等邊三角形提高知識講解

1、等邊三角形（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定.2. 掌握含30°角的直角三角形的一個主要性質(zhì)3. 熟練運(yùn)用等邊三角形的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行推理和計算【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等邊三角形等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.要點(diǎn)詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形也就是說等腰三角形包括等邊三角形要點(diǎn)二、等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60°.要點(diǎn)三、等邊三角形的判定等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60°

2、;的等腰三角形是等邊三角形要點(diǎn)四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半. 要點(diǎn)詮釋：這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.【典型例題】類型一、等邊三角形1、已知：如圖，B、C、E三點(diǎn)共線，都是等邊三角形，連結(jié)AE、BD分別交CD、AC于N、M，連接MN.求證：AEBD，MNBE.證明：，都是等邊三角形BCAC，CECD，1360°123180°260°在和中（

3、已證）BCDACE （SAS）BDAE（全等三角形對應(yīng)邊相等）（全等三角形對應(yīng)角相等）在和中（已證）BMCANC（ASA）MCNC（全等三角形對應(yīng)邊相等）260°MCN是等邊三角形（有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形）660°，61MNBE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）【總結(jié)升華】本題應(yīng)從等邊三角形的性質(zhì)出發(fā)，利用三角形全等證明AEBD；為證明MNBE，可先證明MNC為等邊三角形，再利用角去轉(zhuǎn)化證明.舉一反三：【變式】（2014秋利通區(qū)校級期末）如圖，ABD，ACE都是正三角形，BE和CD交于O點(diǎn)，則BOC= 度【答案】120°解：ABD，ACE都是正

4、三角形AD=AB，DAB=EAC=60°，AC=AE，DAC=EABDACBAE（SAS）DC=BE，ADC=ABE，AEB=ACD，BOC=CDB+DBE=CDB+DBA+ABE=ADC+CDB+DBA=120°2、如圖，ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，使AEBD，連接CE、DE. 求證：CEDE.【思路點(diǎn)撥】此題如果直接找含有CE和DE的三角形找不到，也不方便證ECDEDC，聯(lián)想的全等三角形的性質(zhì)，把原等邊ABC擴(kuò)展成大等邊BEF后，易證EBCEFD.【答案與解析】證明：延長BD至F，使DFAB，連接EFABC為等邊三角形ABBC, B60ºA

5、EBD，DFABAEABBDDF即BEBFBEF為等邊三角形BEEF, F60º在EBC與EFD中EBCEFDECED【總結(jié)升華】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，關(guān)鍵是在現(xiàn)有圖形不能解決問題時，將原圖補(bǔ)全成為有對稱美感的等邊三角形，對學(xué)生綜合運(yùn)用知識解答問題的能力要求較高.舉一反三：【變式】如圖所示，ABC是正三角形，BDC是頂角BDC120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN試探究線段CN、BM、MN之間的關(guān)系，并加以證明【答案】對于此類題，三條線段之間的關(guān)系一般是它們的和差關(guān)系，證明方法通

6、常采用截長補(bǔ)短法 證明：如圖所示，延長AC至M1，使CM1BM，連接DM1 ABC是正三角形， ABCACB60° BDC120°，且BDCD， DBCDCB30° ABDACD90° 又 BDCD，BMCM1， RtBDMRtCDM1(SAS) DMDM1，BDMCDM1， MDM1MDCCDM1MDCBDMBDC120° 又 MDN60° M1DNMDN60° 又 DMDM1，DNDN， MDNM1DN(SAS) MNM1NNCM1CCNBM3、（2014春宜賓校級期末）如圖所示，某船上午11時30分在A處觀測海島B在北

7、偏東60°方向，該船以每小時10海里的速度航行到C處，再觀測海島B在北偏東30°方向，又以同樣的速度繼續(xù)航行到D處，再觀測海島在北偏西30°方向，當(dāng)輪船到達(dá)C處時恰好與海島B相距20海里，請你確定輪船到達(dá)C處和D處的時間解：在A處觀測海島B在北偏東60°方向， BAC=30°，C點(diǎn)觀測海島B在北偏東30°方向， BCD=60°，BAC=CBA=30°， AC=BCD點(diǎn)觀測海島B在北偏西30°方向， BDC=60°，BCD=60°，CBD=60°，BCD為等邊三角形， BC=B

8、D，BC=20， BC=AC=CD=20，船以每小時10海里的速度從A點(diǎn)航行到C處，又以同樣的速度繼續(xù)航行到D處，船從A點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)所用的時間為：20÷10=2（小時），船從C點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)所用的時間為：20÷10=2（小時），船上午11時30分在A處出發(fā)，D點(diǎn)觀測海島B在北偏西30°方向到達(dá)D點(diǎn)的時間為13時30分+2小時=15時30分，答：輪船到達(dá)C處的時間為13時30分，到達(dá)D處的時間15時30分【總結(jié)升華】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、外角的性質(zhì)、余角的性質(zhì)等知識點(diǎn)，關(guān)鍵在于通過求相關(guān)角的度數(shù)，推出相關(guān)邊的關(guān)系，熟練運(yùn)用航程、時間、速度的關(guān)系式，認(rèn)真地進(jìn)行

9、計算類型二、含30°的直角三角形4、如圖所示，A60°，CEAB于E，BDAC于D，BD與CE相交于點(diǎn)H，HD1，HE2，試求BD和CE的長解：BDAC于D，A60°， ABD90°60°30°，在RtBEH中，HEB90°，EBH30°BH2EH4同理可得，CH2HD2， BDBHHD415 CECHHE224【總結(jié)升華】已知條件中出現(xiàn)60°角與直角三角形并存時，應(yīng)考慮到“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”，進(jìn)而把三角形中角與角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊與邊之間的關(guān)

10、系，充分應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想來解決問題舉一反三：【變式】如圖所示，在ABC中，ABAC，D是BC邊上的點(diǎn)，DEAB，DFAC，垂足分別為點(diǎn)E、F，BAC120° 求證：證明： 在ABC中，ABAC，BAC120°， BC DEAB，DFAC， ， 5、如圖所示，在等邊ABC中，AECD，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQAD于Q，求證：BP2PQ【思路點(diǎn)撥】(1)從結(jié)論入手，從要證BP2PQ聯(lián)想到要求PBQ30°(2)不能盲目地用截長補(bǔ)短法尋找要證的“倍半”關(guān)系本題適合用“兩頭湊”的方法，從結(jié)論入手找已知條件，即BP2PQPBQ30°，另一方面從已知條件找結(jié)論，即由條件ACDBAEBPQ60°PBQ30°，分析時要注意聯(lián)想與題目有關(guān)的性質(zhì)定理證明： ABC為等邊三角形， ACBCAB，CBAC60°在ACD和BAE中， ACDBAE(SAS) CADABE CADBAPBAC60°