立體幾何中的建系設(shè)點(diǎn)

1、立體幾何解答題的建系設(shè)點(diǎn)問題 在如今的立體幾何解答題中，有些題目可以使用空間向量解決問題，與其說是向量運(yùn)算，不如說是點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算，所以第一個(gè)階段：建系設(shè)點(diǎn)就顯得更為重要，建立合適的直角坐標(biāo)系的原則有哪些？如何正確快速寫出點(diǎn)的坐標(biāo)？這是本文要介紹的內(nèi)容。一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）建立直角坐標(biāo)系的原則：如何選取坐標(biāo)軸1、軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)的是線面垂直，即軸要與坐標(biāo)平面垂直，在幾何體中也是很直觀的，垂直底面高高向上的即是，而坐標(biāo)原點(diǎn)即為軸與底面的交點(diǎn)2、軸的選?。捍藶樽鴺?biāo)是否易于寫出的關(guān)鍵，有這么幾個(gè)原則值得參考：（1）盡可能的讓底面上更多的點(diǎn)位于軸上（2）找角：軸要相互垂直，所以要利用好底面

2、中的垂直條件（3）找對稱關(guān)系：尋找底面上的點(diǎn)能否存在軸對稱特點(diǎn)3、常用的空間直角坐標(biāo)系滿足軸成右手系，所以在標(biāo)軸時(shí)要注意。4、同一個(gè)幾何體可以有不同的建系方法，其坐標(biāo)也會(huì)對應(yīng)不同。但是通過坐標(biāo)所得到的結(jié)論（位置關(guān)系，角）是一致的。5、解答題中，在建立空間直角坐標(biāo)系之前，要先證明所用坐標(biāo)軸為兩兩垂直（即一個(gè)線面垂直底面兩條線垂直），這個(gè)過程不能省略。6、與垂直相關(guān)的定理與結(jié)論：（1）線面垂直： 如果一條直線與一個(gè)平面上的兩條相交直線垂直，則這條直線與該平面垂直 兩條平行線，如果其中一條與平面垂直，那么另外一條也與這個(gè)平面垂直 兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面上垂直交線的直線與另一個(gè)平面垂直 直棱柱：

3、側(cè)棱與底面垂直（2）線線垂直（相交垂直）： 正方形，矩形，直角梯形 等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直（三線合一） 菱形的對角線相互垂直 勾股定理逆定理：若，則 （二）坐標(biāo)的書寫：建系之后要能夠快速準(zhǔn)確的寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，按照特點(diǎn)可以分為3類1、能夠直接寫出坐標(biāo)的點(diǎn)（1） 坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，例如在正方體（長度為1）中的點(diǎn)，坐標(biāo)特點(diǎn)如下：軸： 軸： 軸： 規(guī)律：在哪個(gè)軸上，那個(gè)位置就有坐標(biāo)，其余均為0（2）底面上的點(diǎn)：坐標(biāo)均為，即豎坐標(biāo)，由于底面在作立體圖時(shí)往往失真，所以要快速正確寫出坐標(biāo)，強(qiáng)烈建議在旁邊作出底面的平面圖進(jìn)行參考：以上圖為例：則可快速寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，位置關(guān)系清晰明了 2、空間中在底面投影為特

4、殊位置的點(diǎn)： 如果在底面的投影為，那么（即點(diǎn)與投影點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相同） 由這條規(guī)律出發(fā)，在寫空間中的點(diǎn)時(shí)，可看下在底面的投影點(diǎn)，坐標(biāo)是否好寫。如果可以則直接確定了橫縱坐標(biāo)，而豎坐標(biāo)為該點(diǎn)到底面的距離。例如：正方體中的點(diǎn)，其投影為，而所以，而其到底面的距離為，故坐標(biāo)為以上兩個(gè)類型已經(jīng)可以囊括大多數(shù)幾何體中的點(diǎn)，但總還有一些特殊點(diǎn)，那么就要用到第三個(gè)方法：3、需要計(jì)算的點(diǎn) 中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，則中點(diǎn)，圖中的等中點(diǎn)坐標(biāo)均可計(jì)算 利用向量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算（先設(shè)再求）：向量坐標(biāo)化后，向量的關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可以求出一些位置不好的點(diǎn)的坐標(biāo)，方法通常是先設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，再選取向量，利用向量關(guān)系解出變量的

5、值，例如：求點(diǎn)的坐標(biāo)，如果使用向量計(jì)算，則設(shè)，可直接寫出，觀察向量，而 ， 二、典型例題：例1：在三棱錐中，平面，分別是棱的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并確定各點(diǎn)坐標(biāo)例2：在長方體中，分別是棱上的點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)。例3：如圖，在等腰梯形中， 平面，且，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并確定各點(diǎn)坐標(biāo)。小煉：建立坐標(biāo)系的最重要的條件就是線面垂直（即軸），對于軸的選取，如果沒有已知線段，可以以垂足所在的某一條直線為坐標(biāo)軸，然后作這條軸的垂線來確定另一條軸。例4：已知四邊形滿足，是中點(diǎn)，將翻折成，使得平面平面，為中點(diǎn)思路：在處理翻折問題時(shí)，首先要確定在翻折的過程中哪些量與位置關(guān)系不變，這些都是作為已知條件使用的。例5：如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線交于點(diǎn)，且平面，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近