第6講微分方程

1、第六講 微分方程內(nèi)容提要： 一、 微分方程的概念1 微分方程：2 微分方程的階3 微分方程的解隱式解4 微分方程的通解與隱式通解5 微分方程的特解6 微分方程的初值問題7 微分方程的積分曲線8 增根與失根問題：（奇解：不能從通解中得到的解）例1 求微分方程的通解。解：。 增根：原方程解的曲線不過原點(diǎn)例2 解方程。解：JCP306，通解為：；失根：實(shí)際上微分方程的解包括或說積分曲線過原點(diǎn)。 建議：注意題目是 解方程 還是 求方程的通解二、 一階微分方程1 可分離變量方程： 例。解：拆不成就捆令成可分離了注意倒過來的情況：-JCP3132 齊次方程： 3 一階線性方程：其解：建議：例即：注意倒過來

2、的情況：，即4 *貝努利方程三、 *可降階的微分方程1 直接積分型2 不顯含Y型3 不顯含X型四、 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)1 齊次的：結(jié)論1：如果與是方程的兩個(gè)解，則也是其解結(jié)論2：如果與是方程的兩個(gè)無關(guān)的解，則是方程的通解推論：如果是齊次方程的N個(gè)無關(guān)的解，則其通解為 2 非齊次的：結(jié)論1：設(shè)是方程的一個(gè)特解，則是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則是非齊次的通解結(jié)論2：如果非齊次方程為而與分別是方程 和的特解，則是原方程的特解五、 二階常系數(shù)線性微分方程1 常系數(shù)齊次線性微分方程特征方程的兩個(gè)根微分方程的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)不相等的實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根例1： 例2： 例3： 2 常系數(shù)非齊次線性微分

3、方程（簡單的） 特解的求法：待定系數(shù)法，（常數(shù)變易法，微分算子法） 結(jié)論1：如果，則方程有形如的特解， 例1： 例2： 例3 解1：不是特征方程的根，故代入原方程得C=1 解2：是特征方程的單根，故代入原方程得解3：是特征方程的重根，故代入原方程得 結(jié)論2：如果，則方程有形如的特解， ， 例4： 例5 解4：是特征方程的單根，故代入原方程得即： 解5：不是特征方程的單根，故代入原方程得即：六、 微分方程的簡單應(yīng)用1 幾何中的應(yīng)用2 *力學(xué)中的應(yīng)用3 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用第六講 微分方程-題型一、 解與通解問題例 ，通解，不包括二、 一階線性方程：其解：例1 設(shè)可導(dǎo)，且，求解：將原方程兩邊乘以X，得對(duì)左端積

4、分令，求導(dǎo)得：即：通解：例2 求解微分方程解：，對(duì)應(yīng)的齊次方程：的解為，再用常系數(shù)變易法代入原方程求出解。解二：直接用公式：通解為，故通解為練習(xí)：求方程的通解。 （ 三、 高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)例 解：對(duì)應(yīng)齊次方程通解為： （特征方程為）的特解為代入得C=1/2，即的特解為代入得：即： 原方程的通解為四、 微分方程的初值問題例 設(shè)為一階連續(xù)函數(shù)，且滿足，求解：顯然，則， 注意邊值條件： 齊次方程的通解為： 非齊次方程的一個(gè)特解為：代入解得故通解為： 由初值條件得故注意：積分方程化為微分方程時(shí)，不要忘記找出隱含的初始條件。五、 簡單應(yīng)用例 （01S2）設(shè)L是一條平面曲線，若上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，恒等于該點(diǎn)處的切線在Y軸上的截距，且L經(jīng)過，試求L的方程。解：設(shè)曲線L過點(diǎn)的切線方程為，令X=0，則該切線在Y軸上的截距為，由題設(shè)有這是齊次微分