第九章重積分72341

1、重積分二、典型錯(cuò)誤分析例1 求二重積分，其中。錯(cuò)解 因?yàn)?，所以，故。分?積分區(qū)域是一個(gè)三角形，而在上述求解時(shí)積分區(qū)域卻成了正方形。正確解法。例2 求二重積分，其中。錯(cuò)解 令，則。分析 由于，則，而上述解答中錯(cuò)誤地認(rèn)為。正確解法 。例3計(jì)算，其中是由及所圍成圖形的公共部分。錯(cuò)解 令和分別為大、小圓面，則。分析 答案雖然正確，但是解法有問題。因?yàn)樵谛A內(nèi)的被積函數(shù)，我們不知道，而錯(cuò)誤地看成了和大圓的被積函數(shù)一樣。正確解法 由于被積函數(shù)和積分區(qū)域都是對(duì)稱的，故。例4改變積分的次序。錯(cuò)解 原式。分析 問題出現(xiàn)在上，因?yàn)樵谳S的下方區(qū)域取負(fù)值，因此。正確解法 原式。例5求由平面，與柱面（）所圍成的體積錯(cuò)

2、解 原式分析 問題出現(xiàn)在不能保證在以為投影的區(qū)域內(nèi)的非負(fù)性。正確解法 原式例6求球面和柱面（）所包圍的且在柱面內(nèi)部的體積。錯(cuò)解 因?yàn)樗篌w積的形體關(guān)于平面對(duì)稱，于是原式分析 問題出現(xiàn)在不能保證成立。正確解法 原式例7計(jì)算三重積分，其中由錐面與平面（）圍成的區(qū)域。錯(cuò)解 因?yàn)榉治?問題出現(xiàn)在對(duì)的積分上限，錯(cuò)誤地認(rèn)為是，而應(yīng)該為。正確解法 例8計(jì)算三重積分，其中：。錯(cuò)解分析若從積分的物理意義去理解，起錯(cuò)誤是明顯的。把三重積分看成質(zhì)量，則被積函數(shù)就是球體的密度，它與球體上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方成正比（比例系數(shù)為1），僅當(dāng)點(diǎn)在球面上時(shí)，其密度才是。正確解法 采用球坐標(biāo)計(jì)算三、綜合題型分析例 9、求橢球體

3、的體積。分析由于對(duì)稱性，只需求出橢球在第一卦限的體積，然后再乘以8即可。解 由于對(duì)稱性，只需求出橢球在第一卦限的體積，然后再乘以8即可。作廣義極坐標(biāo)變換 （）。這時(shí)橢球面化為。又，于是。所以橢球體積。例10、估計(jì)積分的值，其中是由圓周圍成。分析 由重積分的性質(zhì)：在區(qū)域上，如果，則，來進(jìn)行估計(jì)。解 先求函數(shù)在區(qū)域上的極值。因?yàn)闆]有駐點(diǎn)，所以最值一定在邊界取得。設(shè)，則由拉格朗日乘數(shù)法得駐點(diǎn)為和，比較得的最小值，最大值。因?yàn)榉e分區(qū)域的面積為，故。例11、估計(jì)積分的值。分析 可以由重積分的性質(zhì)：在區(qū)域上，如果，則，來進(jìn)行估計(jì)。也可以由積分中值定理來估計(jì)，在本質(zhì)上是一致的。解 因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，所

4、以在上至少存在一點(diǎn)使得，顯然，而積分區(qū)域的面積為，故。例12、計(jì)算分析 直接計(jì)算是困難的，要交換積分順序。解例13、計(jì)算積分，其中區(qū)域?yàn)樵诘谝幌笙薜牟糠?。分?被積函數(shù)中含圓，如果用直角坐標(biāo)計(jì)算是困難的，采用極坐標(biāo)計(jì)算。注意：一般來說，對(duì)被積函數(shù)或積分區(qū)域含圓，扇形，半圓，圓環(huán)等，往往采用極坐標(biāo)計(jì)算比較簡單。解 設(shè)，則，令，則原式。例14、計(jì)算分析 被積函數(shù)中含有絕對(duì)值的積分，在計(jì)算是先要去掉絕對(duì)值，這是解題的一般方法。解 由函數(shù)和積分區(qū)域的對(duì)稱性，其中是在第一象限的部分，故。例15、設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，其中由，圍成，求。分析 這是一道綜合題目，表面看來很復(fù)雜，只要分析清楚了并不難。首先可以知道積

5、分是一個(gè)常數(shù)，因此變?yōu)?，兩邊再求二重積分就可以堅(jiān)決了。解 設(shè)，則。故，兩邊求二重積分，則，從而，故。例16、計(jì)算，其中。分析 被積函數(shù)中含有絕對(duì)值的積分，在計(jì)算是先要去掉絕對(duì)值，這是解題的一般方法。因此要將積分區(qū)域分成幾部分。解積分區(qū)域被球面分成上下兩部分和，故以上積分均要采用球面坐標(biāo)計(jì)算。故。例17、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，證明，其中分析 這種類型的題目有一點(diǎn)小技巧，解題的常用方法是坐標(biāo)變換。解 令，則，所以積分區(qū)域由變?yōu)?，且雅可比式為。?8、計(jì)算二重積分，其中。分析 這道題本質(zhì)上是一道分段函數(shù)積分題，關(guān)鍵是把用分段函數(shù)表示出來。解 設(shè)，則例19、設(shè)是連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，且，已知，其中，求。分析 這是一

6、道綜合題目，先用球面坐標(biāo)先計(jì)算，然后用羅必達(dá)法則計(jì)算極限。解。因?yàn)?，由羅必達(dá)法則得。例20、設(shè)在單位圓上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上取值為零，求證：,其中D為圓環(huán)域：。分析 這是一道綜合題目，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，有極限、重積分、偏導(dǎo)數(shù)。由于積分區(qū)域?yàn)閳A，要先化為用極坐標(biāo)。解法1：令，則，從而。在單位圓的邊界上取值為零，則當(dāng)時(shí)，。因此，故。解法2：令，則。令為（逆時(shí)針），為（順時(shí)針）即，則，。四、考研試題分析例21(2005年高數(shù)一) 設(shè)圍成的空間區(qū)域，的整個(gè)邊界的外側(cè)，則。答案 分析 用Gauss公式和求空間物體體積，此題無其它技巧。解答 用Gauss公式得即空間區(qū)域體積的三倍。容易求出錐面與半球面

7、 的交線為 。用柱坐標(biāo)求積分，。例22(2005年高數(shù)一)設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，計(jì)算二重積分分析 由于含圓，所以用極坐標(biāo)求解。解法1解法2 記 ，則有 ，。于是。23、（2004年高數(shù)二）設(shè)函數(shù)連續(xù), 區(qū)域, 則等于（A）.（B）.（C）.（D）答案 分析 將二重積分化為累次積分的方法是:先畫出積分區(qū)域的示意圖,再選擇直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系,并在兩種坐標(biāo)系下化為累次積分. 將二重積分化為累次積分的常規(guī)題,關(guān)鍵在于確定累次積分的積分限.解 積分區(qū)域見圖.在直角坐標(biāo)系下,故應(yīng)排除（A）、（B）.在極坐標(biāo)系下, ,故應(yīng)選（D）。24、（2005年高數(shù)二、高數(shù)三）計(jì)算二重積分其中分析 將絕對(duì)值在積分中

8、的處理和二重積分在直角坐標(biāo)系/極坐標(biāo)系中的計(jì)算公式相結(jié)合即可。解如圖,將D分成D1與D2兩部分.,由于,其中,因此.25、（2005年高數(shù)二）設(shè)區(qū)域， f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a,b為常數(shù)，則A、.B、.C、. D、答 D 分析 對(duì)于選擇題，可以用適合條件的特殊函數(shù)代入的方法確定答案。解 本題取，故應(yīng)選結(jié)論（）。如果不用特殊函數(shù)代入的方法，要計(jì)算積分，注意到區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱，因而被積表達(dá)式中的和對(duì)調(diào)積分值不變。故有即得。26、（2003年高數(shù)一）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零，其中，(1) 討論F(t)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.(2) 證明當(dāng)t>0時(shí)，分析(1) 先分別在球面坐標(biāo)下計(jì)算分子的

9、三重積分和在極坐標(biāo)下計(jì)算分母的重積分，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)性；(2) 將待證的不等式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏?，?gòu)造輔助函數(shù)，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可.解 (1) 因?yàn)?，所以在上，故F(t) 在內(nèi)單調(diào)增加.（2） 因，要證明t>0時(shí)，只需證明t>0時(shí)，即令 ，則 ，故g(t)在內(nèi)單調(diào)增加.因?yàn)間(t)在t=0處連續(xù)，所以當(dāng)t>0時(shí)，有g(shù)(t)>g(0).又g(0)=0, 故當(dāng)t>0時(shí)，g(t)>0,因此，當(dāng)t>0時(shí)，注： 本題將定積分、二重積分和三重積分等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來了，但難點(diǎn)是證明（2）中的不等式，事實(shí)上，這里也可用柯西積分不等式證明：，在上式中取f(x)為，g(x)為即可。27、（2005年高數(shù)三）設(shè), ,其中A、B、C、D、（ A ）分析 由重積分的性質(zhì)：在區(qū)域上，如果，則，來進(jìn)行比較。解 在積分區(qū)域 上有且等號(hào)僅在區(qū)域D的邊界 上成立，從而在積分區(qū)域D上有且等號(hào)也僅僅在區(qū)域D的邊界 上成立，此外，三個(gè)被積函數(shù)又都在區(qū)域D上連續(xù)，按二重積分的性質(zhì)即得，故應(yīng)選結(jié)論（A）。注：考慮D上，注意在 上單調(diào)減少性即可。另外，用到二重積分的性質(zhì)。28、（2001年高數(shù)一）交換二次積分的積分順序= 。分析 這是一道基礎(chǔ)題目，畫出積分區(qū)域容易解答。解