第五章微分學SECTION31

1、 §3 微 分一、單變量函數(shù)的微分1. 基本概念導數(shù)的定義及其幾何意義 設函數(shù)y=f(x)當自變量在點x有一改變量時,函數(shù)y相應地有一改變量 ,那末當趨于零時,若比的極限存在(一確定的有限值)，則稱這個極限為函數(shù)f(x)在點x的導數(shù),記作圖5.1這時稱函數(shù)f(x)在點x是可微分的函數(shù)(或稱函數(shù)f(x)在點x可微)。在幾何上,函數(shù)f(x)的導數(shù)是函數(shù)y=f(x)表示的曲線在點x的切線的斜率,即=式中為曲線在點x的切線與x軸的夾角(圖5.1)。單邊導數(shù)=及=分別稱為函數(shù)f(x)在點x的左導數(shù)和右導數(shù)。導數(shù)存在的充分必要條件是:=無窮導數(shù) 若在某一點x有=±則稱函數(shù)f(x)在點x

2、有無窮導數(shù)。這時函數(shù)y=f(x)的圖形在點x的切線與x軸垂直(當=+時,函數(shù)f(x)的圖形在點x的切線正向與y軸方向一致,當=時,方向相反)。函數(shù)的可微性與連續(xù)性的關(guān)系 如果函數(shù)y=f(x)在點x有導數(shù)，那末它在點x一定連續(xù)。反之,連續(xù)函數(shù)不一定有導數(shù),例如1°函數(shù)y=|x|在點x=0連續(xù),在點x=0,左導數(shù)=1,右導數(shù) =1,而導數(shù)不存在(圖5.2)。圖5.2 圖5.32°函數(shù)y=f(x)=在點x=0連續(xù),但在點x=0左右導數(shù)都不存在(圖5.3)。2. 求導數(shù)的基本法則四則運算求導公式若c為常數(shù),函數(shù)u=u(x),都有導數(shù),則=0 =c（0）復合函數(shù)的導數(shù) 若y=f(u)

3、,u=都有導數(shù),則=反函數(shù)的導數(shù) 如果函數(shù)y=f(x)在點x有不等于零的導數(shù),并且反函數(shù)x=f1(y)在點y連續(xù),那末存在并且等于，即=隱函數(shù)的導數(shù) 假定函數(shù)F(x,y)連續(xù),并且對于每個自變量都有連續(xù)的偏導數(shù),而且，則由F(x,y)=0所決定的函數(shù)y=f(x)的導數(shù)=式中，(見本節(jié)，四)。用參數(shù)表示的函數(shù)的導數(shù) 設方程組（<t<）式中和為可微分的函數(shù),且,則由隱函數(shù)存在定理(本節(jié),四,1)可把y確定為x的單值連續(xù)函數(shù)y=而函數(shù)的導數(shù)可用公式求得。用對數(shù)求導數(shù)法 求一函數(shù)的導數(shù),有時先取其對數(shù)較為便利,然后由這函數(shù)的對數(shù)求其導數(shù)。例求的導數(shù)。解兩邊各取對數(shù),得lny=pln(xa)

4、qln(xb)rln(xc)左邊的lny為y的函數(shù),而y又為x的函數(shù),故應用求復合函數(shù)的導數(shù)的法則得到由此得所以3.函數(shù)的微分與高階導數(shù)函數(shù)的微分 若函數(shù)y=f(x)的改變量可表為A(x)dx+o(dx)式中dx=x，則此改變量的線性主部A(x)dx稱為函數(shù)y的微分,記作dy=A(x)dx函數(shù)y=f(x)的微分存在的充分必要條件是:函數(shù)存在有限的導數(shù)=,這時函數(shù)的微分是dy=dx上式具有一階微分的不變性,即當自變量x又是另一自變量t的函數(shù)時,上面的公式仍然成立.高階導數(shù) 函數(shù)y=f(x)的高階導數(shù)由下列關(guān)系式逐次地定義出來(假設對應的運算都有意義)： =高階微分 函數(shù)y=f(x)的高階微分由下

5、列公式逐次定義：=式中.并且有=及萊布尼茨公式 若函數(shù)u=及=有n階導數(shù)(可微分n次),則式中,為二項式系數(shù)。同樣有式中，更一般地有式中m，n為正整數(shù)。復合函數(shù)的高階導數(shù) 若函數(shù)y=f(u),u=有l(wèi)階導數(shù)，則式中，基本函數(shù)的導數(shù)表f(x)f(x)c0xnnxn1sh xchxch xshxth xcth xsech xcsch xAr sech xf>0取取+Ar csch x,x>0 Arch x=,x>1f>0取+，f<0Arth x=(x<1)ln ch xth xArcthx=(x>1)lnsechxcschx簡單函數(shù)的高階導數(shù)表f(x)m(

6、m1)(mn+1) (當m為整數(shù)且n>m時，=0)這里(2n+1)!=(2n+1)(2n1) (a>0)shxshx(n為偶數(shù))，chx(n為奇數(shù))chxchx(n為偶數(shù))，shx(n為奇數(shù))4.數(shù)值導數(shù)當函數(shù)用圖形或表格給出時,就不可能用定義求出它的導數(shù),只能用近似方法求數(shù)值導數(shù).圖解微分法 適用于用圖形給出的函數(shù)求導數(shù),例如機械設計中已知st圖,求圖,at圖等,其基本步驟如下：(1) 將原坐標系Oxy沿y軸負方向平移一段距離得坐標系 (圖5.4).圖5.4(2) 過曲線y=f(x)上點M1(x1,y1)作切線M1T1.在坐標系內(nèi),過點P(1,0)作PQ1平行于M1T1交y軸于點

7、Q1 ,那末點Q1 (點)的縱坐標就是導數(shù).以Q1的縱坐標為縱坐標,x1為橫坐標作出點.(3)在曲線y=f(x)上取若干個點M1,M2,在曲線彎曲程度較大處點取得密些.仿上作法,在坐標系內(nèi)得到相應點,順次連成光滑曲線,即是導函數(shù)的圖形.差商公式 在實用中常使用下列簡單的近似公式,式中=（函數(shù)f(x)在點a的階差分）（函數(shù)f(x)在點a的階差分） （函數(shù)f(x)在點a的k階差分）在函數(shù)的數(shù)值表中,如果有誤差,則高階差分的偏差較大,所以用以上公式不宜計算高階導數(shù).用插值多項式求數(shù)值導數(shù) 假定已經(jīng)求出了函數(shù)y=f(x)的插值多項式Pn (x),它可以求導,則用近似,由f(x)=Pn(x)+Rn(x)

8、略去余項,得等等.它們的余項相應為,等等.應當指出,當插值多項式Pn(x)收斂于f(x)時, 不一定收斂于f'(x).另外,當h縮小時,截斷誤差減小,但舍入誤差卻增加,因此,采用縮小步長的方法也不一定能達到提高精度的目的.由于用插值法求數(shù)值微分的不可靠性,在計算時,要特別注意誤差分析,或者改用其他方法.拉格朗日公式 (由拉格朗日插值公式得來,見第十七章,§2,三)式中()馬爾科夫公式 (由牛頓插值公式得來,見第十七章,§2,二)()特別,當t=0時,有等距公式三點公式四點公式五點公式用三次樣條函數(shù)求數(shù)值導數(shù) 這個方法能避免用插值法求數(shù)值導數(shù)的不可靠性.因為對于樣條函

9、數(shù)(曲線y=f(x)的三次樣條函數(shù)S(x)的作法見第十七章,§2,四),當被插值函數(shù)f(x)有四階連續(xù)導數(shù),且hi=xi+1xi0時,只要S(x)收斂于f(x),則導數(shù)一定收斂于,且S(x)f(x)=O(H4)，O(H3),其中H是hi的最大值,因此,可直接通過三次樣條函數(shù)求數(shù)值導數(shù)得=式中,(i=0,1,2,)。若僅求樣點xi上的導數(shù),則=二、多變量函數(shù)的微分偏導數(shù)及其幾何意義 設二元函數(shù)u=f(x,y)當變量x有一個改變量x而變量y保持不變時,得到一個改變量u=f(x+x,y)f(x,y)如果當x0時,極限=存在,那末這個極限稱為函數(shù)u=f(x,y)關(guān)于變量x的偏導數(shù),記作或,也

10、記作或,即=類似地,可以定義二元函數(shù)u=f(x,y)關(guān)于變量y的偏導數(shù)為=偏導數(shù)可以按照單變量函數(shù)的微分法則求出,只須對所論變量求導數(shù),其余變量都看作常數(shù).偏導數(shù)的幾何意義如下:二元函數(shù)u=f(x,y)表示一曲面,通過曲面上一點M(x,y,u)作一平行于Oxu平面的平面,與曲面有一條交線,就是這條曲線在該點的切線與x軸正向夾角的正切,即=.同樣,有= (圖5.5).圖5.5偏導數(shù)的定義不難推廣到多變量函數(shù)u=f(x1,x2,xn)的情形.偏微分 多變量函數(shù)u=f(x1,x2,xn)對其中一個變量(例如x1 )的偏微分為也可記作.可微函數(shù)與全微分 若函數(shù)u=f(x,y)的全改變量可寫為=+式中A

11、,B與x,y無關(guān),則稱函數(shù)u=f(x,y)在點(x,y)可微分(或可微),這時函數(shù)u=f(x,y)的偏導數(shù),一定存在,而且=A, =B改變量u的線性主部=+dy稱為函數(shù)u=f(x,y)的全微分,記作du=+dy(1)函數(shù)在一點可微的充分條件:如果在點(x,y)函數(shù)u=f(x,y)的偏導數(shù)存在而且連續(xù),那末函數(shù)在該點是可微的.公式(1)具有一階微分的不變性,即當自變量x,y又是另外兩個自變量t,s的函數(shù)時,上面的公式仍然成立.上述結(jié)果不難推廣到多變量函數(shù)u=f(x1,x2,xn)的情形.注意,在一個已知點,偏導數(shù)的存在一般說來還不能確定微分的存在.復合函數(shù)的微分法與全導數(shù)1° 設u=f

12、(x,y),x=(t,s),y=(t,s),則=+=+2° 設u=f(x1,x2,xn),而x1,x2,xn又都是t1,t2,tm的函數(shù),則3° 設u=f(x,y,z),而y=(x,t),z=(x,t),則=4° 設u=f(x1,x2,xn), x1= x1(t), x2= x2(t),則函數(shù)u=f(x1,x2,)的全導數(shù)為齊次函數(shù)與歐拉公式 如果函數(shù)f(x,y,z)恒等地滿足下列關(guān)系式f(tx,ty,tz)=f(x,y,z)則稱f(x,y,z)是一個k次的齊次函數(shù).對于這種函數(shù),只要它可微,就有(歐拉公式)注意,齊次函數(shù)的次數(shù)k可以是任意實數(shù),例如,函數(shù)就是自變

13、量x及y的次齊次函數(shù).隱函數(shù)的微分法 設F(x1,x2,xn,u)=0,則(參考本節(jié),四).高階偏導數(shù)與混合偏導數(shù) 函數(shù)u=f(x1,x2,xn)的二階偏導數(shù)為,和,后者稱為混合偏導數(shù).三階偏導數(shù)為, ,。類似地可定義更高階的偏導數(shù).關(guān)于函數(shù)乘積的混合偏導數(shù)有下面公式:設u,都是x1,x2,xn的函數(shù),則注意,混合偏導數(shù)一般與求導的次序有關(guān),但是,如果兩個同階的偏導數(shù),只是求導的次序不同,那末只要這兩個偏導數(shù)都連續(xù),它們就一定彼此相等.例如,如果在某一點(x,y)函數(shù)與都連續(xù),那末一定有(x,y)= (x,y)高階全微分 二元函數(shù)u=f(x,y)的二階全微分為d2u=d(du)=或簡記作d2u

14、=式中偏導數(shù)符號,經(jīng)平方后出現(xiàn),它們再作用到函數(shù)u=f(x,y)上,以下類同.二元函數(shù)u=f(x,y)的n階全微分為dnu=多變量函數(shù)u=f(x1,x2,xm)的n階全微分為dnu=偏導數(shù)的差分形式(表中h為x軸方向步長,l為y軸方向步長)圖 示差 分 公 式圖 示差 分 公 式 圖 示差 分 公 式三、函數(shù)行列式(或雅可比式)及其性質(zhì)設有n個自變量的n個函數(shù) (1)它們定義在某一n維區(qū)域D中,并關(guān)于自變量有連續(xù)偏導數(shù),則由這些偏導數(shù)組成的行列式稱為函數(shù)組(1)的函數(shù)行列式或雅可比式。記作函數(shù)行列式具有與普通導數(shù)相似的一系列性質(zhì).1° 除函數(shù)組(1)外,再取在區(qū)域P中有定義且有連續(xù)偏

15、導數(shù)的函數(shù)組假設當點(t1,t2,)在P中變動時,對應點(x1,x2,)并不越出區(qū)域D,于是就可以通過x1,x2, 把y1,y2,看成是t1,t2,的復合函數(shù).這時有= (2)它是一元的復合函數(shù)的微分法則y=f(x),x=；=的推廣。2° 特別是,如果令t1=y1,t2=y2,=yn(換句話說,由新變量x1,x2,又回到舊變量y1,y2, ),則由(2)式得到=1它是一元函數(shù)的反函數(shù)微分法則y=f(x),x=的推廣。3° 設有n個自變量x1,x2,的m（m<n）個函數(shù)y1,y2, ：式中x1,x2,又是m個自變量t1,t2,的函數(shù)：假設它們都有連續(xù)偏導數(shù)，那末y1,y2,作為t1,t2,的函數(shù)的函數(shù)行列式的表達式為等式右邊的和式是從n個標號內(nèi)每次取m個的一切可能組合而取遍的。當m=1時,上面的公式就是普通的復合函數(shù)的微分公式的推廣.特別當n=3,m=2時,有4° 設有2n個自變量的n個方程所組成的方程組Fi(x1,x2,;y1,y2,)=0 (i=1,2,n