第一章 連續(xù)性

1、1.1 函數(shù)1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且，又求出()的表達式。（1993北京）解 記，則，且故因此2 函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界（ A ）（A）（1，0） （B）（0，1） （C）（1，2） （D）（2，3）1.2 極限1. = (03年考研題)解 =2. (95考研題) 解: 本題應(yīng)用夾逼原理.3. 設(shè)為常數(shù)，且，則 （北京2001）4. （北京1999）5. 已知北京（1996）解：利用等價無窮小替換的方法求解，事實上，當(dāng)時，故6. (北京2001) 提示：作變量替換7. （北京2000）解：故 8. 若，則 （北京2000）解：當(dāng)時，等價于，等價于，因而，于是9. =(97年考研題)解 當(dāng)時,

2、, 利用等價無窮小替換, 可以得到=(對所用的知識點進行歸納、總結(jié))10. 當(dāng)時，與是等價無窮小，則（05考研題）解 若，則與等價無窮小。另解 =11. （00考研題）設(shè)對任意的，總有，且，則 （D） （A）存在且等于零 （B）存在但不一定為零 （C）一定不存在 （D）不一定存在 解：令，顯然，且，此時1，故（A）和(C)不正確。實際上，不一定存在，例如，但是12. （00考研題）若，則 （ C）A0 B. 6 C. 36 D. 解法1: 由所給的極限式通過運算去求未知的極限是本題的思路.寫出的taylor公式代入原極限式得到，即得36解法2: 通過加項減項的辦法解.而=13. (04考研題)

3、把時的無窮小, , 進行排序, 使排在后面的是前一個的高階無窮小, 則正確的排序是( B)A. B. C. D. 解答: 注意, 這些無窮小都要和進行比較, 找出這些無窮小的階, 然后進行排序.14. 當(dāng)時，下列無窮小量(03年題天津市競賽試題)從低階到高階的排列順序為（D）A. B. C. D.15. 已知, 則 (A)(04年天津市競賽試題)A. 12 B. 3 C. 1 D. 0解: , 所以316. 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù), 且, 求及(04年天津市競賽題)解 因為因此, 由無窮小的階的比較, 得到, 應(yīng)用羅必答法則, , 因此, 再一次應(yīng)用羅必答法則, 有, 即.=17.

4、求（廣東1991）解：利用重要極限，可得18. 設(shè)函數(shù)，求出函數(shù)的解析表達式，并畫出它的圖形（北京競賽題1991）解：可寫成分段函數(shù)，是分段點。設(shè)，證明：（1） 方程在內(nèi)有唯一的實根；（2）求 （北京1994）解：（1）在上連續(xù)，又，由介值定理，存在，使，又當(dāng)時，即在上嚴(yán)格遞增，故是方程在在內(nèi)有唯一的實根。（2）現(xiàn)證明數(shù)列單調(diào)有界由（1），知數(shù)列有界。又因為，故>0因此，即數(shù)列單調(diào)減少，所以存在，設(shè)為，由于，故，由，得令，取極限，有即19. 設(shè)，求（北京1997）解：設(shè)，當(dāng)時，；當(dāng)時，故20. 設(shè)是上遞減的連續(xù)函數(shù)，且，證明數(shù)列收斂，其中（北京2000）分析：應(yīng)用數(shù)列的單調(diào)有界定理，證明

5、過程中要充分運用定積分的性質(zhì)。證明：是上遞減的連續(xù)函數(shù)，知單調(diào)減少。又對任意，知有下界。綜上所述，可見收斂。21. (工科數(shù)學(xué)分析146頁)解 由, 代入原式經(jīng)過計算, 可得= 22. (98考研題) 求(為自然數(shù))解: 因為其中取, 可得=23. (94考研題)計算解法1: 利用三角公式化簡, 得到, 于是=解法2:=解法3: 因為而24. (04考研題) 求解: =練習(xí)題: 求(05考研題)25. (04考研題)余下利用羅必答法則, 結(jié)果=解法2: 26. (97考研題、05天津競賽試題) 解：1注意：分母部分分為兩部分，每一部分都除以為了避免出現(xiàn)錯誤，可以按照下面的方法來做。解法2：令，

6、則余下分子分母同除以，可以計算出極限。27. 已知極限, 試確定常數(shù)和的值(02年天津市競賽試題)解: 由此我們可以得到, 即, 同時28. 求(99考研題)解: =本題的重點是處理29. 求(00年考研題)解: 由于函數(shù)中含有絕對值, 故應(yīng)該分別考慮左、右 極限，因此， 1主要錯誤是將此極限問題分為兩個極限去討論，由于兩個極限都不存在，得出結(jié)論，原極限不存在。30. 設(shè)，證明數(shù)列的極限存在，并求此極限。（02考研題）證明：由題設(shè)，知 ，均為正數(shù)，故設(shè)當(dāng)時，則故由數(shù)學(xué)歸納法知，對任意正整數(shù)，均有又當(dāng)時，故當(dāng)時，即數(shù)列單調(diào)增加，所以由單調(diào)有界數(shù)列必有極限存在準(zhǔn)則知該數(shù)列極限存在。設(shè)，則有知，得到

7、或，顯然與已知不符，因此有31. 設(shè)，。證明存在，并求之。（04天津競賽題）解：因為對任何，恒有，因此數(shù)列有界。余下我們只要證明該數(shù)列單調(diào)即可。，因此，與同號，故當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)增加，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)減少。也就是說，數(shù)列為單調(diào)有界數(shù)列，因而必有極限。設(shè)，可得。利用微分中值定理求極限的例子32. 求極限解：令，則原式在與之間，當(dāng)時，從而原式233. 求極限解：令，則在區(qū)間或上，、滿足柯西中值定理的條件，固有介于與 之間，又因為，所以由兩邊夾法則，知原式34. 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且。證明存在使證明：作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，且有，從而有若等號成立，則，命題得證；若，則異號。由介值定理知，存在，使，即。3

8、5. 求極限 解：因為，所以36. 求極限（1） （2）提示：，1設(shè)，試證明：證明：由，知對任給的，存在，當(dāng)時總有由于顯然，當(dāng)充分大之后，必有，因此，從而證明了1.3 連續(xù)性1. (05考研題)設(shè)函數(shù), 則 ( D)A. 都是的第一類間斷點B. 都是的第二類間斷點C. 是的第一類間斷點, 是的第二類間斷點D. 是的第二類間斷點, 是的第一類間斷點2. (03考研題) 設(shè)為不恒等于零的奇函數(shù), 且存在, 則( D)A. 在處左極限不存在 B. 有跳躍間斷點C. 在處右極限不存在 D. 有可去間斷點3. 設(shè)函數(shù)在上有定義，且函數(shù)與函數(shù)在上都是單調(diào)遞增的，求證：在上連續(xù)。（1992北京） 證明：對于

9、，當(dāng)時，因為單增，故有因為單增，故有從而有令，取極限，得，說明在點右連續(xù)。同理，當(dāng)時，可證得在點左連續(xù)。因此，在點連續(xù)。由于點在中的任意性，所以在上連續(xù)。4. 設(shè)，求證：（1） 對于任何自然數(shù)，方程在區(qū)間中僅有一根。（2） 設(shè)滿足，則。（1992北京）證明：（1）因為在上連續(xù)，又，故由介值定理知，存在，使得，且因為所以，在區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格遞減。因此，滿足方程的根存在且唯一。 （2）因為，令兩邊取極限，有說明存在正整數(shù)，使對于時，有。因為嚴(yán)格遞減所以，對于由夾逼準(zhǔn)則知：當(dāng)時，有，即5. 設(shè)函數(shù) 試討論在處的連續(xù)性。（95考研題）6. 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且。證明存在使證明：作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，且有，從而有若等號成立，則，命題得證；若，則異號。由介值定理知，存在，使，即。7. 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，若在時是比高階的無窮小，試確定的值（02考研題）解：由題設(shè)條件知由于