等邊三角形提高知識(shí)講解

1、等邊三角形（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定.2. 掌握含30°角的直角三角形的一個(gè)主要性質(zhì)3. 熟練運(yùn)用等邊三角形的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行推理和計(jì)算【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等邊三角形等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.要點(diǎn)詮釋?zhuān)河啥x可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形要點(diǎn)二、等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.要點(diǎn)三、等邊三角形的判定等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°

2、;的等腰三角形是等邊三角形要點(diǎn)四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角是30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)哼@個(gè)定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.【典型例題】類(lèi)型一、等邊三角形1、已知：如圖，B、C、E三點(diǎn)共線，都是等邊三角形，連結(jié)AE、BD分別交CD、AC于N、M，連接MN.求證：AEBD，MNBE.證明：，都是等邊三角形BCAC，CECD，1360°123180°260°在和中（

3、已證）BCDACE （SAS）BDAE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）在和中（已證）BMCANC（ASA）MCNC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）260°MCN是等邊三角形（有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形）660°，61MNBE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【總結(jié)升華】本題應(yīng)從等邊三角形的性質(zhì)出發(fā)，利用三角形全等證明AEBD；為證明MNBE，可先證明MNC為等邊三角形，再利用角去轉(zhuǎn)化證明.舉一反三：【變式】（2014秋利通區(qū)校級(jí)期末）如圖，ABD，ACE都是正三角形，BE和CD交于O點(diǎn)，則BOC= 度【答案】120°解：ABD，ACE都是正

4、三角形AD=AB，DAB=EAC=60°，AC=AE，DAC=EABDACBAE（SAS）DC=BE，ADC=ABE，AEB=ACD，BOC=CDB+DBE=CDB+DBA+ABE=ADC+CDB+DBA=120°2、如圖，ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，使AEBD，連接CE、DE. 求證：CEDE.【思路點(diǎn)撥】此題如果直接找含有CE和DE的三角形找不到，也不方便證ECDEDC，聯(lián)想的全等三角形的性質(zhì)，把原等邊ABC擴(kuò)展成大等邊BEF后，易證EBCEFD.【答案與解析】證明：延長(zhǎng)BD至F，使DFAB，連接EFABC為等邊三角形ABBC, B60ºA

5、EBD，DFABAEABBDDF即BEBFBEF為等邊三角形BEEF, F60º在EBC與EFD中EBCEFDECED【總結(jié)升華】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，關(guān)鍵是在現(xiàn)有圖形不能解決問(wèn)題時(shí)，將原圖補(bǔ)全成為有對(duì)稱(chēng)美感的等邊三角形，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解答問(wèn)題的能力要求較高.舉一反三：【變式】如圖所示，ABC是正三角形，BDC是頂角BDC120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN試探究線段CN、BM、MN之間的關(guān)系，并加以證明【答案】對(duì)于此類(lèi)題，三條線段之間的關(guān)系一般是它們的和差關(guān)系，證明方法通

6、常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法 證明：如圖所示，延長(zhǎng)AC至M1，使CM1BM，連接DM1 ABC是正三角形， ABCACB60° BDC120°，且BDCD， DBCDCB30° ABDACD90° 又 BDCD，BMCM1， RtBDMRtCDM1(SAS) DMDM1，BDMCDM1， MDM1MDCCDM1MDCBDMBDC120° 又 MDN60° M1DNMDN60° 又 DMDM1，DNDN， MDNM1DN(SAS) MNM1NNCM1CCNBM3、（2014春宜賓校級(jí)期末）如圖所示，某船上午11時(shí)30分在A處觀測(cè)海島B在北

7、偏東60°方向，該船以每小時(shí)10海里的速度航行到C處，再觀測(cè)海島B在北偏東30°方向，又以同樣的速度繼續(xù)航行到D處，再觀測(cè)海島在北偏西30°方向，當(dāng)輪船到達(dá)C處時(shí)恰好與海島B相距20海里，請(qǐng)你確定輪船到達(dá)C處和D處的時(shí)間解：在A處觀測(cè)海島B在北偏東60°方向， BAC=30°，C點(diǎn)觀測(cè)海島B在北偏東30°方向， BCD=60°，BAC=CBA=30°， AC=BCD點(diǎn)觀測(cè)海島B在北偏西30°方向， BDC=60°，BCD=60°，CBD=60°，BCD為等邊三角形， BC=B

8、D，BC=20， BC=AC=CD=20，船以每小時(shí)10海里的速度從A點(diǎn)航行到C處，又以同樣的速度繼續(xù)航行到D處，船從A點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)所用的時(shí)間為：20÷10=2（小時(shí)），船從C點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)所用的時(shí)間為：20÷10=2（小時(shí)），船上午11時(shí)30分在A處出發(fā)，D點(diǎn)觀測(cè)海島B在北偏西30°方向到達(dá)D點(diǎn)的時(shí)間為13時(shí)30分+2小時(shí)=15時(shí)30分，答：輪船到達(dá)C處的時(shí)間為13時(shí)30分，到達(dá)D處的時(shí)間15時(shí)30分【總結(jié)升華】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、外角的性質(zhì)、余角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于通過(guò)求相關(guān)角的度數(shù)，推出相關(guān)邊的關(guān)系，熟練運(yùn)用航程、時(shí)間、速度的關(guān)系式，認(rèn)真地進(jìn)行

9、計(jì)算類(lèi)型二、含30°的直角三角形4、如圖所示，A60°，CEAB于E，BDAC于D，BD與CE相交于點(diǎn)H，HD1，HE2，試求BD和CE的長(zhǎng)解：BDAC于D，A60°， ABD90°60°30°，在RtBEH中，HEB90°，EBH30°BH2EH4同理可得，CH2HD2， BDBHHD415 CECHHE224【總結(jié)升華】已知條件中出現(xiàn)60°角與直角三角形并存時(shí)，應(yīng)考慮到“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，進(jìn)而把三角形中角與角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊與邊之間的關(guān)

10、系，充分應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想來(lái)解決問(wèn)題舉一反三：【變式】如圖所示，在ABC中，ABAC，D是BC邊上的點(diǎn)，DEAB，DFAC，垂足分別為點(diǎn)E、F，BAC120° 求證：證明： 在ABC中，ABAC，BAC120°， BC DEAB，DFAC， ， 5、如圖所示，在等邊ABC中，AECD，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQAD于Q，求證：BP2PQ【思路點(diǎn)撥】(1)從結(jié)論入手，從要證BP2PQ聯(lián)想到要求PBQ30°(2)不能盲目地用截長(zhǎng)補(bǔ)短法尋找要證的“倍半”關(guān)系本題適合用“兩頭湊”的方法，從結(jié)論入手找已知條件，即BP2PQPBQ30°，另一方面從已知條件找結(jié)論，即由條件ACDBAEBPQ60°PBQ30°，分析時(shí)要注意聯(lián)想與題目有關(guān)的性質(zhì)定理證明： ABC為等邊三角形， ACBCAB，CBAC60°在ACD和BAE中， ACDBAE(SAS) CADABE CADBAPBAC60°