第十四章曲線積分曲面積分與場論

1、第十四章 曲線積分、曲面積分與場論教學目的與要求1 掌握兩類曲線積分和兩類曲面積分的定義及相互聯(lián)系；2 掌握兩類曲線積分和兩類曲面積分的計算；3掌握Green公式 公式和公式，并能應用它們來求第二類線面積分；4理解曲線積分與路徑無關的含義；5了解外微分的定義及應用；6了解場論初步的基本知識。教學重點1兩類曲線積分和兩類曲面積分的計算；2 Green公式 公式和公式的應用；3曲線積分與路徑無關的條件。教學難點1兩類曲線積分互化和兩類曲面積分互化；2 曲線積分與路徑無關的條件。§1第一型曲線積分和第一類面面積分教學目的1掌握第一類曲線積分和第一類曲面積分的定義；2 會求曲面的面積。教學過

2、程背景:幾何體的質量: 已知密度函數(shù) , 分析線段、平面區(qū)域、空間幾何體的質量1 第一類曲線積分1.1 定義(P294-295)1.2 性質(P295)1.3 計算(P295-296) 例1 設是半圓周, . . 例2 設是曲線上從點到點的一段. 計算第一型曲線積分 . 空間曲線上的第一型曲線積分: 設空間曲線,. 函數(shù)連續(xù)可導, 則對上的連續(xù)函數(shù), 有.例3 計算積分, 其中是球面被平面截得的圓周 . 解 由對稱性知 , , =. ( 注意是大圓 )2 曲面的面積P298-3043第一型曲面積分3.1 定義(P304-305)3.2 計算1 設有光滑曲面 .為上的連續(xù)函數(shù),則 . 例4 計算

3、積分, 其中是球面 被平面 所截的頂部 . 例5 求，其中是球面與平面的交線。解法1 解法2 求曲線的參數(shù)方程。由，消去，得, 即 令，則于是得到兩組參數(shù)方程我們可任選一組，例如第一組。顯然，被積函數(shù)和都具有輪換對稱性，則解法3 作坐標旋轉。就坐標是，新坐標是，旋轉角為，則旋轉變換的一般公式為 ， 因為平面的單位法矢為，則它與軸的夾角余弦為。下面分兩步進行旋轉，先將平面旋轉，得新坐標系；再將平面旋轉，得新坐標系。即由旋轉公式得于是得 在這組變換下，曲線：，變?yōu)椋?注1 三種解法各具特點：解法1技巧性強，直接利用了幾何意義，而不必化為定積分。解法2常規(guī)的方法，即 寫出參數(shù)方程 套公式 計算定積

4、分這里主要難在第一步，寫參數(shù)方程。通過解法2，給出了一種求參數(shù)方程的方法。解法3先通過坐標旋轉，將問題轉化為另一個與之等價的問題，再按常規(guī)的方法計算。坐標系下的線積分 坐標系下的線積分 寫出參數(shù)方程 套公式 計算定積分在新的坐標下，曲線有簡單的參數(shù)方程。這個解法表明，可以適當?shù)剞D化問題，例如作坐標旋轉，從而獲得簡單的參數(shù)方程。作業(yè)：P309310 1（1）（3）（5）（7）、3（2）（4）（6）、4（1）（4）（7）、9、11 §2 第二型曲線積分和第二型曲面積分教學目的1 掌握第二型曲線積分和第二型曲面積分的定義和計算2 教學過程1 第二類曲線積分（1）力場沿平面曲線從點A到點B所

5、作的功:先用微元法 , 再用定義積分的方法討論這一問題 , 得 , 即 . （2）穩(wěn)流場通過曲線 ( 從一側到另一側 ) 的流量: 解釋穩(wěn)流場. ( 以磁場為例 ).設有流速場. 求在單位時間內通過曲線AB從左側到右側的流量E . 設曲線AB上點處的切向量 B為, ( 是切向量方向與X軸 正向的夾角. 切向量方向按如下方法確定: 法線方 向是指從曲線的哪一側到哪一側, 在我們現(xiàn)在的問 A 題中是指從左側到右側的方向. 切向量方向與法線 方向按右手法則確定, 即以右手拇指所指為法線方向, 則食指所指為切線方向 .) .在弧段上的流量 . ,因此 , .由, 得. 于是通過曲線AB從左側到右側的總

6、流量E為.1.1 第二型曲線積分的定義閉路積分的記法. 按這一定義 , 有 力場沿平面曲線從點A到點B所作的功為. 流速場在單位時間內通過曲線AB從左側到右側的總流量E為 .第二型曲線積分的鮮明特征是曲線的方向性 . 對二型曲線積分有 ,因此, 定積分是第二型曲線積分中當曲線為X軸上的線段時的特例.可類似地考慮空間力場沿空間曲線AB所作的功. 導出空間曲線上的第二型曲線積分.1.2 第二型曲線積分的性質 第二型曲線積分可概括地理解為向量值函數(shù)的積累問題 . 與我們以前討論過的積分相比, 除多了一層方向性的考慮外, 其余與以前的積累問題是一樣的, 還是用Riemma的思想建立的積分 . 因此 ,

7、 第二型曲線積分具有(R )積分的共性 , 如線性、關于函數(shù)或積分曲線的可加性 . 但第二型曲線積分一般不具有關于函數(shù)的單調性 , 這是由于一方面向量值函數(shù)不能比較大小, 另一方面向量值函數(shù)在小弧段上的積分還與弧段方向與向量方向之間的夾角有關.1.3 第二型曲線積分的計算曲線的自然方向: 設曲線L由參數(shù)式給出. 稱參數(shù)增大時曲線相應的方向為自然方向.設L為光滑或按段光滑曲線 , L : .A, B; 函數(shù)和在L上連續(xù), 則沿L的自然方向( 即從點A到點B的方向)有. (證略) 例1 計算積分, L的兩個端點為A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 積分從點A到點B或閉合, 路徑為>

8、; 直線段AB> 拋物線;> A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ), 折線閉合路徑 . 例2 計算積分, 這里L : > 沿拋物線從點O( 0 , 0 )到點B( 1 , 2 );> 沿直線從點O( 0 , 0 )到點B( 1 , 2 );> 沿折線閉合路徑O(0,0)A(1,0 )B(1,2 ) O(0,0). 例3 計算第二型曲線積分 I = , 其中L是螺旋線, 從到的一段 . 例4 求在力場作用下,> 質點由點A沿螺旋線到點B所作的功, 其中L : , .> 質點由點A沿直線L到點B所作的功例5 計算

9、曲線積分，（1）是球面三角形，的邊界線，從球的外側看去，的方向為逆時針方向；（2）是球面和柱面的交線位于平面上方的部分，從軸上點看去，是順時針方向。解 （1）顯然，具有輪換對稱性，且被積表達式也具有輪換對稱性，將分為三段：， （，） ：， （，）：， （，）則 或 注1 這里利用輪換對稱性使計算化簡，都是寫為某積分的3倍。它們的區(qū)別在于第一種方法：積分表達式不變，積分化為上的積分的3倍。第二種方法：積分曲線不變，積分化為表達式中第一項積分的3倍。問題1 是否可化為既是上的積分的3倍，又是表達式中第一項積分的3倍，即（2）曲線關于平面對稱，且方向相反同理 故 下面求曲線的參數(shù)方程。方法1 利用球

10、面的參數(shù)方程，代入柱面方程得，于是得的參數(shù)方程， ， ， 從到方法2 利用柱面的參數(shù)方程，代入球面方程，得的參數(shù)方程， ， ， 從到不妨取方法1中的參數(shù)方程進行計算，注2 這里利用對稱性（不是輪換對稱性），立即可知前兩項的積分為0。值得注意的是第二型的曲線積分與第一型的曲線積分對稱性的應用是不同的。例如第一項積分，曲線關于平面對稱，且方向相反，而被積函數(shù)關于是偶函數(shù)（不是奇函數(shù)），則上面等式中，兩項恰好相差一個符號，負號的出現(xiàn)是由于方向相反產生的。2 曲面的側P316-317單側曲面與雙側曲面:雙側曲面的定向: 曲面的上、下側，左、右側，前、后側. 設法向量為,則上側法線方向對應第三個分量,

11、即選“+”號時，應有，亦即法線方向與軸正向成銳角. 類似確定其余各側的法線方向 閉合曲面分內側和外側.3 第二類曲面積分3.1 穩(wěn)流場的流量: 以磁場為例. 3.2 第二型曲面積分的定義 閉合曲面上的積分及記法.3. 3 第二型曲面積分的性質: 線性 , 關于積分曲面塊的可加性.3.4 第二型曲面積分與第一型曲面積分的關系:設為曲面的指定法向, 則. 3.5 第二型曲面積分的計算 1 設是定義在光滑曲面D上的連續(xù)函數(shù), 以的上側為正側( 即 ), 則有.類似地, 對光滑曲面D, 在其前側上的積分.對光滑曲面 D, 在其右側上的積分.計算積分時, 通常分開來計算三個積分, , .為此, 分別把曲

12、面投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化為二重積分進行計算. 投影域的側由曲面的定向決定. 例6 計算積分,其中是球面 在部分取外側. 例7計算積分， 為球面取外側. 解 對積分, 分別用和記前半球面和后半球面的外側, 則有 : ;: .因此, =+ =. 對積分, 分別用和記右半球面和左半球面的外側, 則有: ;: .因此, +=. 對積分, 分別用和記上半球面和下半球面的外側, 則有: ;: .因此, =+ =.綜上, =.作業(yè): P324-326 1（4）（6）（7）、4（2）（4）（6）（9）§ 3 Green公式 公式和公式( 4 時 )教學目的1掌握Green公式 公式

13、和公式，并能應用它們來求第二類線面積分2 掌握積分與路徑無關的條件，并能靈活應用于求第二類曲線積分。教學過程1 Green公式閉區(qū)域的正面與邊界正向的規(guī)定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示區(qū)域的正面( 理解為拇指“站立在” 區(qū)域的正面上 ), 則其余四指( 彎曲 )表示邊界的正向. 右手螺旋定向法則還可表述為: 人站立在區(qū)域的正面的邊界上, 讓區(qū)域在人的左方. 則人前進的方向為邊界的正向. 參閱1P372圖228. 若以L記正向邊界, 則用L或L表示反向（或稱為負向）邊界. 1.1 1 若函數(shù)P和Q在閉區(qū)域DR上連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導數(shù), 則有,其中L為區(qū)域D的正向邊界. Green

14、公式又可記為 .1.2 應用舉例:對環(huán)路積分, 可直接應用Green公式. 對非閉路積分, 常采用附加上一條線使變成環(huán)路積分的技巧.例1 計算積分 , 其中AB. 曲線AB為圓周在第一象限中的部分. 解法一 ( 直接計算積分 ) 曲線AB的方程為 .方向為自然方向的反向. 因此.解法二 ( 用Green公式 ) 補上線段BO和OA ( O為坐標原點 ), 成閉路. 設所圍區(qū)域為D, 注意到D為反向, 以及, 有.例2 計算積分 I =, 其中L為任一不包含原點的閉區(qū)域D的邊界(方向任意 ) 解 . (和在D上有連續(xù)的偏導數(shù))., .于是, I = .例3 驗證區(qū)域D的面積公式 |D|, L為D

15、的正向邊界. 例4 計算由星形線 所界的面積.例5 計算積分, 其中L是由曲線 ,所圍區(qū)域D的邊界, 取正向.解 . .作代換, 在此代換之下 , 區(qū)域D變?yōu)閁V平面上的區(qū)域., .于是, .例6 計算積分, D : .解 令, 有.域D為三角形, 三個頂點為OA, B.2 曲線積分與路線無關性:2.1 積分與路徑無關的等價條件2 設DR是單連通閉區(qū)域. 若函數(shù)和在閉區(qū)域D內連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導數(shù) , 則以下四個條件等價 :> 沿D內任一按段光滑的閉合曲線L, 有 .> 對D內任一按段光滑的曲線L, 曲線積分與路徑無關, 只與曲線L的起點和終點有關.> 是D內某一函數(shù)的

16、全微分, 即在D內有.> 在D內每一點處有 .2.2 恰當微分的原函數(shù):若有, 則稱微分形式是一個恰當微分. 恰當微分有原函數(shù), ( 它的一個 ) 原函數(shù)為 : . 或 其中點D, 當點D時, 常取=.驗證第一式: =;.例7 驗證式 是恰當微分, 并求其原函數(shù).例8 驗證曲線積分與路徑無關 , 并求被積表達式的原函數(shù). 3 Gauss公式:3 設空間區(qū)域V由分片光滑的雙側封閉曲面圍成 . 若函數(shù)在V上連續(xù), 且有連續(xù)的一階偏導數(shù) , 則,其中取外側.稱上述公式為Gauss公式證 只證 .設V是型區(qū)域( 即型體 ), 其邊界曲面由曲面下側 , D,上側 , D. .以及垂直于平面的柱面(

17、外側)組成. 注意到=, 有.可類證, .以上三式相加, 即得Gauss公式.例8 計算積分， 為球面取外側. 解 .由Gauss公式 . 例9 計算積分，其中是邊長為的正方體V的表面取外側. V : .解 應用Gauss公式 , 有.例10 計算積分，為錐面在平面下方的部分，取外法線方向 .解 設為圓取上側 , 則構成由其所圍錐體V的表面外側 , 由Gauss公式 , 有 =錐體V的體積;而 因而, .例11 設V是三維空間的區(qū)域, 其內任何封閉曲面都可不通過V外的點連續(xù)收縮為V上的一點. 又設函數(shù)、和在V上有連續(xù)的偏導數(shù). 表示V內任一不自交的光滑封閉曲面, 是的外法線. 試證明: 對V內

18、任意曲面恒有的充要條件是在V內處處成立.證 . 由Gauss公式直接得到 . 反設不然 , 即存在點V, 使,不妨設其. 由在點連續(xù), 存在以點為中心且在V內的小球, 使在其內有. 以表示小球的表面外側, 就有,與矛盾.4 Stokes公式空間雙側曲面的正側與其邊界閉合曲線L正向的匹配關系: 右手螺旋法則, 即當人站在曲面的正側上, 沿邊界曲線L行走時, 若曲面在左側, 則把人的前進方向定為L的正向.4.1 Stokes定理:4 設光滑曲面的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲線 . 若函數(shù)、和在( 連同L )上連續(xù) ,且有一階連續(xù)的偏導數(shù) , 則.其中的側與L的方向按右手法則確定 .稱該公式為Stoke

19、s公式 .證 先證式 . Stokes公式也記為 . 例13 計算積分, 其中 L為平面與各坐標平面的交線, 方向為: 從平面的上方往下看為逆時針方向.作業(yè)：P345348 1（4）（6）（8）（9）、3、（2）（3）、5、6、9（2）（4）（6）（8）、12（1）（3）（4）（6）、15、17小結：下面的圖表給出了各種積分間的聯(lián)系，在計算中可以根據(jù)這些關系，將一種積分轉化為另一種積分。第一型曲線積分二重積分第二型曲線積分格林公式斯托克司公式 三重積分第一型曲面積分積分第二型曲面積分面積分高斯公式例1 設為平面上封閉曲線，為平面上任意方向，是的外法線方向。證明 y x證明 ，因為 ， 則 ，

20、注1 此例給出了平面上閉曲線切線正向和外法線矢量的關系：（這個結果在7、8、12題都要用到）， 注2 利用這個關系，可得格林公式的另一種形式：或（用外法向矢量） 試比較（用正向的切線矢量） 事實上 注3 我們已經(jīng)知道，格林公式是斯托克司公式當是平行于坐標面的平面曲線時的特殊情形。而從格林公式的上述形式可以看出，格林公式也可作為高斯公式的特殊情形。在高斯公式中，設不依賴于。考慮平行于軸的單位高柱體的邊界曲面的外側，它在面的投影為曲線。記柱面的上底面為，下底面為，側面為，則 又 即 例2 設具有二階連續(xù)偏導數(shù)，證明（1）（2）其中，為閉曲線所圍的平面區(qū)域，為沿外法線方向的導數(shù)。證 （1）在格林公式

21、的等價形式中令得，即 （2）注4 在式中令，則（2）即化為（1）。注5 設，為空間立體的邊界，為沿外法線方向的導數(shù)，則有格林第一公式： 格林第二公式： 例3 用斯托克司公式計算下列積分(a) (b) 是曲線，它的方向與所圍曲面的上側構成右手法則。解 是曲面上所圍部分的上側。它關于zx平面對稱，在xy平面的投影是。 （斯托克司公式） （，對稱性） （兩類曲面積分的關系） （，對稱性）（兩類曲面積分的關系，幾何意義）注6 這題很巧妙，是一道綜合性很強的題，用到的知識有：1、 斯托克司公式2、 兩類曲面積分的關系，曲面的法向矢量3、 對稱性4、 幾何意義例4 證明高斯積分 其中是平面上一單連通區(qū)域的邊界，而是上一點到外某一定點的距離，是的外法線方向。又若表示上一點到內某一定點的距離，則這個積分之值等于。解 （1）設外某一定點，則， =， 注意是外某一定點，故和在內處處連續(xù)，由格林公式得（2）設是內某一定點，這時格林公式不再成立。以為中心，為半徑作圓，充分小使完