式,并求的通項公式;(II)求證例5.已知數(shù)列:滿足:,記.(I)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(II)若對任意恒成立,求t的取
6、值范圍;(III)證明:. (三)固定一部分項,放縮另外的項例6.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a11,nN*.(1)求a2的值;(2)求數(shù)列an的通項公式;(3)證明:對一切正整數(shù)n,有.練習:2.設(shè),則的整數(shù)部分是( )A.17 B.18 C.19 D.203.已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列,為其前n項和,且, .(I)求數(shù)列的通項;(II)求證:.數(shù)列專題3一、裂項求和法裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的. 通項分解(裂項)如:通項為分式結(jié)構(gòu),分母為兩項相乘,型如:, 是的等差數(shù)列。常用裂項形式有: ;特別地:二、用放縮法證明數(shù)列中的
7、不等式將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的方法,叫放縮法。1.常見的數(shù)列不等式大多與數(shù)列求和或求積有關(guān),其基本結(jié)構(gòu)形式有如下4種:(為常數(shù));(為常數(shù)).放縮目標模型可求和(積)等差模型、等比模型、裂項相消模型2.幾種常見的放縮方法 (1)添加或舍去一些項,如:;(2)將分子或分母放大(或縮?。?; (程度大)(程度?。┗蚱椒叫停海涣⒎叫停褐笖?shù)型: ;利用基本不等式,如:(一)放縮目標模型可求和等比數(shù)列或等差數(shù)列例如:(1)求證:.分析:不等式左邊可用等比數(shù)列前項和公式求和。解析:左邊=表面是證數(shù)列不等式,實質(zhì)是數(shù)列求和。(2)求證:.分析:左邊不能直接求和,須先將其通項放縮后求和,將通項
8、放縮為等比數(shù)列。解析:,左邊(3)求證:.分析:注意到,將通項放縮為錯位相減模型。解析:,左邊總結(jié):放縮法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式,若可直接求和,就先求和再放縮;若不能直接求和的,一般要先將通項放縮后再求和. 問題是將通項放縮為可以求和且“不大不小”的什么樣的才行呢?其實,能求和的常見數(shù)列模型并不多,主要有等差模型、等比模型、錯位相減模型、裂項相消模型等. 實際問題中,大多是等比模型或裂項相消模型. (1)先求和再放縮例1.設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足4Snan124n1,nN*,且a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列(1)證明:;(2)求數(shù)列an的通項公式;(3)證明:對一切正
9、整數(shù)n,有.解析: (1)當n1時,4a1a225,a224a15.an0,.(2)當n2時,4Sn1an24(n1)1,;4Snan124n1,由,得4an4Sn4Sn1an12an24,an12an24an4(an2)2.an0,an1an2,當n2時,an是公差d2的等差數(shù)列a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列,a52a2·a14,(a26)2a2·(a224),解得a23.由(1)可知,4a1a2254,a11.a2a1312,an是首項a11,公差d2的等差數(shù)列數(shù)列an的通項公式為an2n1.(3).總結(jié):(3)問左邊可用裂項相消法求和,先求和再放縮,表面是證數(shù)列不等式
10、,實質(zhì)是數(shù)列求和。(2)先放縮再求和例如:求證:. 分析:左邊不能求和,應先將通項放縮為裂項相消模型后求和,保留第一項,從第二項開始放縮。解析:左邊當時,不等式顯然也成立.例如:函數(shù),求證:.分析:此題不等式左邊不易求和,此時根據(jù)不等式右邊特征,先將分子變?yōu)槌?shù),再對分母進行放縮,從而對左邊可以進行求和.若分子,分母如果同時存在變量時,要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌A?,分式的放縮對于分子分母均取正值的分式,如需放大,則只要把分子放大或分母縮小即可;如需縮小,則只要把分子縮小或分母放大即可。例2.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足,且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列(1)求a1的值;(2)求數(shù)列an的通項公
11、式;(3)證明:對一切正整數(shù)n,有解:(1)在2Sn=an+12n+1+1中,令n=1得:2S1=a222+1,令n=2得:2S2=a323+1,解得:a2=2a1+3,a3=6a1+13,又2(a2+5)=a1+a3,解得a1=1(2)由2Sn=an+12n+1+1,得an+2=3an+1+2n+1,又a1=1,a2=5也滿足a2=3a1+21,所以an+1=3an+2n對nN*成立,an+1+2n+1=3(an+2n),又a1=1,a1+21=3,an+2n=3n,an=3n2n;(3)分析:(3)左邊不能直接求和,考慮將通項放縮后求和。利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型。(法二)an=3
12、n2n=(32)(3n1+3n2×2+3n3×22+2n1)3n1,+1+=;(法三)an+1=3n+12n+12×3n2n+1=2an,當n2時,累乘得:,+1+×+×總結(jié):一般地,形如或(這里)的數(shù)列,在證明(為常數(shù))時都可以提取出利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其放縮為等比模型.練習:1.設(shè)數(shù)列滿足,數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求證:當時,;(3)試探究:當時,是否有?說明理由.(3)形如例如:設(shè),求證:.根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的不等式,不等式關(guān)系:注:應注意把握放縮的“度”:上述不等式右邊放縮用的是均值不等式,若放
13、縮成,則得,就放過“度”了??偨Y(jié):形如的數(shù)列不等式證明:設(shè)和分別為數(shù)列和的前項和,若,利用不等式的“同向可加性”這一基本性質(zhì),則有.要證明不等式,如果記看作是數(shù)列的前項和,則,那么只要證其通項滿足即可.(二)放縮目標模型可求積放縮法證明與數(shù)列求積有關(guān)的不等式,方法與上面求和相類似,只不過放縮后的是可求積的模型,能求積的常見的數(shù)列模型是(分式型),累乘后約簡為.姐妹不等式:和記憶口訣:“小者小,大者大”,(解釋:看,若小,則不等號是小于號,反之)。例如:求證:.例如:求證:??偨Y(jié):形如的數(shù)列不等式證明:設(shè)和分別為數(shù)列和的前項積,若,利用不等式的“正數(shù)同向可乘性”這一基本性質(zhì),則有.要證明不等式,
14、如果記看作是數(shù)列的前項積,則,那么只要證其通項滿足即可.例3.已知數(shù)列滿足,.(1)求證:是等差數(shù)列,并求出的通項;(2)證明:對于,.(二)添加或舍去一些正項(或負項)若多項式中加上一些正的值,多項式的值變大,多項式中加上一些負的值,多項式的值變小。由于證明不等式的需要,有時需要舍去或添加一些項,使不等式一邊放大或縮小,利用不等式的傳遞性,達到證明的目的。例如:已知,求證:.本題在放縮時舍去了,從而使和式得到了化簡。例4.已知數(shù)列的各項為正數(shù),其前n項和.(I)求之間的關(guān)系式,并求的通項公式;(II)求證例5.已知數(shù)列:滿足:,記.(I)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(II)若對任意恒成立,求t的取
15、值范圍;(III)證明:.解:()證明:由得 即,且數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列()由()可知 由得,易得是關(guān)于的減函數(shù) , () 得證(三)固定一部分項,放縮另外的項例6.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a11,nN*.(1)求a2的值;(2)求數(shù)列an的通項公式;(3)證明:對一切正整數(shù)n,有.解:(1)依題意,2S1a21,又S1a11,所以a24.(2)當n2時,2Snnan1n3n2n,2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1),兩式相減得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1),整理得(n1)annan1n(n1),即.又,故數(shù)列是首項為,公差為1的等差數(shù)列,所以1(n1)×1n.所以ann2.(3)當n1時,;當n2時,;當n3時,此時
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