電磁場與電磁波(矢量分析)1

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析1.1 場的概念和表示法場的概念和表示法1.3 標(biāo)量場的標(biāo)量場的梯梯度度1.4 矢量場的通量矢量場的通量 散度散度1.5 矢量場的環(huán)流矢量場的環(huán)流 旋度旋度 1.6 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理1.2 三種常用的坐標(biāo)系三種常用的坐標(biāo)系1.1 1.1 場的概念和表示法場的概念和表示法一 1、場的定義與分類：場的定義與分類： 一個一個確定區(qū)域確定區(qū)域中的場被定義為：物理系統(tǒng)中某中的場被定義為：物理系統(tǒng)中某物物理量理量在該區(qū)域的一種在該區(qū)域的一種分布分布。如果被描述的物理量是。如果被描述的物理量是標(biāo)量，則定義的場被稱為標(biāo)量，則定義的場被稱為標(biāo)量場標(biāo)量場；如果被描述的物；如

2、果被描述的物理量是矢量，則定義的場被稱為理量是矢量，則定義的場被稱為矢量場。矢量場。 場的分類：場的分類： 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場 靜態(tài)場與時變場靜態(tài)場與時變場2、場的描述與場函數(shù)：場的描述方法有多種：列表法、場的描述與場函數(shù)：場的描述方法有多種：列表法、函數(shù)法等，描述場在空間中分布的函數(shù)稱為函數(shù)法等，描述場在空間中分布的函數(shù)稱為場函數(shù)。場函數(shù)。 3、場的值或場量：、場的值或場量：物理量在場空間中一點的取值物理量在場空間中一點的取值 空間某一區(qū)域定義一個空間某一區(qū)域定義一個標(biāo)量分布，標(biāo)量分布，如溫度如溫度,電位電位,高度等，可以用一個標(biāo)量函高度等，可以用一個標(biāo)量函數(shù)來描述，數(shù)來描述，其值

3、隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時還可隨時間變化。其值隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時還可隨時間變化。二、標(biāo)量場二、標(biāo)量場2225( , , ) (1)(2)xyzux y zxyz 三、矢量場三、矢量場 空間某一區(qū)域定義一個空間某一區(qū)域定義一個矢量分布，矢量分布，如速度場如速度場,電場、磁場等，可用一個矢量函電場、磁場等，可用一個矢量函數(shù)來描述數(shù)來描述, ,其大小和方向隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時還可隨時間變化。其大小和方向隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時還可隨時間變化。)2() 1(5),(22zyxxyzttzyxuyzaxyaxazyxAzyx),(32),(yztaxytaxtatzyxAzyx1

4、.2 三種常用正交坐標(biāo)系三種常用正交坐標(biāo)系zzyyxxAaAaAaAzayaxaRzyx111dzdzhdydyhdxdxhzyx1.2.1 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)系系坐標(biāo)變變化范圍是坐標(biāo)變變化范圍是: : 右手螺旋法則右手螺旋法則 位置矢量位置矢量: :矢量表示：矢量表示：微分線元：微分線元：度量系數(shù)：度量系數(shù)：面積元：面積元： 體積元：體積元： xyzdzadyadxaRdzyxdydzdSxdxdzdSydxdydSzdxdydzdzyxaaazayaxaRzyx1.2.2圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變化范圍是坐標(biāo)變化范圍是:右手螺旋法則：右手螺旋法則：位置矢量：位置矢量：矢量表示：矢量表示：微分

5、線元：微分線元：面積元：面積元： 體積元：體積元： r020zzraaazaraRzrzzrrAaAaAaAdzardadraRdzrrdrddldldSdrdzdldldSdzrddldldSrzzrzrdzrdrddM點處沿點處沿(r, ,z)方向的長度元分別是：方向的長度元分別是：度量系數(shù)分別是：度量系數(shù)分別是： 11zrhrhhdzdlrddldrdlzr1.2.3球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系坐標(biāo)變變化范圍是坐標(biāo)變變化范圍是:右手螺旋法則：右手螺旋法則：位置矢量：位置矢量：矢量表示：矢量表示：微分線元：微分線元：坐標(biāo)線元：坐標(biāo)線元：度量系數(shù)：度量系數(shù)：面積元：面積元： 體積元：體積元：2000

6、 raaarraRrAaAaAaArrdrardadraRdrsindrdlrddldrdlrsinsin1rhrhhrrdrddldldSdrdrdldldSddrdldldSrrrsinsin2ddrdrdldldldrsin21.2.4 三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系（1）直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)系的關(guān)系zzryrxsincoszzxytgyxr122（2）直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系的關(guān)系cossinsincossinrzryrxxytyzyxzzyxr12221222cos（3）柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系cossinrzrr22122coszrzzrr1.3 1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度一、一、 方

7、向性導(dǎo)數(shù)與梯度方向性導(dǎo)數(shù)與梯度,uxyzc等值面等值面：標(biāo)量場中量值相等的點構(gòu)成的面：標(biāo)量場中量值相等的點構(gòu)成的面。方向性導(dǎo)數(shù)方向性導(dǎo)數(shù) 考慮標(biāo)量場中兩個等值面考慮標(biāo)量場中兩個等值面,uuu 00limlimuuuuuuuPMPMl 梯度梯度 由方向性導(dǎo)數(shù)的定義可知：沿等值由方向性導(dǎo)數(shù)的定義可知：沿等值面法線面法線 的方向性導(dǎo)數(shù)最大的方向性導(dǎo)數(shù)最大。故故標(biāo)量場標(biāo)量場 在在P點的梯度是一個矢量點的梯度是一個矢量大?。鹤畲蠓较蛐詫?dǎo)數(shù)大小：最大方向性導(dǎo)數(shù)方向：最大方向性導(dǎo)數(shù)所在的方向方向：最大方向性導(dǎo)數(shù)所在的方向, , ,u x y z為標(biāo)量場為標(biāo)量場 在在P點點沿沿 方向的方向的方方向性導(dǎo)數(shù)。向性

8、導(dǎo)數(shù)。其大小與方向其大小與方向 有關(guān)有關(guān)。, , ,u x y z 定義標(biāo)量函數(shù)定義標(biāo)量函數(shù) 沿給定方向沿給定方向 的變化率的變化率：( , , )u x y zllnagradnuuanluPNMuu lna可得可得gradluu al在直角坐標(biāo)系中梯度的計算公式推導(dǎo)在直角坐標(biāo)系中梯度的計算公式推導(dǎo)dzadyadxal dzyxdzzdyydxxdgradnuuancosnldudu dnduduaadldn dldndn()dugradudluPNMuu lnazayaxagradzyxuxyzaaaxyz 直角坐標(biāo)系中哈密頓算符表示為zayaxazyx直角坐標(biāo)系中梯度計算公式為zayax

9、agradzyx柱坐標(biāo)系中的哈密頓算符和梯度計算公式為zararazr1zararagradzr1球坐標(biāo)系中的哈密頓算符和梯度計算公式為sin11rarararsin11rararagradr1.4 矢量場的通量矢量場的通量 散度散度dSnds空間面元矢量：與面元垂直的單位矢量面元大小的指向有兩種情況：（1）對開曲面上的面元， 的取法要求圍成開表面的邊界走向與 滿足右手螺旋法則（2）對閉合面上的面元， 一般取外法線方向nnn一、通量一、通量n 矢量場的通量 若若S 為閉合曲面為閉合曲面 定義定義矢量矢量 沿有向曲面沿有向曲面S 的面積分的面積分為為矢量矢量 穿過有向曲面穿過有向曲面S 的通量。

10、的通量。二、散度二、散度 如果包圍點如果包圍點P 的閉合面的閉合面S 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 以任意方式縮小為點以任意方式縮小為點P 時時, , 通量與通量與體積之比的極限存在，定義該極限為矢量場體積之比的極限存在，定義該極限為矢量場 在在P 點的散度。點的散度。即即SA dS dsAS cosSAds0limSAd Sd iv A AAA三、散度的物理意義三、散度的物理意義 散度代表矢量場的通量源的分布特性。散度代表矢量場的通量源的分布特性。 A A = = 0 (0 (無源無源） 在矢量場中，若在矢量場中，若 = 0，稱之為有源場，稱之為有源場， 稱為稱為( (通量通量) )源密度；若矢量場中處

11、處源密度；若矢量場中處處 =0，稱之為無源場。，稱之為無源場。 矢量的散度是一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)。矢量的散度是一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)。 = = 0 (0 (正源正源) )= = 0 (0 (負(fù)負(fù)源源) ) A A A A A 散度的計算公式的推導(dǎo)：散度的計算公式的推導(dǎo)： szzyyxxsdSAdSAdSASdA在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，曲面上的通量可表示為曲面上的通量可表示為 AszzyyxxsdSAdSAdSASdA 在閉合面上在閉合面上 的通量為的通量為 ),(zyxzyx,AA在直角坐標(biāo)系中，研究的點在直角坐標(biāo)系中，研究的點P P為頂點作一個平行六面體，為頂點作一個平

12、行六面體，矢量矢量的通量為的通量為穿出三對表面的通量之和。穿出三對表面的通量之和。 其三個邊分別為其三個邊分別為穿出此六面體表面穿出此六面體表面左右一對表面穿出的凈通量左右一對表面穿出的凈通量 ()yyyyAAAx zAyx zx y zyy ()zzzzAAAx yAzx yx y zzz 上下一對表面穿出的凈通量上下一對表面穿出的凈通量前后一對表面穿出的凈通量前后一對表面穿出的凈通量()xxxxAAAy zAxy zx y zxx ()()yyxxzzsAAAAAAA dSx y zxyzxyz zAyAxASdALimzyxs0zAyAxAAdivzyx故從平行六面體穿出的凈通量為故從平

13、行六面體穿出的凈通量為 代入式散度計算公式得代入式散度計算公式得 直角坐標(biāo)系中的散度計算公式為直角坐標(biāo)系中的散度計算公式為 矢量場 的散度可表示為哈密頓微分算子與矢量 的標(biāo)量積， 即 d ivAA zAyAxAAdivzyxzAArrArrAdivzr1)(1ArArArrrAdivrsin1)(sinsin1)(122直角坐標(biāo)系中的散度計算公式為 柱坐標(biāo)系中的散度計算公式：球坐標(biāo)系中的散度計算公式：AA四、高斯定理四、高斯定理( (散度定理散度定理) )0divlimdSAAS n1=-n2n1n2111divdSAAS 222divdSAAS )divdVAdSAS 高斯定理高斯定理ddi

14、v ddSvvASAA 對于有限大體積對于有限大體積 ，可將其按如圖可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對每一小體積元有方式進(jìn)行分割，對每一小體積元有式中式中S為為 的外表面的外表面 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域 中場與邊界中場與邊界S上上的場的場 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。0limSAd Sdiv A A例1.4.1 點電荷 位于球坐標(biāo)原點，此電荷的電場強(qiáng)度在空間中分布如下（1）計算在 的球面上，電場強(qiáng)度 穿出的通量。（2）計算空間各點（ ）電場強(qiáng)度 的散度。 解：位于坐標(biāo)原點的電荷的電場，電場強(qiáng)度的方向總在 方向上，呈發(fā)散狀分布。在 球面上任取一面元 ，則 在 球面上的通量為 對于 的空間各點，電

15、場強(qiáng)度 的散度為 圖1.4.4 點電荷的電場與Adivq2041rqaEr0rr E0rEra0rr ddrrqdSESdErrsin412200rr E0202200sin41qddrrqSdEs0r0)4(1)(10222qrrErrrEr1.1.5 5 矢量場的矢量場的環(huán)流環(huán)流 旋度旋度一、環(huán)流一、環(huán)流定義矢量場定義矢量場 沿空間有向閉合曲線沿空間有向閉合曲線C的積分的積分 dcAl 為為 的的環(huán)流環(huán)流。n SS 環(huán)流的計算ACPA A 旋渦場在空間中的分布形態(tài)可從兩個方面來描述:(一) 旋渦場在空間中旋轉(zhuǎn)的快慢程度(二) 旋渦場的旋轉(zhuǎn)面在空間中怎樣取向dlaldlCA環(huán)流越大，場在C

16、圍成的面上旋轉(zhuǎn)越快。(a)S 面與旋渦面垂直 (b) S面與旋渦面相交 (c) S面與旋渦面平行 圖1.5.3 C上環(huán)流的三種情況090cl dA0090cl dA0可以證明，在發(fā)散場中，對于任選的空間閉合曲線 C上的環(huán)流恒為零。二、旋度二、旋度1. 1. 環(huán)流密度環(huán)流密度 過點過點P 作一微小曲面作一微小曲面S,它的邊界曲線記為它的邊界曲線記為C,面的法線方向與曲線繞向成右面的法線方向與曲線繞向成右手螺旋關(guān)系。當(dāng)手螺旋關(guān)系。當(dāng)S 收縮至收縮至P 點附近點附近時時, ,存在極限存在極限0dlimcSAlS 該極限值與該極限值與S 的形狀無關(guān)，但與的形狀無關(guān)，但與S的方向的方向 有關(guān)有關(guān)。稱為。

17、稱為矢量場矢量場 在在P 點沿方向點沿方向 的的環(huán)流密度環(huán)流密度2. 2. 旋度旋度 旋度是一個矢量，模值等于環(huán)流密度的最大值；方向為最大環(huán)流密度的方向。旋度是一個矢量，模值等于環(huán)流密度的最大值；方向為最大環(huán)流密度的方向。用用 表示表示rot A 它與環(huán)流密度的關(guān)系為它與環(huán)流密度的關(guān)系為0dlimro tcnSAlAaSA nn在直角坐標(biāo)系中，AcurlaAcurlaAcurlaAcurlzzyyxx圖1.5.4 直角坐標(biāo)系中 的AcurlxcSxSldALimAcurlxx0ycSySl dALimAcurlyy0zcSzSldALimAcurlzz0三、旋度的物理意義三、旋度的物理意義 矢

18、量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)。矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)。 點點P的旋度的大小是該點環(huán)流密度的最大值。的旋度的大小是該點環(huán)流密度的最大值。 點點P的旋度的方向是該點最大環(huán)流密度的方向。的旋度的方向是該點最大環(huán)流密度的方向。zAyzzAAzyyAAyAl dAzyyzzycx)()(zyzAzyyAyz于是：zAyASl dALimAcurlyzxcSxxx0同理：xAzASl dALimAcurlzxycSyyy0yAxASl dALimAcurlxyzcSzzz0)()()(yAxAaxAzAazAyAaAcurlxyzzxyyzx則：)()(zzyyxxzyxAaAaAazayaxazyxzyxAAAzyxaaaA=柱坐標(biāo)系中：rzzrzrArArrarAzAazAAraA)()()1(行列式形式為：zrzrArAAzraararA1球坐標(biāo)系中：rrrArArrarArAraAAraA)()(sin1)(sinsin行列式形式為：ArrAArarararArrsinsinsin12旋度有兩個