第5章定積分95525

1、第五章 定積分一、基本內(nèi)容（一）基本概念1. 定積分的定義：設(shè)函數(shù)在上有定義，任取分點.把區(qū)間分成個小區(qū)間稱為子區(qū)間，其長度記為在每個小區(qū)間上任取一點，得相應(yīng)的函數(shù)值，作乘積把所有這些乘積加起來，得和式，如果不論區(qū)間分成個小區(qū)間的分法如何及點怎樣取法，當(dāng)分點無限增多（記作）而每個小區(qū)間長度無限縮小，此和式的極限存在，即設(shè)，則稱函數(shù)在可積，并將此極限值稱為函數(shù)在上的定積分。記作，即.(二)定積分的計算1. 變上限積分定義 如果函數(shù)在上連續(xù)，則是積分上限的函數(shù)，稱為變上限的定積分2. 牛頓-萊布尼茲公式設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，是的一個原函數(shù)，則3. 定積分換元積分公式 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間上單值且連

2、續(xù)可導(dǎo)，其值在上變化，且，則有在使用定積分換元公式時，要注意還原同時換積分限.4. 定積分的分部積分公式設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則(三)廣義積分1. 無窮區(qū)間上的廣義積分(1).(2).(3). 無界函數(shù)的廣義積分(1)設(shè)在上連續(xù)，,則(2)設(shè)在上連續(xù)，,則(3) 設(shè)在和上連續(xù)，,則二、練習(xí)題5. 1計算下列定積分：(1).解:原式.(2).解:原式.(3).解:原式由于.所以原式.(4) .解:原式.(5).解:原式,令,則.所以原式.(6).解：原式.(7).解：令,則.原式.(8).解：令,則.原式.(9).解:原式.(10).解:原式.(11).解:原式.(12).解:原式.5.2設(shè)，求

3、.解:.所以原式.5.3判斷下列廣義積分的斂散性：（1）.解：原式.所以原廣義積分收斂（2）.解：原式.所以原廣義積分收斂（3）.解：原式.所以原廣義積分收斂(4).解：原式.所以原廣義積分收斂5.4計算下列極限：（1）.解：原式(2).解：原式，又由原式，所以.(3).解：原式(4) .解：原式.(5)設(shè)連續(xù)，求.解：原式.5.5證明：.解： .又因為：.所以，即.顯然，則有遞推得：.5.6設(shè)為可微函數(shù)的反函數(shù)，且，證明：.證明：令，則，.所以.5.7設(shè)，試求.解:設(shè)，則.所以 ，聯(lián)立上兩式解得.所以.5.8求常數(shù)的值，使.解：.所以,此時原極限,所以.5.9設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，證明：（1）

4、如果為偶函數(shù)，則也為偶函數(shù)；（2）當(dāng)時，如果，則.證明：（1），令.所以：即如果為偶函數(shù)，則也為偶函數(shù).（2）.因為，則單調(diào)遞減，所以，所以 .5.10證明: .證明:令，則.，對.所以.5.11設(shè),求的表達(dá)式.解:,則.所以當(dāng),時，；當(dāng)時，； 當(dāng)時，.即 .5.12設(shè)在上連續(xù)，且，證明：.方法一：證明：令，則.由題意，所以.即，因此在上單調(diào)遞增，.所以 .方法二：證明：根據(jù)柯西施瓦茲不等式即得：.5.13設(shè)，計算.解：.由于，則，.所以，上式.5.14設(shè)和.證明:當(dāng)時是的等價無窮小.證明：.所以,當(dāng)時是的等價無窮小.5.15設(shè)處處連續(xù)，且，求.解：，.所以 .5.16設(shè)連續(xù)，求證： .證明：

5、.對于：.所以 .5.17設(shè),在上連續(xù)，,試證：至少有一點，使成立.證明：令,則.根據(jù)題意，有羅爾定理，使.所以 即 .5.18設(shè)，試求：（1）的極值；（2）曲線的拐點的橫坐標(biāo)；（3）得值.解：（1）.令，則，因為在內(nèi)，在內(nèi)，所以在處取極小值，即極小值為 .（2）.，得.當(dāng)時，,當(dāng)時，,當(dāng)時，.所以是拐點，拐點的橫坐標(biāo)為.(3).三、測驗題1.填空：（1）.解答：.（2）.解答：.（3）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且則.解答：令，則，所以：，得，即.（4）設(shè)，則.解答：兩端求導(dǎo)可得，所以.（5）.解答：令，則.2.單項選擇題：（1）已知，則為（D）.A. B.C. D.解答：（2）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，函數(shù)，其中，

6、則的值為（D）.A.依賴于和 B.依賴于,C.依賴于和,不依賴于 D.依賴于,不依賴于解答：所以選D.（3）若與在上皆可導(dǎo)，且，則必有（C）.A. B.C. D.解答：（略）（4）設(shè)，則（B）. A. B.C. D.解答：,又，所以選B.（5）下列廣義積分收斂的是（D）.A. B.C. D.解答：A.， B.,C., D.所以選D. 2. 計算下列積分：（1）.解：原式.（2）.解：令，.原式.（3）.解：原式.（4）.解：原式.（5）.解：原式.（6）.解：原式.4.計算.解：令，則.,所以.由于 .因此 .5.設(shè)其中為連續(xù)函數(shù)，求.解：令，則.所以，即.兩端求導(dǎo)，得.所以.因此.6.設(shè)在上可導(dǎo)，且，證明：證明：由拉格朗日中值定理：