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1、第九章 重積分(第一部分)二重積分一、二重積分的概念 1定義 : .2幾何意義: 表示曲頂柱體的體積3物理意義: 的質(zhì)量. 二、二重積分的性質(zhì)1線性性質(zhì):.2可加性:.3的面積:.4單調(diào)性:若在上,則.5估值性質(zhì):設(shè),是的面積,則. 6中值定理:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù),是的面積,則在上至少存在一點(diǎn),使得 .7奇偶對(duì)稱性:8輪換對(duì)稱性:若和互換后區(qū)域不變,即關(guān)于直線對(duì)稱,則.三、二重積分的計(jì)算方法1利用直角坐標(biāo)計(jì)算(關(guān)鍵:選擇積分次序) .(1)型區(qū)域: ,(見(jiàn)圖(a). 圖(a) 圖(b)(2)型區(qū)域: ,(見(jiàn)圖(b).2利用極坐標(biāo)計(jì)算:. 3.二重積分的換元法設(shè)在平面上的閉區(qū)域上連續(xù),變換將平
2、面上的閉區(qū)域變?yōu)槠矫嫔系拈]區(qū)域,且滿足(1) 在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);(2) 在上雅可比式: ;(3) 變換是一對(duì)一的,則有.五、二重積分的應(yīng)用1幾何應(yīng)用 (1)曲頂柱體的體積 (其中). (2)曲面面積 .2物理應(yīng)用(1)質(zhì)量 .(2)質(zhì)心 ,.(3)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ,.(4)引力 .四、例題例1. 計(jì)算二重積分,其中.分析首先在給定的積分區(qū)域內(nèi),求出被積函數(shù)的解析表達(dá)式,即去掉最大符號(hào),然后計(jì)算二重積分。解畫(huà)出區(qū)域的圖形如圖所示。 ,其中,則因,于是 .例2. 求,:. 分析 此題若直接計(jì)算,需將積分區(qū)域分為4部分麻煩,可利用對(duì)稱性。解.例3. 求,:.解:因?yàn)閰^(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱,利用輪換對(duì)稱性有
3、.例4. 證明.分析 觀察所要證明的等式的左右兩邊不難發(fā)現(xiàn),等式左邊是一個(gè)二次積分,可視作是一個(gè)二重積分化成的二次積分,而等式的右端是一個(gè)定積分。對(duì)于二重積分來(lái)說(shuō),若能夠化為二次積分并積出一次便可化為定積分。因此,證明上式的關(guān)鍵在于將左邊的二次積分交換次序。解 設(shè)為:;把表示成型區(qū)域?yàn)椋?;于是?例5.求積分解 例6.計(jì)算二重積分,其中分析若將二重積分直接化為極坐標(biāo)系下的二次積分,積分會(huì)很麻煩,故考慮將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)。解 , 例7. 設(shè),求,其中:.分析 此題看似為無(wú)界區(qū)域上的二重積分,但因被積函數(shù)只在部分區(qū)域內(nèi)非零,因此,只需在積分區(qū)域和被積函數(shù)非零區(qū)域相交部分積分即可。解 ,則 .例8. 求,其中是由軸、軸和直線所圍成的閉區(qū)域
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