空間向量之建立空間直角坐標(biāo)系的方法及技巧

1、 空間向量之 建立空間直角坐標(biāo)系的方法及技巧一、利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系例1已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面ABCD是直角梯形，A為直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，求異面直線BC1與DC所成角的余弦值解析：如圖1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C1（，1，2）、B（2，4，），設(shè)與所成的角為，則二、利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例2如圖2，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點(diǎn)，EAEB1已知，BB12，BC1，BCC1求二面角AEB1A1的平面角

2、的正切值解析：如圖2，以B為原點(diǎn)，分別以BB1、BA所在直線為y軸、z軸，過B點(diǎn)垂直于平面AB1的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系由于BC1，BB12，AB，BCC1，在三棱柱ABCA1B1C1中，有B（，）、A（，）、B1（，2，）、設(shè)且，由EAEB1，得，即，即或（舍去）故由已知有，故二面角AEB1A1的平面角的大小為向量與的夾角因，故，即三、利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例3如圖3，在四棱錐VABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD（1）證明AB平面VAD；（2）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值解析：（1）取AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖3所示的空

3、間直角坐標(biāo)系設(shè)AD2，則A（1，）、D（1，）、B（1，2，）、V（，），（，2，），（1，）由，得ABVA又ABAD，從而AB與平面VAD內(nèi)兩條相交直線VA、AD都垂直， AB平面VAD；（2）設(shè)E為DV的中點(diǎn)，則，EBDV又EADV，因此AEB是所求二面角的平面角故所求二面角的余弦值為四、利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標(biāo)系例4已知正四棱錐VABCD中，E為VC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長為2a，高為h（1）求DEB的余弦值；（2）若BEVC，求DEB的余弦值解析：（1）如圖4，以V在平面AC的射影O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其中OxBC，OyAB，則由AB2a，OVh，有B（a，a，

4、）、C（-a，a，）、D（-a，-a，）、V（0，0，h）、，即；（2）因?yàn)镋是VC的中點(diǎn)，又BEVC，所以，即，這時，即 五、利用圖形中的對稱關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒有明顯交于一點(diǎn)的三條直線，但有一定對稱關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對稱性可建立空間直角坐標(biāo)系例5已知兩個正四棱錐PABCD與QABCD的高都為2，AB4（1）證明：PQ平面ABCD；（2）求異面直線AQ與PB所成的角；（3）求點(diǎn)P到平面QAD的距離（2）由題設(shè)知，ABCD是正方形，且ACBD由（1），PQ平面ABCD，故可分別以直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖1），易得，所求異面直線所成的角是（3）由（2）知，點(diǎn)設(shè)n=（x，y，z）是平面QAD的一個法向量，則得取x1，得點(diǎn)P到