第二十屆華羅庚金杯少年數學邀請賽

1、第二十屆華羅庚金杯少年數學邀請賽一、 填空題（ 每小題 10 分, 共 80 分）1. 計算：二、【考點】計算、分數計算【答案】200【分析】原式 2. 右圖是用六個正方形、 六個三角形、一個正六邊形組成的圖案, 正方形邊長都是 2 cm, 這個圖案的周長是_ cm. 【考點】幾何、多邊形周長【答案】24【分析】正十二邊形邊長與正方形邊長相等，每條邊都是 2，周長是：12 ×2= 243. 某項工程需要 100 天完成. 開始由 10 個人用 30 天完成了全部工程的, 隨后 再增加 10 個人來完成這項工程, 那么能提前_ 天完成任務.【考點】應用題、工程問題【難度】【答案】10【

2、分析】假設每人每天的工作效率是 a份，全部的工作總量是 （份） ；增加 10 人后完成的天數是： （天）；提前10（天）完成.4. 王教授早上 8 點到達車站候車, 登上列車時, 站臺上時鐘的時針和分針恰好 左右對稱列車 8 點 35 分出發(fā), 下午 2 點 15 分到達終點站當王教授走下列車時, 站臺上時鐘的時針和分針恰好上下對稱, 走出車站時恰好3點整那么王教授在列車上的時間共計_分鐘【考點】行程、時鐘問題【答案】360【分析】登上列車時，時鐘的時針和分針恰好左右對稱，8 點整是時針和分針的夾角是 120度. （分），此時是 8 點 分下午 2 點 15 分，時針和分針的夾角是 （度） 。

3、走到站臺時恰好是上下對稱： (分)，此時是下午 2 點分.王教授在列車的時間是 6 個小時，共計 360 分.5. 由四個非零數字組成的沒有重復數字的所有四位數的和為 73326, 則這些四位數中最大的是 _, 最小的是_ .【考點】數論、位值原理【答案】5321【分析】4 個非零數字一共組成了 24 個四位數，由于每個數字在每位上均出現 6 次，則 24個數和為 ，得 a+ b+ c+ d = 11，此時只有數字 1、 2、3、5. 這些四位數中最大的是 5321.6. 如右圖所示, 從長、寬、高分別為 15 cm, 5 cm, 4 cm 的長方體中切割走一塊長、寬、高分別為 y cm, 5

4、cm,x cm 的長方體（ x, y為整數 ,余下部分的體積為 120 cm3, 那么x為多少cm,y為多少cm. 【考點】幾何、長方體和正方體【答案】15【分析】 ，解得 ；因為x,y為整數，且x4，y15，所以x=3，y=12，x+y=157. 一次數學競賽有 A, B, C三題, 參賽的 39個人中, 每人至少答對了一道題. 在答對 A 的人中, 只答對 A 的比還答對其它題目的多 5 人; 在沒答對 A 的人中, 答對 B 的是答對 C 的 2 倍; 又知道只答對 A 的等于只答對 B 的與只答對 C 的人數之和. 那么答對 A 的最多有_ 人.【考點】組合、容斥原理、最值問題【答案】

5、23【分析】根據題意得，如下圖所示：只答對 A 的人數是 3b + a ,答對 A 還答對其他題目的人數是 ，所以得： 化簡得 ，解得 因為A要取最大值，所以最大值為23人8. 甲、 乙進行乒乓球比賽, 三局兩勝制. 每局比賽中, 先得 11 分且對方少于 10 分者勝; 10 平后多得 2 分者勝. 甲、 乙二人得分總和都是 30 分, 在不計比分 先后順序時, 三局的比分共有 種情況.【考點】計數、體育比賽的數學問題【難度】【答案】16【分析】 30 <3×11，三局中其中一個人勝了兩局，所以至少有兩個分數不小于 11，甲得分總和是30： 乙對應的得分是： ；對應的比分是：

6、 ，之后 7、9 依次減 1，10 和 12 依次加 1；最后一共有8種都是乙取得了勝利，甲取得勝利對應的也是 8 種，共計16種.二、 解答下列各題（ 每小題 10 分, 共 40 分, 要求寫出簡要過程）9. 兩個自然數之和為 667, 它們的最小公倍數除以最大公約數所得的商等于 120. 求這兩個數.【考點】數論、短除模型【答案】115， 552 、 或 232 ，435 【分析】設這兩個數是 a，b，有 得 ，x，y互質。所以滿足要求得有兩個，此時對應得數為115,552或232,43510. 酒店有 100 個標準間, 房價為 400 元/天, 但入住率只有 50%. 若每降低 20

7、 元 的房價, 則能增加 5 間入住. 求合適的房價, 使酒店收到的房費最高.【考點】組合、最值【答案】22500【分析】初始狀況是：400 元、50 間，設降價了 x 個 20 元，房費是：而 ，和一定，差小積大， 時最大；所以此時的房價最高是： （元）.11. 如圖, 長方形 ABCD 的面積是 56 cm2. BE = 3cm,DF = 2cm. 請你回答：三角形 AEF 的面積是多少？【考點】幾何、一半模型【答案】25【分析】過 F 點做 AD 的平行線，交于 AB 于 G 點；連接 GE；如下圖所示：四邊形 AGEF 是長方形的一半，三角形 AEF 的面積是 2512. 當 n 取遍

8、 1, 2, 3 , , 2015 中所有的數時, 形如 的數中能夠被 7 整除的有多少個？【考點】同余【答案】288【分析】3n 除以 7 的余數以 6 為周期，3、2、6、4、5、1；n3除以 7 的余數以 7 為周期，1、1、6、1、6、6、0，則總周期為 42，列表 三、解答下列各題（ 每小題 15 分, 共 30 分, 要求寫出詳細過程）13. 在右圖中, ABCD 是平行四邊形, AM = MB,DN=CN, BE=EF=FC, 四邊形 EFGH 的面積是 1, 求平行四邊形 ABCD 的面積. 【考點】比例模型【答案】 【分析】由風箏模型， 有鳥頭模型 14. “ 虛有其表” ,“表里如一” ,“一見如故” ,“ 故弄玄虛” 四個成語中每個漢漢 字代表 11 個非零連續(xù)自然數中的一個, 相同的漢字代表相同的數, 不同的漢 字代表不同的數, 且“ 表” >“一” >“故” >“如” >“ 虛” , 且各個成語中 四個漢字所代表的數的和都是 21. 則“弄” 可以代表的數最大是多少？【分析】為表述方便，按漢字出現順序設這十一個數分別為 A/B/C/