第八章彎曲變形(講稿)

1、第八章 彎曲變形同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院 顧志榮一、教學(xué)目標(biāo)掌握求梁變形的兩種方法：積分法和疊加法，明確疊加原理的使用條件，掌握用變形比較法求解靜不定梁。二、教學(xué)內(nèi)容彎曲變形的量度及符號(hào)規(guī)定；撓曲線近似微分方程及其積分；計(jì)算彎曲變形的兩種方法；用變形比較法解簡(jiǎn)單的超靜定梁三、重點(diǎn)難點(diǎn)梁的變形分析。撓曲線近似微分方程。積分法求梁的變形。疊加法求梁的變形。用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁。四、教學(xué)方式 采用啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問(wèn)題。五、計(jì)劃學(xué)時(shí) 4學(xué)時(shí)六、實(shí)施學(xué)時(shí)七、講課提綱回顧：彎曲內(nèi)力在外力作用下，梁的內(nèi)力沿軸線的變化規(guī)律。彎曲應(yīng)力在外力作用下，梁內(nèi)應(yīng)力沿橫截面高度的分布

2、規(guī)律。本章彎曲變形在外力作用下，梁在空間位置的變化規(guī)律。研究彎曲變形的目的剛度計(jì)算；解簡(jiǎn)單的超靜定梁。本章的基本內(nèi)容彎曲變形的量度及符號(hào)規(guī)定；撓曲線近似微分方程及其積分；計(jì)算彎曲變形的兩種方法；用變形比較法解簡(jiǎn)單的超靜定梁。（一）、彎曲變形的量度及其符號(hào)規(guī)定1、度量彎曲變形的兩個(gè)量：撓度：梁軸線上的點(diǎn)在垂直于梁軸線方向的所發(fā)生的線位移稱為撓度。（工程上的一般忽略水平線位移）圖8-1轉(zhuǎn)角：梁變形后的橫截面相對(duì)于原來(lái)橫截面繞中性軸所轉(zhuǎn)過(guò)的角位移稱為轉(zhuǎn)角。2、符號(hào)規(guī)定：坐標(biāo)系的建立：坐標(biāo)原點(diǎn)一般設(shè)在梁的左端，并規(guī)定：以變形前的梁軸線為x軸，向右為正；以y軸代表曲線的縱坐標(biāo)（撓度），向上為正。撓度的符

3、號(hào)規(guī)定：向上為正，向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角的符號(hào)規(guī)定：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正；順時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。（二）、撓曲線近似微分方程及其積分1、撓曲線在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線在彎曲平面內(nèi)成為一條曲線，這條曲線稱為撓曲線。圖8-22、撓曲線近似微分方程數(shù)學(xué)上：曲線的曲率與曲線方程間的關(guān)系材力上：撓曲線的曲率與梁上彎矩和抗彎剛度間的關(guān)系顯然，撓曲線的曲線方程與梁的彎矩剛度間的關(guān)系可以用下式表示：這個(gè)等式稱為撓曲線近似微分方程近似解釋：忽略了剪力的影響；由于小變形，略去了曲線方程中的高次項(xiàng)。3、撓曲線近似微分方程的積分轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程對(duì)撓曲線近似微分方程積分一次，得轉(zhuǎn)角方程：再積分一次，得撓曲線方程：積

4、分常數(shù)的確定及其物理意義和幾何意義積分常數(shù)的數(shù)目取決于的分段數(shù)n段積分常數(shù)2n個(gè)舉例：圖8-3分2段，則積分常數(shù)2x2=4個(gè)積分常數(shù)的確定邊界條件和連續(xù)條件：邊界條件：梁在其支承處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，這樣的已知條件稱為邊界條件。連續(xù)條件：梁的撓曲線是一條連續(xù)、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個(gè)不同的撓度值或轉(zhuǎn)角值，這樣的已知條件稱為連續(xù)條件。積分常數(shù)與邊界條件、連續(xù)條件之間的關(guān)系：積分常數(shù)2n個(gè)=2n個(gè) 邊界條件連續(xù)條件圖8-3所示的例題中：邊界條件： 連續(xù)條件：例題： 列出圖8-4所示結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)條件。圖80-4解：邊界條件： 連續(xù)條件：積分常數(shù)的物理意義和幾何意

5、義物理意義：將x=0代入轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，得即坐標(biāo)原點(diǎn)處梁的轉(zhuǎn)角，它的EI倍就是積分常數(shù)C；即坐標(biāo)原點(diǎn)處梁的撓度的EI倍就是積分常數(shù)D。幾何意義：C轉(zhuǎn)角D撓度舉例：（三）、計(jì)算彎曲變形的兩種方法1、積分法基本辦法利用積分法求梁變形的一般步驟：建立坐標(biāo)系（一般：坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在梁的左端），求支座反力，分段列彎矩方程；分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對(duì)其積分兩次；利用邊界條件，連續(xù)條件確定積分常數(shù)；建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程；計(jì)算指定截面的轉(zhuǎn)角和撓度值，特別注意和及其所在截面。積分法求梁變形舉例：用積分法求圖示梁、：圖8-5解：分段建立彎矩方程AB段： （0<x1）BC段： （）分段建立近似

6、微分方程，并對(duì)其積分兩次AB段：即：BC段：利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù)由邊界條件確定C1、D1：當(dāng)時(shí)， 由（1）式得 C1=0 ；當(dāng)時(shí)， 由（2）式得 D1=0 。由連續(xù)條件確定C2、D2：當(dāng)時(shí)，即聯(lián)立、式子： 得 當(dāng)時(shí)，即聯(lián)立、式：得D2=0分段建立轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程：AB段：BC段：求梁指定截面上的轉(zhuǎn)角和撓度當(dāng)時(shí)，由式得， ； 由式得，當(dāng)時(shí)，由式得， ； 由式得，2、疊加法簡(jiǎn)捷方法記住梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的變形撓曲線方程、轉(zhuǎn)角、撓度計(jì)算方式。疊加法的兩種處理方法：荷載疊加圖10-6變形疊加圖8-7荷載疊加法求梁變形舉例：圖8-8求、（圖8-8，b）則求、（圖8-8，b）求、（圖8-

7、8，c）求、（圖8-8，c），=最后：求 、 、（四）、用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁1、超靜定的概念2、用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁的基本思想：解除多余約束，變超靜定梁為靜定梁；用靜定梁與超靜定梁在解除約束處的變形比較，建立協(xié)調(diào)方程；通過(guò)協(xié)調(diào)方程（即補(bǔ)充方程），求出多余的約束反力。3、簡(jiǎn)單超靜定梁求解舉列。求圖示梁的FQ、M圖圖8-9(a)示結(jié)構(gòu)為簡(jiǎn)單（一次）超靜定梁圖8-9(a)解：選基本靜定梁圖8-9(b)解除c端約束，代之以約束力Fc圖8-9(b)建立變形協(xié)調(diào)條件采用荷載疊加法，并對(duì)原梁做如下圖8-9(c)等效變換：圖8-9(c)此時(shí)的變形協(xié)調(diào)條件可以寫成：查表得：將查表所得結(jié)果代入式，解出求A端的約束反力作該梁的FQ、M圖用變形比較法解超靜定梁舉例兩端固定的水平梁AB，在其左端轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)微小角度，如圖所示，試求其約束反力。圖8-10解：解除A端約束，使超靜梁變成靜