第八章空間解析幾何答案(1)

1、第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)§8.1向量及其線性運(yùn)算1.填空題（1）點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn)為（），關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn)為（），關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn)為（）. （2）點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為（），關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為（），關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為（），關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為（）. 2. 已知兩點(diǎn)和，計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角. 解：因?yàn)椋?，方向余弦為，方向角為? 3.在平面上，求與、等距離的點(diǎn). 解：設(shè)該點(diǎn)為，則，即，解得，則該點(diǎn)為. 4.求平行于向量的單位向量的分解式. 解：所求的向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)與反向. 因?yàn)?，所? 5.設(shè)，求向量在各坐標(biāo)軸上的投影及分向量. 解：因?yàn)椋?所以在軸上的投影為，分向

2、量為，軸上的投影為，分向量為，軸上的投影為，分向量為. 6. 在平面上，求與、和等距離的點(diǎn). 解：設(shè)所求的點(diǎn)為，由可得，解之得，故所求的點(diǎn)為. 7.已知點(diǎn)且向量在x軸、y軸和z軸上的投影分別為，求點(diǎn)的坐標(biāo). 解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知，則，即點(diǎn)的坐標(biāo)為. 8.試用向量法證明：三角形各邊依次以同比分之，則三個(gè)分點(diǎn)所成的三角形必與原三角形有相同的重心. 證明：若、是一個(gè)的三個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)三角形的重心為，則設(shè)的同比之分點(diǎn)分別為、，分點(diǎn)的坐標(biāo)為則三角形的重心為. 所以三個(gè)分點(diǎn)所成的三角形必與原三角形有相同的重心. §8.2 數(shù)量積 向量積1.若，求的模. 解：所以. 2.已知，證明：. 證明：

3、由，可得，可知，展開可得，即，故. 3.已知，求. 解：因?yàn)樗裕? 4.已知，求與的夾角及在上的投影. 解：，. 因?yàn)?，所? 5.已知,為單位向量，且滿足，計(jì)算. 解：因?yàn)?，所以，而，所? 6.求與都垂直的單位向量. 解：而，所以. 7.設(shè)，試證、三點(diǎn)共線. 證明：只需證明. 因?yàn)?，所? 8.已知，（1）確定的值，使得與平行. （2）確定的值，使得與垂直. 解：（1）要使與平行，只需，因?yàn)?，而，所以?dāng)時(shí)與平行. （2）要使與垂直，只需，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，與垂直. §8.3 曲面及其方程1.填空題（1）將xOz坐標(biāo)面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為（），繞軸旋

4、轉(zhuǎn)一周，所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為（）. （2）以點(diǎn)為球心，且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程為（）. （3）將坐標(biāo)面的圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為（）. 2.求與點(diǎn)與點(diǎn)之比為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，并注明它是什么曲面. 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為心，半徑為的球面. 3.求與點(diǎn)和點(diǎn)等距離的動(dòng)點(diǎn)的軌跡. 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，由題意知，整理得. 4.寫出下列曲面的名稱，并畫出相應(yīng)的圖形. （1）. 解：該曲面為單葉雙曲面. （2）. 解：該曲面為雙葉雙曲面. （3）. 解：該曲面為旋轉(zhuǎn)橢球面. （4）. 解：該曲面為雙曲柱面. （5）. 解：該曲面為橢圓拋物面. （6）

5、. 解：該曲面為橢圓錐面.§8.4 空間曲線及其方程1.填空題（1）二元一次方程組在平面解析幾何中表示的圖形是（兩相交直線的交點(diǎn)）；它在空間解析幾何中表示的圖形是（兩平面的交線，平行于軸且過點(diǎn)）. （2）旋轉(zhuǎn)拋物面在面上的投影為（），在面上的投影為（），在面上的投影為（）. 2.求球面與平面的交線在面上的投影方程. 解：將代入，得，因此投影方程為. 3.分別求母線平行于軸、軸及軸且通過曲線的柱面方程. 解：在中消去得，即為母線平行于軸且通過曲線的柱面方程. 在中消去得，即為母線平行于軸且通過曲線的柱面方程. 在中消去得，即為母線平行于軸且通過曲線的柱面方程.4.將下列曲線的一般方程化

6、為參數(shù)方程：（1）. 解：將代入得，即. 令，所求的參數(shù)方程為.（2）. 解：做變換，將其帶入方程，即得. 所以參數(shù)方程為（）. 5.求螺旋線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程. 解：螺旋線在面上的投影為，直角坐標(biāo)方程為. 螺旋線在面上的投影為，直角坐標(biāo)方程為. 螺旋線在面上的投影為，直角坐標(biāo)方程為. 6.畫出下列方程所表示的曲線：（1）. （2）. （3）. §8.5 平面及其方程1.填空題（1）一平面過點(diǎn)且平行于向量和，平面的點(diǎn)法式方程為（）,平面的一般方程為（）,平面的截距式方程（）,平面的一個(gè)單位法向量為（）.（2）設(shè)直線的方程為，當(dāng)（）時(shí)，直線過原點(diǎn)；當(dāng)（）且（或有一個(gè)

7、成立）時(shí)，直線平行于軸但不與軸相交；當(dāng)（）時(shí)，直線與軸相交；當(dāng)（）時(shí)，直線與軸重合. 2.求過三點(diǎn)，和的平面方程. 解：由平面的三點(diǎn)式方程知，所求的平面方程為=0，即. 3.求過點(diǎn)且垂直于兩平面和的平面方程. 解：該平面的法向量為，平面的方程為，即. 4.求點(diǎn)到平面的距離. 解：點(diǎn)到平面的距離公式是，因此點(diǎn)到平面的距離為. 5.求平面與各坐標(biāo)面的夾角的余弦. 解：所給平面的法向量為，設(shè)該平面與面、面和面的夾角為、和，于是，. 6.求過點(diǎn)且在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等的平面的方程. 解：設(shè)所求平面的方程為，由于點(diǎn)在平面上，則，所求方程為. 7.分別按下列條件求平面方程：（1）平行于平面且經(jīng)過點(diǎn)；（2

8、）通過軸和點(diǎn)；（3）求平行于軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)和的平面方程. 解：（1）平面的法向量是，可作為所求平面的法向量，因此所求平面的方程為，即. （2）所求平面的法向量即垂直于軸又垂直于向量，所以所求平面的法向量為，因此所求平面的方程為，即. （3）由于所求平面平行于軸，故設(shè)所求平面方程為. 將點(diǎn)和分別代入得及，解得及. 因此所得方程為，即.§8.6 空間直線及其方程1.填空題（1）直線和平面的關(guān)系是（平面與直線互相垂直）. （2）過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程是（）. （3）直線與直線的夾角為（）. 2.化直線為對(duì)稱式方程和參數(shù)方程. 解：直線的方向向量為. 取，代入直線方程可得，. 所以直線

9、的對(duì)稱式方程為. 令，所給直線的參數(shù)方程為. 3.求過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程. 解：直線的方向向量可作為所求平面的法向量，即. 所求平面的方程為，即. 4.求直線與直線夾角的余弦.解：因?yàn)閮芍本€的方向向量為，設(shè)兩直線的夾角為，則. 5.求點(diǎn)在直線上的投影. 解：過作垂直于已知直線的平面，則其法向量，于是平面的方程為，即. 將已知直線的參數(shù)方程代入，可得，因此點(diǎn)在直線上的投影即為平面與直線的交點(diǎn). 6.求直線在平面上的投影直線的方程. 解：設(shè)所給直線的平面束方程為，即，其中為待定常數(shù)，要使該平面與已知平面垂直，則有，解得，將其代入，可得，因此直線在平面上的投影直線方程為. 7.確定的值，使直線

10、與平面平行，并求直線與平面之間的距離. 解：直線的方向向量，要使直線與平面平行，只要（其中為平面的法向量），即，解得. 令，代入直線的方程可得，直線與平面之間的距離. 8.求通過直線的兩個(gè)互相垂直的平面，其中一個(gè)平面平行于直線. 解：設(shè)平面束方程為，即，. 設(shè)平行于直線的平面為，由，可知，令，代入直線的方程，可得平面的方程為，即. 設(shè)垂直于平面的平面為，由，可得，平面的方程為，即. 第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)綜合練習(xí)1.填空題：（1）已知，且與夾角為，則（）. （2）若向量，平行，則（）. （3）已知向量的模為，且與軸的夾角為，與y軸的夾角為，與z軸的夾角為銳角，則=（）. （4）曲線 (

11、a、b為常數(shù))在xOy平面上投影曲線是（）. （5）xOy平面上曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面方程是 （）.（6）直線與平面的夾角 的正弦（）. （7）方程所表示的曲面名稱為（雙曲拋物面）. （8）與兩直線及都平行，且過原點(diǎn)的平面方程是（）. （9）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)的軌跡方程為（）. （10）與兩平面和等距離的平面方程為（）. 2. 設(shè)，求向量，使得成立，這樣的有多少個(gè)，求其中長(zhǎng)度最短的. 解：設(shè)，則，則，因此這樣的，有無窮個(gè). 由于，因此，當(dāng)時(shí)，即長(zhǎng)度最短. 3.已知點(diǎn)和點(diǎn)，試在軸上求一點(diǎn)，使得的面積最小. 解：設(shè)，則，故的面積為，顯然，當(dāng)時(shí)，的面積最小，為，所求

12、點(diǎn)為. 4. 求曲線在各坐標(biāo)平面上的投影曲線方程. 解：在平面投影為；在平面投影為；在zOx平面投影為. 5.求原點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo). 解：過原點(diǎn)作垂直于平面的直線，該直線的方向向量等于平面的法向量，所求直線的對(duì)稱式方程為，即為其參數(shù)方程. 將此參數(shù)方程代入平面，有，解得，即直線與平面的交點(diǎn)為. 設(shè)所求的對(duì)稱點(diǎn)為，則，即所求的對(duì)稱點(diǎn)為.6.求直線在平面上的投影直線繞軸線轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程. 解：過作垂直于平面的平面，所求的直線在平面上的投影就是平面和的交線. 平面的法向量為：，則過點(diǎn)的平面的方程為：，即. 所以投影線為. 將投影線表示為以為參數(shù)的形式：，則繞軸的旋轉(zhuǎn)面的方程為，即. 7

13、.求球心在直線上，且過點(diǎn)和點(diǎn)的球面方程. 解：設(shè)球心為，則，即. 又因?yàn)榍蛐脑谥本€上，直線的參數(shù)方程為，將直線的參數(shù)方程代入，可得，球心坐標(biāo)為，所求球面方程為.8.已知兩條直線的方程是，求過且平行于的平面方程. 解：因?yàn)樗笃矫孢^，所以點(diǎn)在平面上. 由于平面的法向量垂直于兩直線的方向向量，因此平面的法向量為. 因此所求平面的方程為，即.9. 在過直線的所有平面中，求和原點(diǎn)距離最大的平面. 解：設(shè)平面束方程為，即，平面與原點(diǎn)的距離為要使平面與原點(diǎn)的距離最大，只要，即該平面方程為. 10.設(shè)兩個(gè)平面的方程為和（1）求兩個(gè)平面的夾角. （2）求兩個(gè)平面的角平分面方程. （3）求通過兩個(gè)平面的交線，且和坐標(biāo)面垂直的平面方程. 解：（1）兩個(gè)平面的法向量為和，設(shè)兩個(gè)平面的夾角為，則，所以. （2）因?yàn)榻瞧椒置嫔先我庖稽c(diǎn)到兩個(gè)平面的距離相等，由點(diǎn)到平面的距離公式，可得，即，所求