空間角的計(jì)算1

1、立體幾何空間角的計(jì)算一、運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何中的角的問(wèn)題在立體幾何中，涉及的角有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等.關(guān)于角的計(jì)算，均可歸結(jié)為求兩個(gè)向量夾角.對(duì)于空間向量a，b，有.利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中的角的問(wèn)題.求異面直線所成角的關(guān)鍵是求異面直線上兩向量的數(shù)量積，而要求兩向量的數(shù)量積，可求兩向量的坐標(biāo)，也可以把所求向量用一組基向量表示，兩向量的夾角范圍是，而兩異面直線所成角的范圍是，應(yīng)注意區(qū)別.直線與平面的夾角，是直線的方向向量l與平面的法向量n的夾角（銳角）的余角，故有.設(shè)n1，n2分別是二面角的面的法向量，則<n1，n2>就是所求二

2、面角的平面角或其補(bǔ)角的大小.解決異面直線所成角問(wèn)題例1已知直四棱柱中, 底面是直角梯形,為直角,，,.求異面直線與所成角的大小.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)解：如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、所在直線為、軸建立直角坐標(biāo)系.則，,設(shè)與所成的角為,則=，.異面直線與所成角的大小為解決二面角問(wèn)題例2在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形,平面底面（）證明平面；（）求面與面所成的二面角的大小證明：（）同例1.（）由（）得是面的法向量設(shè)是面的法向量，則， 又由題意知，面與面所成的二面角為銳角，所以其大小為.評(píng)注：求二面角大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面的法向量的夾角大小，兩平面法向量的夾角與二面角的大小相等或互補(bǔ)，解

3、題時(shí)要注意結(jié)合題目條件進(jìn)一步確定二面角的大小.練習(xí)：ABCDEA1B1C1D11、如圖，正四棱柱中，點(diǎn)在上且（）證明：平面；（）求二面角的大小2、如圖，直三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，平面（I）證明：（II）設(shè)二面角為60°，求與平面所成的角的大小。3、如圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)，分別在棱上，且（）求證：平面；（）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大??；4、如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD(I) 求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II) 證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E

4、的余弦值。5、如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，（）求證：面；（）求二面角的大小。（）求三棱錐的體積。6、如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.7、如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，求證：（III）求二面角的大小。8、如圖，已知等腰直角三角形，其中=90º，點(diǎn)A、D分別是、的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿著邊折起到位置，使，連結(jié)、求二面角

5、的平面角的余弦值A(chǔ)BCDEA1B1C1D1yxz參考答案1、以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系依題設(shè)，3分（）因?yàn)椋剩?又，所以平面6分（）設(shè)向量是平面的法向量，則， 故，令，則，9分等于二面角的平面角，所以二面角的大小為 12分3、如圖，以A為原煤點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，由已知可得.（），BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D為PB的中點(diǎn)，DE/BC，E為PC的中點(diǎn)，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點(diǎn)E.DAE是AD與平面PAC所成的角，.與平面所成的角的大小.4、如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得（I）所以異面直線與所

6、成的角的大小為.（II）證明：，（III）又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為5、以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則分別是的中點(diǎn)（） 取，顯然面，又面面（）過(guò)作，交于，取的中點(diǎn)，則設(shè)，則又由，及在直線上，可得: 解得 即與所夾的角等于二面角的大小故：二面角的大小為（）設(shè)為平面的法向量，則 又 即 可取點(diǎn)到平面的距離為， 6、如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），（）因?yàn)椋矫鍼AB的一個(gè)法向量是，所以共線.從而BE平面PAB.又因?yàn)槠矫鍼BE，故平面PBE平面PAB.()易知 設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量，則由得所以 設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，則由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是7、因等腰直角三角形，所以又因?yàn)槠矫?，所以平面，所以即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標(biāo)系, (I) 設(shè)，則，從而.，于是，,平面，平面，（II），從而 于是，又平面，直線不在平面內(nèi)， 故平面（III）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，并設(shè)（ 即 取，則，從而（1，1，3） 取平面D的一個(gè)法向量為.故二面角的大小為8、解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則（1，0，0），（2，1，0