第十一章 第7節(jié)

1、第7節(jié)離散型隨機變量及其分布列最新考綱1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性；2.理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單應(yīng)用.知 識 梳 理1.離散型隨機變量隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，則表Xx1x2xixnPp1p2pipn稱為離散型隨機變量X的概率分布列.(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)：pi0(i1，2，n)；p1

2、p2pn1.3.常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，其分布列為X01P1pp，其中pP(X1)稱為成功概率.(2)超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，稱隨機變量X服從超幾何分布.X01mP常用結(jié)論與微點提醒1.求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率.2.要會根據(jù)分布列的兩個性質(zhì)來檢驗求得的分布列的正誤.3.超幾何分布是一種常見的離散型隨機變量的概率分布模型，要會根據(jù)問題特征去判斷

3、隨機變量是否服從超幾何分布，然后利用相關(guān)公式進行計算.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)離散型隨機變量的概率分布列中，各個概率之和可以小于1.()(2)對于某個試驗，離散型隨機變量的取值可能有明確的意義，也可能不具有實際意義.()(3)如果隨機變量X的分布列由下表給出，X25P0.30.7則它服從兩點分布.()(4)一個盒中裝有4個黑球、3個白球，從中任取一球，若是白球則取出來，若是黑球則放回盒中，直到把白球全部取出來，設(shè)取到黑球的次數(shù)為X，則X服從超幾何分布.()解析對于(1)，離散型隨機變量所有取值的并事件是必然事件，故各個概率之和等于1，故(1)不正確；

4、對于(2)，因為離散型隨機變量的所有結(jié)果都可用數(shù)值表示，其中每一個數(shù)值都有明確的實際的意義，故(2)不正確；對于(3)，X的取值不是0和1，故不是兩點分布，(3)不正確；對于(4)，因為超幾何分布是不放回抽樣，所以試驗中取到黑球的次數(shù)X不服從超幾何分布，(4)不正確.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.袋中有3個白球、5個黑球，從中任取兩個，可以作為隨機變量的是()A.至少取到1個白球 B.至多取到1個白球C.取到白球的個數(shù) D.取到的球的個數(shù)解析選項A，B表述的都是隨機事件，選項D是確定的值2，并不隨機；選項C是隨機變量，可能取值為0，1，2.答案

5、C3.(選修23P49A4改編)設(shè)隨機變量X的分布列如下：X12345Pp則p為()A. B. C. D.解析由分布列的性質(zhì)，p1，p1.答案C4.一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，則P(X4)的值為()A. B. C. D.解析X4表示從盒中取了2個舊球，1個新球，故P(X4).答案C5.設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X0)_.解析由已知得X的所有可能取值為0，1，且P(X1)2P(X0)，由P(X1)P(X0)1，得P(X0).答案考點一離散型隨機變量分布列的

6、性質(zhì)【例1】 設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求|X1|的分布列；(2)求P(1<2X1<9).解(1)易知0.20.10.10.3m1，m0.3.由X的分布列可知|X1|的取值為0，1，2，3，P(0)P(X1)0.1，P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3，所以|X1|的分布列為0123P0.10.30.30.3(2)由1<2X1<9，解得0<X<4，故P(1<2X1<9)P(X1)P(X2)P(X3)0.10.10.30.5.規(guī)律方法分布列

7、性質(zhì)的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性.(2)隨機變量X所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率.【訓練1】 隨機變量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|1)_，公差d的取值范圍是_.解析因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2bac.又abc1，所以b，所以P(|X|1)ac.又ad，cd，根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0d，0d，所以d.答案考點二超幾何分布的應(yīng)用(典例遷移)【例2】 (2019·山東卷改編)在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下

8、：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，則P(M).(2)由題意知X可取的值為0，1，2，3，4，則P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)

9、.因此X的分布列為X01234P【遷移探究1】 用X表示接受乙種心理暗示的男志愿者人數(shù)，求X的分布列.解由題意可知X的取值為1，2，3，4，5，則P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5).因此X的分布列為X12345P【遷移探究2】 用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)與男志愿者人數(shù)之差，求X的分布列.解由題意知X可取的值為3，1，1，3，5，則P(X3)，P(X1)，P(X1)，P(X3)，P(X5)，因此X的分布列為X31135P規(guī)律方法超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：(1)考察對象分兩類；(2)已知各類對象的個數(shù)；

10、(3)從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.【訓練2】 (2019·濟南模擬)某外語學校的一個社團中有7名同學，其中2人只會法語，2人只會英語，3人既會法語又會英語，現(xiàn)選派3人到法國的學校交流訪問.(1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率；(2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X的分布列.解(1)設(shè)事件A：選派的三人中恰有2人會法語，則P(A).(2)依題意知X的取值為0，1，2，3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，X的分布列為X0123P考點三求離散型隨機變量的分布列【例3】 (

11、2019·長沙模擬)私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預防霧霾出一份力.為此，很多城市實施了機動車尾號限行，我市某報社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度，隨機抽查了50人，將調(diào)查結(jié)果進行整理后制成下表：年齡/歲15，25)25，35)35，45)45，55)55，65)65，75頻數(shù)510151055贊成人數(shù)469634(1)若從年齡在15，25)和25，35)這兩組的被調(diào)查者中各隨機選取2人進行追蹤調(diào)查，求恰有2人不贊成的概率；(2)在(1)的條件下，令選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為，求隨機變

12、量的分布列.解(1)由表知，年齡在15，25)內(nèi)的有5人，不贊成的有1人，年齡在25，35)內(nèi)的有10人，不贊成的有4人，恰有2人不贊成的概率為P··××.(2)的所有可能取值為0，1，2，3.P(0)·×，P(1)··××，P(2)，P(3)·×，的分布列是0123P規(guī)律方法離散型隨機變量分布列的求解步驟(1)明取值：明確隨機變量的可能取值有哪些，且每一個取值所表示的意義.(2)求概率：要弄清楚隨機變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對應(yīng)的概率.(3)畫表格：按規(guī)范要求形

13、式寫出分布列.(4)做檢驗：利用分布列的性質(zhì)檢驗分布列是否正確.【訓練3】 已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列.解(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，P(A).(2)X的可能取值為200，300，400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X30

14、0)1.故X的分布列為X200300400P基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為()A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51解析P(X7)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.290.220.79.答案C2.若隨機變量X的分布列為X210123P0.10.20.20.30.10.1則當P(X<a)0.8時，實數(shù)a的取值范圍是()A.(，2 B.1，2C.(1，2 D.(1，2)解析由隨機變量X的分布列知：P(X

15、<1)0.1，P(X<0)0.3，P(X<1)0.5，P(X<2)0.8，則當P(X<a)0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(1，2.答案C3.(2019·泉州月考)設(shè)隨機變量的分布列為P(k)a，k1，2，3，則a的值為()A.1 B. C. D.解析因為隨機變量的分布列為P(k)a(k1，2，3)，所以根據(jù)分布列的性質(zhì)有a×aa1，所以aa×1.所以a.答案D4.袋中裝有10個紅球、5個黑球.每次隨機抽取1個球后，若取得黑球則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止.若抽取的次數(shù)為，則表示“放回5個紅球”事件的是()A.4 B.5 C.6

16、 D.5解析“放回5個紅球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到紅球，故6.答案C5.從裝有3個白球、4個紅球的箱子中，隨機取出了3個球，恰好是2個白球、1個紅球的概率是()A. B. C. D.解析如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個超幾何分布問題，故所求概率為P.答案C二、填空題6.設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機變量Y|X2|，則P(Y2)_.解析由分布列的性質(zhì)，知0.20.10.10.3m1，m0.3.由Y2，即|X2|2，得X4或X0，P(Y2)P(X4或X0)P(X4)P(X0)0.30.20.5.答案0.57.從4名男生和2名女生

17、中任選3人參加演講比賽，則所選3人中女生人數(shù)不超過1人的概率是_.解析設(shè)所選女生人數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N6，M2，n3，則P(X1)P(X0)P(X1).答案8.甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，比賽規(guī)定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得1分)；若X是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分(分數(shù)高者勝)，則X的所有可能取值是_.解析X1，甲搶到一題但答錯了.X0，甲沒搶到題，或甲搶到2題，但答時一對一錯.X1時，甲搶到1題且答對或甲搶到3題，且1錯2對.X2時，甲搶到2題均答對.X3時，甲搶到3題均答對.答案1，0，1，

18、2，3三、解答題9.有編號為1，2，3，n的n個學生，入坐編號為1，2，3，n的n個座位，每個學生規(guī)定坐一個座位，設(shè)學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為X，已知X2時，共有6種坐法.(1)求n的值；(2)求隨機變量X的概率分布列.解(1)因為當X2時，有C種坐法，所以C6，即6，n2n120，解得n4或n3(舍去)，所以n4.(2)因為學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為X，由題意知X的可能取值是0，2，3，4，所以P(X0)，P(X2)，P(X3)，P(X4)1，所以X的概率分布列為：X0234P10.(2019·湖北八校聯(lián)考)某手機賣場對市民進行國產(chǎn)手機認可度調(diào)查

19、，隨機抽取100名市民，按年齡(單位：歲)進行統(tǒng)計的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如下：分組/歲頻數(shù)25，30)x30，35)y35，40)3540，45)3045，5010合計100(1)求頻率分布表中x，y的值，并補全頻率分布直方圖；(2)在抽取的這100名市民中，按年齡進行分層抽樣，抽取20人參加國產(chǎn)手機用戶體驗問卷調(diào)查，現(xiàn)從這20人中隨機選取2人各贈送精美禮品一份，設(shè)這2名市民中年齡在35，40)內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列.解(1)由題意知，25，30)內(nèi)的頻率為0.01×50.05，故x100×0.055.因30，35)內(nèi)的頻率為1(0.010.070.060.02)

20、×510.80.2，故y100×0.220，且30，35)這組對應(yīng)的0.04.補全頻率分布直方圖略.(2)因為年齡從小到大的各層人數(shù)之間的比為52035301014762，且共抽取20人，所以抽取的20人中，年齡在35，40)內(nèi)的人數(shù)為7.則X可取0，1，2，P(X0)，P(X1)，P(X2)，故X的分布列為X012P能力提升題組(建議用時：20分鐘)11.(2019·長沙質(zhì)檢)一只袋內(nèi)裝有m個白球，nm個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設(shè)此時取出了X個白球，下列概率等于的是()A.P(X3) B.P(X2)C.P(X3) D.P(X2)解析當X2時，即前2個拿出的是白球，第3個是黑球，前2個拿出白球，有A種取法，再任意拿出1個黑球即可，有C種取法，而在這3次拿球中可以認為按順序排列，此排列順序即可認為是依次拿出的球的順序，即A，P(X2).答案D12.(2019·石家莊調(diào)研)為檢測某產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)抽取5件產(chǎn)品，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量(