第04b講地下水文學(xué)

1、地下水水文學(xué)地下水水文學(xué)主講： 劉國東 教授電話mail:第第4講講第二章 地下水運動水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 u潛水非穩(wěn)定流運動的基本微分方程 取平行于xoz平面的單位寬度進(jìn)行研究，如圖2-2所示，在滲流場中取一微小均衡單元體(稱微元體)，它的上界面為潛水面，下界面為隔水層，左右為兩相距dx的垂直平面。在dt時間內(nèi)，潛水面由aa，上升到bb，潛水面變化量為dttH 設(shè)流入該微元體的單寬流量為q流出量按線性變化，則為dxxqq 根據(jù)均衡方程式收入量收入量-流出量流出量=儲蓄量的變化量儲蓄量的變化量儲蓄量的變化量=dxdttH 布

2、西涅斯克(J. V. Boussinesq)在研究潛水非穩(wěn)定流運動時，假定地下水是不可壓縮的流體，滲透速度僅僅是平面坐標(biāo)x、y和時間t的函數(shù)，即滲透速度Vx和Vy沿高度z沒有變化。2.1 地下水運動的基本方程水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 流量Q=VA對于右圖，Q=Vx h BB為垂直于流向的含水層延伸長度(寬度)Q/B= Vx h =q 稱為單寬流量單寬流量根據(jù) 收入量收入量-流出量流出量=儲蓄量的變化量儲蓄量的變化量在dt時段內(nèi)，有:dxdttHdtdxdtdxxqqq)(dxdttHdtdxdtdxxq將q= Vx h 代入，同時約去dxdt得tHxhV

3、x)(根據(jù)達(dá)西公式，xHKVx可得到水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 tHxHhxK)(此式即為一維潛水非穩(wěn)定運動的基本微分方程，又稱為布西涅斯克方程同樣原理，可導(dǎo)出二維潛水非穩(wěn)定運動的基本微分方程為tHyHhyxHhxK)()(若底板水平，上式可寫成thyhhyxhhxK)()(潛水非穩(wěn)定流運動的基本微分方程是一個二階的非線性偏微分方程，因為式中包含了未知函數(shù)h及其導(dǎo)數(shù)的乘積項，除了特殊情況有特解外，一般無精確解。為了求解該方程，通常要將其線性化。例如，當(dāng)含水層的厚度變化不大時，可用平均厚度 來表示，即把 視為常數(shù)，則上式變?yōu)閔hthyhxhhK2222tHz

4、HhzyHhyxHhxK)()()(問題：問題：是否可由此類推得出三維潛水非穩(wěn)定流的基本微分方程為水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 u承壓水非穩(wěn)定流基本方程直角坐標(biāo)系將潛水二維非穩(wěn)定流方程中的h換為M，換為e ，換為E，則有tHEyHyxHxKMe)()(tHTTEyHxHe2222TKM 令則有式中，M為承壓含水層厚度，L； T為導(dǎo)水系數(shù)，L2T-1 ；E為源匯項，LT-1 ； e為彈性釋水系數(shù)或彈性儲水系數(shù)，無量綱。 彈性釋水（儲水）系數(shù)：單位面積承壓含水層水頭下降（上升）一個單位時所釋放（儲存）的水量（見圖）設(shè)E=0，對于穩(wěn)定流運動，有02222yHxH為

5、Laplace方程水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 如右圖所示為承壓含水層中抽水井形成的流場剖面。任取一抽水井的微分圓柱體，該柱體高為承壓含水層的厚度M，圓柱體內(nèi)徑為r，外徑為r+dr。當(dāng)流入內(nèi)徑為r的圓柱體表面積的水量為-Q，流入外徑為r+dr的圓柱體表面積的水量為 ，則微分圓柱體內(nèi)外的水量差就有)(drrQQrr+drdrrQQdrrQQ)()(根據(jù)質(zhì)量守恒定律，在dt時段內(nèi)有dttHrdrdtdrrQe2由達(dá)西公式，有rHrMKQ2代入上式，得u承壓水非穩(wěn)定流基本方程徑向滲流水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 )(2)(2 )

6、(2)2(2222rHrHrKMrHrrHrrKMrHrrKMrHrMKrrQ進(jìn)而有dttHrdrdrdtrHrHrKMe2)(222tHTrHrrHe122整理，得此式即為承壓含水層徑向滲流方程tHarHrrH1122eTa若令稱為壓力傳導(dǎo)系數(shù)壓力傳導(dǎo)系數(shù)，則有水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 2.2 包氣帶水運動的基本方程u包氣帶水的毛細(xì)運動毛細(xì)現(xiàn)象的實質(zhì)將細(xì)小的玻璃管插入水中，水會在管中上升，到一定高度才停止，這便是毛細(xì)現(xiàn)象(圖2-5)毛細(xì)現(xiàn)象的產(chǎn)生：任何液體都有力圖縮小其表面的趨勢。一個液滴總是力求成為球體，因為球體是同一容積的液體表面積最小的形狀由此說

7、明，液體表層猶如蒙蓋著一層拉緊的彈性薄膜，表層分子彼此拉得很緊。設(shè)想在液面上劃一根長度為l的線段，此線段兩邊的液面，以一定的力f相互吸引，力的作用方向平行于液面而與此線段垂直(圖2-6)，大小與線段長度l成正比，即f=l；稱為表面張力系數(shù)水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 由于表面張力的作用，彎曲的液面將對液面以內(nèi)的液體產(chǎn)生附加表面壓力，而這一附加表面壓力總是指向液體表面的曲率中心方向：凸起的彎液面，對液面內(nèi)側(cè)的液體，附加一個正的表面壓力，凹進(jìn)的彎液面，對液面內(nèi)側(cè)的液體，附加一個負(fù)的表面壓力。 液體與固體接觸有兩種現(xiàn)象(圖2-7)：一種是力圖濕潤固體表面，稱為濕潤

8、液體；另一種則力圖擺脫固體，稱非濕潤液體。水對于大多數(shù)固體，水屬于前者。后者如油水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 圖2-8 毛細(xì)現(xiàn)象 因此，此時彎液面下的液體實際承受到的表面壓力(以下簡稱“實際表面壓力”) P=P0+Pa，此中P0為大氣壓力。 我們試來分析附加表面壓力是如何引起的。為了方便起見，設(shè)想切取一個半徑為R的半圓球形液面(圖2-8)。顯然，在此液面的圓周狀邊線上都存在著指向液層內(nèi)部的表面張力，其合力為 2R，垂直于面積為R2 的投影圓面。由此，表面張力所引起的附加表面壓力P。為：2.2 包氣帶水運動的基本方程水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電

9、學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 當(dāng)R1 = R2 = R時，RPa2 實際上，任何形狀的彎液面所產(chǎn)生的附加表面壓力Pa都可以用拉普拉斯方程式表示： 拉普拉斯方程式的涵義是：彎曲的液面將產(chǎn)生一個指向液面凹側(cè)的附加表面壓力，附加表面壓力與表面張力系數(shù)成正比，與表面的曲率半徑成反比。水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 PaPaP0P0P=P0-PaP=P0+PaP=P0 當(dāng)液面為凸形時，附加表面壓力是正的。此時，實際表面壓力P=P0+Pa ， 如液面為凹形時，附加表面壓力是負(fù)的， 故實際表面壓力P=P0-Pa 。 平的液面，不產(chǎn)生附加表面壓力，故實際表面壓力P=P0 (圖2-9)

10、圖2-9 彎液面形狀與表面壓力的關(guān)系2.2 包氣帶水運動的基本方程濕潤液體非濕潤液體水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 將半徑為r的毛細(xì)管插入水中(如圖2-10)，毛細(xì)管中的水形成凹進(jìn)的彎液面，并向上升起，到達(dá)一定高度才停止，由于管壁上形成結(jié)合水，故水能夠完全濕潤管壁，彎液面的邊緣與管壁平行，當(dāng)毛細(xì)管足夠細(xì)時，彎液面接近于凹進(jìn)的半圓球形面。根據(jù)拉普拉斯方程 ，這里R1 = R2 = r ，故得：rPa2DPa4或D=2r為毛細(xì)管直徑為應(yīng)用方便，將附加表面壓力Pa換算為以米為單位的水柱高度，并以專門符號S表示，則DgDgPPSaa03. 04圖2-10 毛細(xì)高度2.

11、2 包氣帶水運動的基本方程Pa水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 圖2-10 毛細(xì)高度 設(shè)以水面為基準(zhǔn)，則毛細(xì)管外水面上任一點A的水頭值為0，彎液面剛形成，毛細(xì)管中水面未開始上升時，管內(nèi)與A點同高度的B點水頭值為-S 。在這一水頭差作用下，毛細(xì)管中的水上升，直到C點才停止。BC這一高度稱為最大毛細(xì)上升高度Hc 。此時C點水頭值必與A點相等，即：0cHSSHc則 毛細(xì)管的直徑愈小，毛細(xì)力或吸力S便愈大，最大毛細(xì)上升高度Hc 也愈大。 2.2 包氣帶水運動的基本方程0PPHc00PPPHacSPHac S即是所謂的毛細(xì)力又稱為吸力，在如圖2-10 所示的條件下，凹形彎

12、液面下的水實際承受的表面 壓力要比平的液面下的水小一個相當(dāng)S水柱高的壓力。換句話說，毛細(xì)力S在此情況下是一個負(fù)壓力，猶如在液體表面造成相當(dāng)于S的真空，使實際表面壓力低于大氣壓力Pc 。PP0Pa水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 用指向液面凹面一側(cè)的箭頭表示毛細(xì)力，用從水柱重心畫起的箭頭向下的線段表示重力，線段長度代表力的大小。 也就是說，包氣帶水的吸力S愈低，則其基質(zhì)勢m愈大(即負(fù)值愈小) ；反之，吸力S愈高，則其基質(zhì)勢m愈小(即負(fù)值愈大) 。包氣帶水分的運動趨勢是由基質(zhì)勢m高處向低處流動，也即由吸力S低處向高處流動。毛細(xì)力或吸力的負(fù)值稱為土壤的基質(zhì)勢或負(fù)壓勢m

13、，即mS圖2-11顯示了不同情況下毛細(xì)水受力平衡的情況。水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 土中基質(zhì)勢或負(fù)壓勢的測定，通常用張力計或負(fù)壓計進(jìn)行測定(如圖2-12)。其原理是當(dāng)土壤處于非飽和時，由于吸力張力計中的水將通過多孔陶頭被吸入水中，那么與負(fù)壓計相通的水分就補(bǔ)充，水柱降低，則降低的水柱即為吸力(如圖2-13)。圖2-12 負(fù)壓計實物zS水基準(zhǔn)面非飽和土壤負(fù)壓計圖2-13 負(fù)壓計原理2.2 包氣帶水運動的基本方程水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 2.2 包氣帶水運動的基本方程u水分特征曲線包氣帶水的基質(zhì)勢或吸力是其含水率的函數(shù)，基

14、質(zhì)勢m或吸力S與含水率關(guān)系的曲線即稱為水分特征曲線(圖2-14)。 包氣帶土壤水分特征曲線須由實驗室測出，不同土壤質(zhì)地的水分特征曲線不同(圖2-14a)，即使是同一土壤由于結(jié)構(gòu)不同、干容重不等，其水分特征曲線也不相同(圖2-14b) 。水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 許多實驗表明，對于同一個土樣，即使在其它外界條件不變的情況下，土壤在由濕變干的脫濕過程，以及由干變濕的吸濕過程所測得的水分特征曲線是不相同的，產(chǎn)生所謂的滯后現(xiàn)象 (圖2-15)水分特征曲線斜率的倒數(shù)(或負(fù)倒數(shù))稱為(比)容水率，即或容水率或比容水率表示單位基質(zhì)勢(或吸力)的變化引起的含水量變化值，

15、它隨土壤含水率或包氣帶水基質(zhì)勢m(或吸力S)而變化，可記為C()、C(m)或C(S)。水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 2.2 包氣帶水運動的基本方程u包氣帶水滲流的基本定律包氣帶流動的達(dá)西定律1931年，理查德(LARichards)最早提出，可以將達(dá)西定律引伸應(yīng)用于包氣帶水的運動。不過，這時的滲透系數(shù)K不再是一個常值，而是一個與包氣帶含水率 有關(guān)的函數(shù)值，記為K=K()。 因此，包氣帶水運動的達(dá)西定律可表示為lKV)()(水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 式中 V包氣帶水運動的斷面平均滲透速度； K()與包氣帶含水率有關(guān)的包氣

16、帶滲透系數(shù)，也稱導(dǎo)水率； l包氣帶水的滲透距離； ()與包氣帶含水率有關(guān)的包氣帶水的土壤水勢， =z+ m； ()則指相距l(xiāng)的兩處包氣帶水的土壤水勢差，而 則為其土壤水勢梯度。l)(水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 在笛卡爾坐標(biāo)系中，包氣帶水的達(dá)西公式沿三個垂直方向的表達(dá)式記為xKVxx)()(yKVyy)()(zKVzz)()(2.2 包氣帶水運動的基本方程包氣帶的滲透系數(shù)因包氣帶水的滲透系數(shù)K是包氣帶含水率的函數(shù)，而包氣帶基質(zhì)勢m也是含水率的函數(shù)。因此，包氣帶的滲透系取K也基質(zhì)勢的函數(shù)，即K=K(m)。水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)

17、水電學(xué)院 實驗證明，包氣帶的滲透系數(shù)隨含水率的減小而降低，其原因為：隨著含水率的減小，包氣帶孔隙的實際過水面積將減少，因此在單位時間內(nèi)通過包氣帶。單位斷面積的水量相應(yīng)減小在包氣帶含水率減小的過程，較大孔隙中的水分率先排出，余下的水分必將在較小的土壤空隙中流動，其所受的阻力相應(yīng)增大；隨著水分愈趨于在小孔隙中流動，其流程必然更加彎曲，從而使實際流速相應(yīng)降低。非飽和狀態(tài)的包氣帶滲透系數(shù)K()恒低于飽和狀態(tài)的飽水帶滲透系數(shù)K，兩者的比值稱之為相對滲透相對滲透率率Kr。其與土壤含水率的關(guān)系曲線，如圖2-16水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 2.2 包氣帶水運動的基本方程u

18、包氣帶水運動的基本微分方程邊長為x、y、z；時段 tP點:滲透速度=V(Vx,Vy,Vz)，水的密度=x方向兩側(cè)面的流速分別為：2xxVVxx2xxVVxx左側(cè)面：左側(cè)面：右側(cè)面：右側(cè)面：y方向兩側(cè)面的流速分別為：2yyVVyy2yyVVyy后側(cè)面：后側(cè)面：前側(cè)面：前側(cè)面：水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 z方向兩側(cè)面的流速分別為：2zzVVzz2zzVVzz下側(cè)面：上側(cè)面：x方向兩側(cè)面的徑流量方向兩側(cè)面的徑流量(質(zhì)量質(zhì)量)：tzyxxVVxx)2(左側(cè)面(流入)為：tzyxxVVxx)2(右側(cè)面(流出)為：x方向質(zhì)量差：tzyxxVVtzyxxVVxxxx)2

19、()2(流入量-流出量=tzyxxVx水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 y方向質(zhì)量差：tzxyyVVtzxyyVVyyyy)2()2(流入量-流出量=z方向質(zhì)量差：tyxzzVVtyxzzVVzzzz)2()2(流入量-流出量=2.2 包氣帶水運動的基本方程tzyxyVytzyxzVz水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 設(shè)t時刻微元體的含水率為， t時間段內(nèi)的含水率變化為tt則 t時間段內(nèi)的水量變化為:zyxtt根據(jù)質(zhì)量守恒原理，有zyxtttzyxzVtzyxyVtzyxxVzyx化簡得：tzVyVxVzyx)(將包氣帶水運動的達(dá)

20、西公式(即下面三式)代入上式，水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 xKVxx)()(yKVyy)()(zKVzz)()(可得：)()()(zKzyKyxKxtzyx將 =z+ m代入上式，得zKzKzyKyxKxtzmzmymx)()()()(上式為均質(zhì)各向異性包氣帶介質(zhì)中包氣帶水運動的基本微分方程式，也稱為理查德(Richards)方程2.2 包氣帶水運動的基本方程水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 2.2 包氣帶水運動的基本方程u各種形式的Richards方程以基質(zhì)勢m為變量的基本方程 包氣帶滲透系數(shù)K和容水率C均可表示為含水率的

21、函數(shù)K()和C()，也可表示為基質(zhì)勢m的函數(shù)K(m) 和C(m)。由此，可將Richards方程的左端改寫為tCtddtmmmm)(將Richards方程中的K()用K(m)代換，得zKzKzyKyxKxtCmzmmzmmymmxmm)()()()()(將Richards方程中的m 用毛管負(fù)壓水頭hm代換(m = hm)，得zhKzhhKzyhhKyxhhKxthhCmzmmzmmymmxmm)()()()()(水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 2.2 包氣帶水運動的基本方程以含水率為因變量的方程 取包氣帶滲透系數(shù)K() 和容水率C()的比值，定義為包氣帶的擴(kuò)散

22、系數(shù)D()，即ddKddKCKDmm)(/ )()()()( 擴(kuò)散系數(shù)D()的量綱為L2T-1， 它也是含水率 、基質(zhì)勢m或吸力S的函數(shù)。先將Richards方程寫成以下形式，zKzKzyKyxKxtzmzmymx)()()()( 由擴(kuò)散系數(shù)D()的定義，可得zKzDzyDyxDxtzzyx)()()()( 對于二維和一維只要在上述方程中降維即可。)(xDxt對于一維垂向流動可寫為zKzDztz)()(對于一維水平流動可寫為水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 包氣帶水運動方程的應(yīng)用包氣帶水運動方程的應(yīng)用水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 包包氣氣帶帶水水運運動動方方程程的的應(yīng)應(yīng)用用水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院四川大學(xué)水電學(xué)院 包氣帶水運動方程的應(yīng)用包氣帶水運動方程的應(yīng)用水文地質(zhì)與地下水水文地質(zhì)與地下水四川大學(xué)水電學(xué)院