第6講微分方程

1、第六講 微分方程內(nèi)容提要： 一、 微分方程的概念1 微分方程：2 微分方程的階3 微分方程的解隱式解4 微分方程的通解與隱式通解5 微分方程的特解6 微分方程的初值問題7 微分方程的積分曲線8 增根與失根問題：（奇解：不能從通解中得到的解）例1 求微分方程的通解。解：。 增根：原方程解的曲線不過原點例2 解方程。解：JCP306，通解為：；失根：實際上微分方程的解包括或說積分曲線過原點。 建議：注意題目是 解方程 還是 求方程的通解二、 一階微分方程1 可分離變量方程： 例。解：拆不成就捆令成可分離了注意倒過來的情況：-JCP3132 齊次方程： 3 一階線性方程：其解：建議：例即：注意倒過來

2、的情況：，即4 *貝努利方程三、 *可降階的微分方程1 直接積分型2 不顯含Y型3 不顯含X型四、 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)1 齊次的：結(jié)論1：如果與是方程的兩個解，則也是其解結(jié)論2：如果與是方程的兩個無關(guān)的解，則是方程的通解推論：如果是齊次方程的N個無關(guān)的解，則其通解為 2 非齊次的：結(jié)論1：設(shè)是方程的一個特解，則是對應(yīng)的齊次方程的通解，則是非齊次的通解結(jié)論2：如果非齊次方程為而與分別是方程 和的特解，則是原方程的特解五、 二階常系數(shù)線性微分方程1 常系數(shù)齊次線性微分方程特征方程的兩個根微分方程的通解兩個不相等的實根兩個不相等的實根一對共軛復(fù)根例1： 例2： 例3： 2 常系數(shù)非齊次線性微分

3、方程（簡單的） 特解的求法：待定系數(shù)法，（常數(shù)變易法，微分算子法） 結(jié)論1：如果，則方程有形如的特解， 例1： 例2： 例3 解1：不是特征方程的根，故代入原方程得C=1 解2：是特征方程的單根，故代入原方程得解3：是特征方程的重根，故代入原方程得 結(jié)論2：如果，則方程有形如的特解， ， 例4： 例5 解4：是特征方程的單根，故代入原方程得即： 解5：不是特征方程的單根，故代入原方程得即：六、 微分方程的簡單應(yīng)用1 幾何中的應(yīng)用2 *力學(xué)中的應(yīng)用3 經(jīng)濟應(yīng)用第六講 微分方程-題型一、 解與通解問題例 ，通解，不包括二、 一階線性方程：其解：例1 設(shè)可導(dǎo)，且，求解：將原方程兩邊乘以X，得對左端積

4、分令，求導(dǎo)得：即：通解：例2 求解微分方程解：，對應(yīng)的齊次方程：的解為，再用常系數(shù)變易法代入原方程求出解。解二：直接用公式：通解為，故通解為練習(xí)：求方程的通解。 （ 三、 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)例 解：對應(yīng)齊次方程通解為： （特征方程為）的特解為代入得C=1/2，即的特解為代入得：即： 原方程的通解為四、 微分方程的初值問題例 設(shè)為一階連續(xù)函數(shù)，且滿足，求解：顯然，則， 注意邊值條件： 齊次方程的通解為： 非齊次方程的一個特解為：代入解得故通解為： 由初值條件得故注意：積分方程化為微分方程時，不要忘記找出隱含的初始條件。五、 簡單應(yīng)用例 （01S2）設(shè)L是一條平面曲線，若上任一點到坐標(biāo)原點的距離，恒等于該點處的切線在Y軸上的截距，且L經(jīng)過，試求L的方程。解：設(shè)曲線L過點的切線方程為，令X=0，則該切線在Y軸上的截距為，由題設(shè)有這是齊次微分