電磁場課件5 分離變量法、有限差分法、有限元法

1、電磁場電磁場教案教案公共郵箱公共郵箱文件中心文件中心網(wǎng)盤：網(wǎng)盤：賬號：賬號：scu_密碼：密碼：scu20151425362泊松方程泊松方程E0E D所有靜電場問題的求解都可歸結(jié)為在一定條件下尋求泊松方所有靜電場問題的求解都可歸結(jié)為在一定條件下尋求泊松方程或拉普拉斯方程的解的過程。程或拉普拉斯方程的解的過程。(解二階偏微分方程解二階偏微分方程)DE微微分分方方程程邊邊界界條條件件外邊界條件外邊界條件內(nèi)分界條件內(nèi)分界條件 21nn2211)()3sfnS（環(huán)路定律環(huán)路定律高斯定律高斯定律靜靜電電場場定定解解問問題題1.4 靜電場定解問題（邊值問題）靜電場定解問題（邊值問題）靜靜電電場場定定解解問

2、問題題靜靜電電場場定定解解問問題題1.5 分離變量法分離變量法 分離變量法采用正交坐標(biāo)系，將分離變量法采用正交坐標(biāo)系，將變量分離變量分離后得到微分方程后得到微分方程的的通解通解， 當(dāng)場域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時，才可確定當(dāng)場域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時，才可確定積分常數(shù)積分常數(shù)，得到邊值問題的解。，得到邊值問題的解。1.5.1 解題的一般步驟：解題的一般步驟：2 2）分離變量，將偏微分方程分離成幾個常微分方程；）分離變量，將偏微分方程分離成幾個常微分方程；3 3）解常微分方程，并疊加得到通解；）解常微分方程，并疊加得到通解；1 1）寫出邊值問題（微分方程和邊界條件）；）寫出邊值問題（微分

3、方程和邊界條件）；4 4）利用邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位的特解。）利用邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位的特解。 只含有一個變量的微分方程，采用只含有一個變量的微分方程，采用積分法積分法求解。含有兩個求解。含有兩個變量的微分方程，可以采用變量的微分方程，可以采用分量變量法分量變量法求解。求解。例例1.5.1 試求長直接地金屬槽內(nèi)試求長直接地金屬槽內(nèi)電位的分布。電位的分布。 解解: : 1 1）確定）確定邊值問題邊值問題1.5.2 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例1. 直角坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場）直角坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場）xayxaxayayaxaxyayxsin100000 ,0 ,0

4、, 00 , 022222（D 域內(nèi)）域內(nèi)）圖圖1.5.1 接地金屬槽的截面接地金屬槽的截面yxasin1002 2）分離變量）分離變量試探解試探解)()(),(21yxyx2222d0dy2112d0dx，則則- -分離常數(shù)分離常數(shù), ,220, 0 0 ,nnkk 和有22122212dd11ddxy 設(shè)設(shè)0dd1dd122222121yx代入微分方程得代入微分方程得222220 xy電位方程為電位方程為二階常系數(shù)齊次方程二階常系數(shù)齊次方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)212222d0dd0dxy2211222222d0dd0dnnkxky1( )cossinnnnnxAk xB

5、k x100( )xA xB200( )yC yD2( )nnnnyC shk yD chk y1( )nnjk xjk xxAeBe120000( , )( )( )()()x yxyA xBC yD即即 kn 為實(shí)數(shù)時，為實(shí)數(shù)時，12( , )( )( )(cossin)()nnnnnnnnx yxyAk xBk x C chk yD shk y若若 ，20nk 若若 ，20nk ()(cossin)nnnnnnnnA chk xB shk x Ck yDk y若若 ，20nk 2( )nnk yk yyCeDesinh( )2cosh( )2xxxxeexeexcossinixexix3

6、 3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。4 4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。 00B sinsin0nnnnnBDk aFk a (1,2,3)nnkna0)0000axyaA左側(cè)0)00000nbyxaCC底) 00cxaya右側(cè)yanshxanFyx1nn)sin(),(圖圖1.5.1 接地金屬槽的截面接地金屬槽的截面yxasin100)sh()ch()(sin()cos()sin()cos()(sh()ch(11ykDykCxkBxkAykDykCxkBxkAnnnnn

7、nnnnnnnnnnnnn)()()(000021yDCxBAyx通解1sin()(ch()sh()nnnnnnnBk x Ck yDk y( , )x y 沿沿 x方向作正弦變化，知方向作正弦變化，知0nnnABA題設(shè)題設(shè)1sin()sh()nnnnnB Dk xk yayd)sin(100 ax)sin()(sh)sin(1001xannFaxnn比較系數(shù)求常數(shù)比較系數(shù)求常數(shù)當(dāng)當(dāng) 時，時，1n)sh()sin(sh100),(yaxayx當(dāng)當(dāng) 時，時，1n100sh1Fsh1001F1( , )sin()sh()nnnnx yFxyaa等式無法成立！等式無法成立！若金屬槽蓋電位若金屬槽蓋電

8、位 ，再求槽內(nèi)電位分布？，再求槽內(nèi)電位分布？0U通解通解)(sh)sin),1yanxanFyxnn（)sin()sin()(sh110 xanExannFUnnnn等式兩端同乘以等式兩端同乘以 ，然后從，然后從 積分積分xamsina0(1) d)sin()sin(d)sin(1000 xxamxanExxamUnana左式左式 )cos1 ( 0mmaU1,3,5,. 20,2,4,. 00mmaUm當(dāng)當(dāng) 時，時，0Uay 右式右式 nmEaxxanEnmnn 2d )(sin 02a0代入式代入式（1）)sh(2220nFaEamaUnn代入通解代入通解)sh()sin(sh14),(1

9、0yanxannnUyxnn奇數(shù)奇數(shù)1,3,5,. sh40nmnnUFn圖圖1.5.3 接地金屬槽內(nèi)接地金屬槽內(nèi)的等位線分布的等位線分布 解：解：1 1）取圓柱坐標(biāo)系，邊值問題）取圓柱坐標(biāo)系，邊值問題001)(1222122112aa0cos ，0 10221021EExa根據(jù)對稱性根據(jù)對稱性0)2,( ),(),(及 例例1.5.2 垂直于均勻電場垂直于均勻電場 E 放置放置一根無限長均勻介質(zhì)圓柱棒一根無限長均勻介質(zhì)圓柱棒 ， 試求試求圓柱內(nèi)外圓柱內(nèi)外 和和 E 的分布。的分布。 均勻電場中的介質(zhì)圓柱棒均勻電場中的介質(zhì)圓柱棒自然邊界條件自然邊界條件當(dāng)當(dāng) 時，時，0n000000)( ln)

10、(DCBAR，當(dāng)當(dāng) 時，時，0nnDnCBARnnnnnnnnsincos)( )(，)sincos( )(1nDnCBAnnnnnnn 代入方程整理代入方程整理 分離變量分離變量, ,設(shè)設(shè) )()(),(R0dd1dddd22222RRRR)(ln(),(0000DCBA3 3）通解）通解0dddd2222RnRR拆分為兩個方程拆分為兩個方程0dd222n2）根據(jù)根據(jù) （自然邊界條件），得（自然邊界條件），得cos01E當(dāng)當(dāng) 時，時，1n，EABA100，0nBEnnncoscos),(11根據(jù)根據(jù) 0 ， 00002nBBA12cos),(nnnnA4 4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)利用

11、給定邊界條件確定積分常數(shù)當(dāng)當(dāng) 時，時，1n，00noABAnBABAnnnnncos)()ln(),(100通解通解根據(jù)根據(jù)),(),(0, 00nDC得到得到比較系數(shù)比較系數(shù)121011)( AaBEaAaBEa和當(dāng)當(dāng)n=1時，時，當(dāng)當(dāng) 時，時，An=Bn= 0， 則最終解則最終解1n1111011cos)coscos(coscoscosnnnnnnnnnnnnnanAnaBEnaAnaBEa由分界面由分界面 的銜接條件，得的銜接條件，得acos)()(cos),(0201EaEaa0cos2cos)1 (),(00002EEaEaesin)()(12020 xxExeeE002222a0介

12、質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場 eEcos)()(1202011Ea求電場強(qiáng)度求電場強(qiáng)度E1.6 有限差分法有限差分法1.6.1 二維泊松方程的差分格式二維泊松方程的差分格式Fyx2222（1）二維靜電場邊值問題二維靜電場邊值問題 基本思想基本思想：將場域離散為許多：將場域離散為許多網(wǎng)格網(wǎng)格 ，應(yīng)用，應(yīng)用差分原差分原理理，將求解連續(xù)函數(shù)，將求解連續(xù)函數(shù) 的的微分方程微分方程問題轉(zhuǎn)換為求解問題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上 的的代數(shù)方程代數(shù)方程組的問題。組的問題。（2）)(LfL有限差分的網(wǎng)格分割有限差分的網(wǎng)格分割通常將場域分成足夠小的正方形網(wǎng)格通常將場域分成足夠小的正方形網(wǎng)格, ,網(wǎng)格線之

13、間的距離為網(wǎng)格線之間的距離為 h , ,節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)0,1,2,3,40,1,2,3,4上的電位分別用上的電位分別用 表示。表示。 01234, 令令 h = x - x0，將，將 x = x1 和和 x3 分別代入式分別代入式 ( 3 ) 0333022200303330222001)(! 31)(! 21)()(! 31)(! 21)(xhxhxhxhxhxh（4）（5）)(0)()(!10000nnKKKKxxxxxxK（3）由式由式（4）+（5）2301222)(0hxxx（6）2402222)(0hyyy（7）同理同理, ,沿沿 x方向在方向在 x0 處的泰勒公式展開為處的泰勒公式展開為

14、2043214Fh當(dāng)場域中當(dāng)場域中00404321 若場域離散為矩形網(wǎng)若場域離散為矩形網(wǎng)格格, 寬寬h1高高h(yuǎn)2，差分格式為，差分格式為13240222212121111()()()2Fhhhh1.6.2 矩形網(wǎng)格剖分矩形網(wǎng)格剖分五點(diǎn)差分格式五點(diǎn)差分格式20將式將式(6)、式、式(7)代入式代入式 ，得到，得到Fyx2222)(41243210Fh即即應(yīng)用五點(diǎn)差分格式構(gòu)建方程組應(yīng)用五點(diǎn)差分格式構(gòu)建方程組右圖，對該區(qū)域劃定右圖，對該區(qū)域劃定 4 4 方格，方格，內(nèi)點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)為 1-9，邊界為，邊界為 f1-f16，對待求，對待求的的 9 個點(diǎn)，逐點(diǎn)列差分方程個點(diǎn)，逐點(diǎn)列差分方程在場域內(nèi)每一節(jié)點(diǎn)都有

15、一個差分方程，再結(jié)合邊界上的電位在場域內(nèi)每一節(jié)點(diǎn)都有一個差分方程，再結(jié)合邊界上的電位關(guān)系，構(gòu)成方程組，聯(lián)立求解可得各個節(jié)點(diǎn)的電位值。關(guān)系，構(gòu)成方程組，聯(lián)立求解可得各個節(jié)點(diǎn)的電位值。2043214Fh1.6.2 邊界條件離散化邊界條件離散化（Discrete Boundary Condition)第二類邊界條件第二類邊界條件 hfhnf2100102 ,)()2(4124210Fh第一類邊界條件第一類邊界條件 分界面銜接條件分界面銜接條件 對稱邊界條件對稱邊界條件 , )1212(4143210KKKbaK其中其中圖圖1.6.5 介質(zhì)分界面介質(zhì)分界面10 f圖圖1.6.3 對稱邊界對稱邊界圖圖1

16、.6.4 對稱分界對稱分界1.6.3 差分方程組的求解方法差分方程組的求解方法 ( Solution Method )2、高斯賽德爾迭代法412)(1,)(, 1) 1(1,) 1(, 1) 1(,Fhkjikjikjikjikji 迭代過程直到節(jié)點(diǎn)電位滿足 為止。)(,) 1(,kjikji3、超松弛迭代法44)(,2)(1,)(, 1) 1(1,) 1(, 1)(,) 1(,kjikjikjikjikjikjikjiFh式中：a 加速收斂因子（1 a 2） 網(wǎng)格編號2,1,11,114i jiji jiji jFh1、基本迭代法2043214Fh20123414Fh一般迭代式：邊界節(jié)點(diǎn)賦已

17、知電位值邊界節(jié)點(diǎn)賦已知電位值賦內(nèi)節(jié)點(diǎn)電位初始值賦內(nèi)節(jié)點(diǎn)電位初始值累計(jì)迭代次數(shù)累計(jì)迭代次數(shù) N=0N=N+1按超松弛法進(jìn)行一次迭代，求按超松弛法進(jìn)行一次迭代，求 )1(,Nji打印打印 ),(jiN，NY程序框圖程序框圖)(,) 1(,kjikji作作 業(yè)業(yè)分量變量法：分量變量法：P35: 1-5-1有限差分法：有限差分法：P40: 1-6-3 電磁場有限元法（Finite Element Method, FEM） 有限元法可以基于變分原理導(dǎo)出，也可以基于加權(quán)余量法導(dǎo)出，本節(jié)以加權(quán)余量法作為有限元法的基礎(chǔ)，以靜電場問題的求解為例介紹有限元法的基本原理與實(shí)施步驟。加權(quán)余量法回顧：對算子方程用 作近

18、似解：代入方程得余量：1. 1. 有限元法基本原理與實(shí)施步驟：一維問題有限元法基本原理與實(shí)施步驟：一維問題( )L uf1niiiu u( )RL uf 在有限元法中，基函數(shù)一般用 表示。采用Galerkin方案，取權(quán)函數(shù)與基函數(shù)相同，使其與余量正交化：(, ) ( ) d0iiN RN L uf (1, 2, , )iniNi 基函數(shù)；基函數(shù)；i 系數(shù)系數(shù) ( )RL uf權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)L( ) 為線性算子若 L為線性算子，設(shè) ，代入加權(quán)余量正交公式得11 () d() d0nnijjijjjjN Lu NfNu L Nf 1niiiuu N或(1, 2, , )in1() ddnjijiju

19、N L NN f 得代數(shù)方程組：加權(quán)余量法回顧（續(xù)）(, ) ( ) d0iiN RN L uf Kub記diibN f,() di jijKN L Niiuu求出矩陣u得離散解.利用有限元法求解一維邊值問題：（1）單元剖分 如圖5個單元，6個節(jié)點(diǎn)（2）選取基函數(shù) 22d( ) 01d(0)(1)0uL uuxxxuu 111111 (, ) ( , )iiiiiiiiiiixxxxxxxNxxxxxxx1niiiuu N（3）方程離散）方程離散（計(jì)算系數(shù)陣（計(jì)算系數(shù)陣 K 和右端項(xiàng)和右端項(xiàng) b）diibN f,() di jijKN L N Kub,2222() dd(+) ddd d dd

20、ddddddjjiii jijjijjiijxxjiijxxKN L NNNNxNNN NxNNxN Nxxx 11ddiixiiixbN fN f x 整理矩陣方程：11121121222322323334334344454454555655656666KKubKKKubKKKubKKKubKKKubKKub強(qiáng)加邊界條件：u1 = 0, u6 = 01221222323323334344344454554555656100010uuKKKbuKKKbuKKKbuKKKbu（4）求解方程思考：（1）有限元的解跟有限差分法的解有何根本不同？（2）有限元的系數(shù)陣總是對稱的嗎？u*u22d( ) 0

21、1d(0)(1)0uL uuxxxuu 與有限差分法（FDM）相比，有限差分法是對點(diǎn)的離散，得到一系列離散點(diǎn)上的解；而有限元（FEM）是對區(qū)域的離散（單元），盡管所求的是節(jié)點(diǎn)上的自由度，但它的解在場域中每一個點(diǎn)上都有定義。 所以，即是有限元節(jié)點(diǎn)上的解是精確的，有限元的整個解仍然是近似的。好的數(shù)據(jù)處理技術(shù)可以從該近似解中提取更精確的分析結(jié)果。 線性單元中，如果所求的自由度是電位j，單元中的電場 E是場量；節(jié)點(diǎn)上的 E 取鄰近單元的平均。一些補(bǔ)充說明：關(guān)于有限元的解 以二維靜電場泊松方程的求解為例。以二維靜電場泊松方程的求解為例。2. 有限元法基本原理與實(shí)施步驟：二維問題目標(biāo)：依據(jù)加權(quán)余量法，利用

22、分域基，建立離散的代數(shù)方程組，即確定系數(shù)Kij 和bi。diibN f,() di jijKN L N122222( )uuL ufxyuguhn 場域離散二維問題常使用三角形單元離散，便于處理復(fù)雜的場域形狀，容易實(shí)現(xiàn)。單元：互不重疊，覆蓋全部場域；每個單元內(nèi)介質(zhì)是 單一、均勻的。節(jié)點(diǎn)：網(wǎng)格的交點(diǎn)，待求變量的設(shè)置點(diǎn)。該步驟需要記錄的信息：節(jié)點(diǎn)編號、節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)屬性(激勵源、是否邊界等)單元編號單元節(jié)點(diǎn)編號單元介質(zhì)基函數(shù) 有限元采用分片逼近的思想，類似于一維情況下使用折線逼近一條任意曲線。 使用分域基Ni，基函數(shù)的個數(shù)等于節(jié)點(diǎn)的個數(shù)；每個基函數(shù)Ni 的作用區(qū)域是與該節(jié)點(diǎn) I 相關(guān)聯(lián)的所有單元。1

23、12233( , )u x yNNN記住我們的任務(wù)尋找基函數(shù)對比312123( , )( , )( , )( , )x yx yx yu x yuuu( 1, 2, 3 )i 可得( , )iix yN基函數(shù)Ni常被稱為插值函數(shù)或者形狀函數(shù)，具有以下性質(zhì)：（1）是插值的；（2）（3）在相鄰單元的公共邊界上， Ni是連續(xù)的，從而通過Ni構(gòu)造的逼近函數(shù)也是連續(xù)的。1 ()(,)0 ()ijjijN xyij312123( , )( , )( , )( , )x yx yx yu x yuuu12312311112xxxyyy 1232311112xxxyyy 2131311112xxxyyy 31

24、21211112xxxyyy 單元節(jié)點(diǎn)的編號按逆時針方向排列！其中，在積分 中，對于確定的 i，j的有效取值為i 本身以及與節(jié)點(diǎn)i相聯(lián)的周圍節(jié)點(diǎn)，積分的有效區(qū)域?yàn)橐詉、j 為公共節(jié)點(diǎn)的所有三角形單元 ，在這些單元中Ni、Nj才有交疊。()dijijKN L N計(jì)算系數(shù)陣 diibN f,() di jijKN L N 單元分析：單元分析：計(jì)算單元內(nèi)積分對系數(shù)陣和右端項(xiàng)元素的貢獻(xiàn)。計(jì)算單元內(nèi)積分對系數(shù)陣和右端項(xiàng)元素的貢獻(xiàn)。( )( )( )()deeeeijijKNL N系數(shù)陣元素： 當(dāng)L為拉普拉斯算子時，由于Ni在單元內(nèi)是(x, y)的線性函數(shù)，經(jīng)Laplace算子作用后值為0。 但是，在相鄰單元的邊界上， Ni是連續(xù)但是不光滑的，因此對積分的貢獻(xiàn)主要來自邊界。 為考慮單元邊界的影響，需要借助于格林公式：整體矩陣合成：iiijimiijijjmjjjmimjmmmmKKKubKKKubKKKub( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )eeeiiijimeeeejijjjmeeemimjmmKKKKKKKKKK( )( )( )( )d3eeeeeiibfNf 對于靜電場問題，媒質(zhì)分界面銜接條件為媒質(zhì)交界面銜接條件1