第三章離散傅里葉變換

1、第三章 離散傅里葉變換（DFT）教學目的要求l 離散傅里葉變換的定義；l 離散傅里葉變換的性質(zhì)；l 離散傅里葉變換與傅里葉級數(shù)、Z和傅里葉變換之間的關系；l 頻域采樣定理；l DFT的應用。教學重點和難點重點：離散傅里葉變換的定義，離散傅里葉變換與傅里葉級數(shù)、Z和傅里葉變換之間的關系，頻域采樣定理，用DFT對連續(xù)信號進行譜分析。難點：離散傅里葉變換與傅里葉級數(shù)、Z和傅里葉變換之間的關系，頻域采樣定理。引言傅里葉變換，z變換是數(shù)字信號中常用的數(shù)學變換。對于有限長序列，有種更為重要的數(shù)學變換：離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform,簡稱DFT）。其之所以重要：（1）開

2、辟了頻域離散化的道路，使數(shù)字信號處理可以在頻域中進行，增強了它的靈活性；（2）DFT有快速算法，稱之為FFT，從而使信號的實時處理和設備的簡化得到實現(xiàn)；（3）時域離散系統(tǒng)的研究和應用在許多方面取代了傳統(tǒng)的連續(xù)時間系統(tǒng)。3.1 離散傅里葉變換的定義1、DFT的定義設是一個長度為M的有限長序列，定義的N點離散傅里葉變換為，的離散傅里葉逆變換IDFT(Inverse Discrete Fourier Transform)為：式中，N為DFT變換區(qū)間長度，。（1）DFT導出圖形解釋從圖3-1說明DFT的導出過程，幫助我們理解DFT的周期延拓特性，該圖不但概括前面的四種變換（FT，F(xiàn)S，DIFT和DFS

3、），而且涉及了時域、頻域抽象的概念。（2）周期序列的傅里葉級數(shù)設是以N為周期的序列，可展開成傅里葉級數(shù)為：其中，為傅里葉級數(shù)的系數(shù)，表達式為：因為以N為周期、以N為周期，所以也是以N為周期，有，L為整數(shù)，令。定義離散傅里葉級數(shù)，用DFS表示DFS變換對： 周期序列可以看成是對的一個周期作z變換，將z變換在z平面單位圓上按等間隔抽樣得到。數(shù)學表示為：tTp0FTtnDTFTtTpX(k)kx(n)nDFS 圖3-1 DFT的圖形解釋2、DFT與z變換的關系設序列的長度為N，其z變換和DFT分別為：比較上面兩式可得：()或 ()物理意義：l 式表明序列的N點DFT是的z變換在單位圓上的N點等間隔采

4、樣。l 式表明的N點DFT是的FT變換在區(qū)間上的N點等間隔采樣。顯而易見，DFT的變換區(qū)間不同（N）表示對在區(qū)間上的采樣間隔和采樣次數(shù)不同，所以DFT變換結果不同，如圖3-2所示。圖3-2與的關系3、DFT的隱含周期性（1）在前面定義的變換對中，和均為有限長序列，但由于為周期性，使此變換對中的隱含周期性，且周期為N。（2）證明的周期為N對于任意整數(shù)m,總有，k,m,N均為整數(shù)同理可證前面我們也知道。周期為N的周期序列可以看作是序列的周期延拓，即：記，式中表示以N為周期的周期延拓序列，表示n對N求余。例：若，M為整數(shù)，則=。結論：有限長序列的離散傅里葉變換，正好是的周期延拓序列的離散傅里葉級數(shù)系

5、數(shù)的主值序列，即3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)如果和是兩個有限長度序列，長度分別為，且式中a,b為常數(shù)，取，則的N點DFT為其中和分別為和的N點DFT。2、循環(huán)移位性質(zhì)（1）序列的循環(huán)移位設為有限長序列，長度為N,則的 循環(huán)移位定義為上式表明：先將以N為周期進行周期延拓；然后將左移m位得到；最后取的主值序列則得到。圖3-3循環(huán)移位過程示意圖（2）.時域循環(huán)移位定理設是長度N的有限長序列，是的循環(huán)移位，則其中是的DFT，證明：令，則由于上式求和項以N為周期，所以對任一周期上求和結果相同。則：（3）頻域循環(huán)移位定理 如果，則（證明見481）。證明類似于時域循環(huán)移動定理。3、循環(huán)卷積已

6、知若則： 證明見循環(huán)卷積的過程：基本步驟：將，變換成，如圖3-4(a)所示。取主值反轉周期延拓將稱為的循環(huán)反轉。對循環(huán)反轉移位n，取主值或?qū)ρh(huán)移位n。分別取n=0,1,2,N-1將與 對應項相乘再相加得到。最終結果如圖(h)所示2(a)n,m310(b)123n,m-26521-3N=4(c)mm32n=0(d)m30n=1(e)m10n=2(f)2m1n=3(g)232m1(h)1 圖44、復共軛序列的DFT設是的復共軛序列，長度為N，則(3-1)且。證明：根據(jù)DFT的唯一性，只要證明（3-1）式右邊等于左邊即可。又由的隱含周期性有 。同理可證 。5、DFT的共軛對稱性（1）FT的共軛對稱

7、性(關于n=0對稱)，（2）DFT中的，均為有限長序列，長度為N對稱性為關于點對稱。定義有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列有限長共軛對稱序列：有限長共軛反對稱序列：例共軛對稱 共軛反對稱序列 圖5 共軛對稱與共軛反對稱序列示意圖任何有限長序列都可以表示成共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和，即.(3-2) 對（3-2）式n換成N-n，并取復共軛得(3-3)聯(lián)立（3-2），（3-3）可得：任何序列也可以表示實部和虛部(3-4)其中 (3-5)(3-6)（3）DFT的共軛對稱性對（3-4）進行DFT得：(3-7)對（3-5）進行DFT得：.(3-8)對（3-6）進行DFT得(3-9)結論：由（3-7）

8、，（3-8），（3-9）可得其中 任何序列可以表示為共軛對稱和共軛反對稱分量： (3-10)(3-11)(3-12)對(3-10)進行DFT得對(3-11)進行DFT得對(3-12)進行DFT得結論:其中是長度為N的實序列，且，則共軛對稱，即若，則實偶對稱，即若，則實奇對稱，即利用DFT的對稱性質(zhì)，可減少DFT運算量，提高運算效率。3.3 頻域采樣定理1、引言（1）時域定理：在情況下，可以完全不失真的情況下由離散信號恢復連續(xù)時間信號，能否由頻域離散采樣恢復原頻率函數(shù)？其條件是什么？內(nèi)插函數(shù)是什么？（2）是和的采樣與關系 (1)將看作長度為N的有限長序列的DFT，即（3）推導與原序列之間關系，從

9、而導出頻域采樣定理DFTDFSDFT與DFS之間的關系，； l 其中(2)將（1）代入（2）得：由于所以因此(3)式(3)說明：在單位圓上的N點采樣的IDFT(即)，為原序列以N為周期的周期延拓序列的主值序列。（4）頻域抽樣造成時域的周期延拓，因此若是無限序列，則時域周期延拓造成混疊現(xiàn)象，并產(chǎn)生誤差。隨著N的增加，誤差則減少。若是有限長序列，點數(shù)為M，則當對頻域的采樣點數(shù)時，以N為周期進行延拓，就會造成混疊，不能不失真完全恢復。 若是有限長序列，點數(shù)為M，當時，可由完全恢復這就是頻域采樣定理。2、用表示 (1) (2)將式(2)代入式(1)得：式中，因此令(3)則(4)式（4）稱為用表示的內(nèi)插

10、公式，稱為內(nèi)插函數(shù)。當時，（3）式和（4）式就成為的傅里葉變換的內(nèi)插函數(shù)和內(nèi)插公式，即進一步化簡得：在數(shù)字濾波器的結構和設計中，將會看到頻域采樣理論及有關公式可提供一種有用的濾波器結構和濾波器設計途徑。3.4 DFT的應用舉例DFT快速算法FFT的出現(xiàn)，使DFT在數(shù)字通信、語音處理、圖象處理、 功率譜估計、仿真、系統(tǒng)分析等各個領域都有廣泛的應用。各種應用一般都以卷積和相關運算的具體處理為依據(jù)或以DFT作為連續(xù)傅里葉變換的近似為基礎（FT）。只要掌握了這兩種基本應用原理，就為用DFT解決數(shù)字濾波器和系統(tǒng)分析等問題打下了基礎。1、用DFT計算線性卷積（1）循環(huán)卷積（2）時域循環(huán)卷積定理若則時域卷積

11、定理有：DFTIDFTDFT 圖3-6用DFT計算循環(huán)卷積（3）時域卷積的計算方法（循環(huán)卷積）在時域里直接計算；可以按圖3-6所示計算：(因為有FFT，當N很大時，速度提高很多)（4）利用DFT計算線性卷積導出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等條件線性卷積和循環(huán)卷積之間的關系設和都是有限長序列，長度分別為N和M,.(1)其中，所以對照式（1），即(2)和相等的條件式（2）說明等于以L為周期的周期延拓序列的主值序列，由前面可知的長度為。因此，只有當循環(huán)卷積長度時，以L為周期進行延拓無混疊現(xiàn)象。主值序列顯然滿足。取，則可用DFT（FFT）計算線性卷積，如圖7所示補L-N個零點L

12、點DFT+IDFT y(n)補L-M個零點L點DFT 圖7 用DFT計算線性卷積長序列卷積計算（不講），見書2、用DFT對信號進行譜分析譜分析是計算信號的傅里葉變換連續(xù)信號的傅里葉分析不便于計算機進行計算，使其應用受到限制，而DFT是一種時域和頻域均離散化的變換，適合數(shù)值計算。（1） 對連續(xù)時間、非周期信號的傅里葉變換的DFT逼近（即用DFT對連續(xù)時間非周期信號進行譜分析）的傅里葉變換對：用DFT方法計算這一對變換的方法（譜分析）如下：時域有限頻域無限時域無限頻域有限計算：將在t軸上等間隔（T）分段，每一段用一個矩形脈沖代替，脈沖幅度為，然后到矩形脈沖相加。由于因此的近似值為：(3)將序列截成

13、從開始長度為的有限長序列，含N個抽樣點，則（3）式寫為：(4)由于時域采樣，采樣頻率為，則頻域產(chǎn)生以為周期的周期延拓。為了數(shù)值計算，頻域上進行數(shù)字化，即將頻域上一個周期（）分成N段，F(xiàn)為每個采樣點間的間隔，即頻率采樣間隔。計算 頻域采樣（離散），時域就得到原截斷離散時間序列的周期延拓，其周期為，這時各參量之間的關系為：則綜上各步，時域，頻域都是離散化。因為，并將其代入式（3）可得：(5)由（2）式可得：(6)式（5），（6）是求連續(xù)和的方法3、利用DFT對非周期連續(xù)信號傅里葉變換對的全過程抽樣卷積周期延拓周期延拓截短抽樣DFTDFSDTFTDTFTFT周期延拓4、利用DFT計算連續(xù)信號譜分析可

14、能出現(xiàn)的問題（1）頻域響應混疊失真及參數(shù)選擇對連續(xù)信號先進行采樣，變成離散信號才能用DFT（FFT）進行譜分析，采樣頻率滿足采樣定理，否則會在附近發(fā)生混疊現(xiàn)象，因此，理論上（為連續(xù)信號的最高頻率）實際上取應滿足，對確定后，一般在采樣前進行預濾波，濾除高于折疊頻率的頻率分量，以免發(fā)生混疊。若信號最高頻率，按抽樣定理，抽樣前對高于的信號進行濾波一般取。頻域分辨率F（即頻域的采樣間隔）N不變，F(xiàn)減小減小引起譜分析范圍減小不變，F(xiàn)減小N增加，又因增加因此，和N可按下面兩式選擇例1 有一頻譜分析用FFT處理器，抽樣點數(shù)為2的冪，假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理，已給條件為頻率分辨率信號的最高頻率求：最小記錄長度抽樣點的最大間隔T在一個記錄中最小點數(shù)N解： ?。?）頻域泄