量子物理157方程

1、2018/1/31一、含時(shí)方程1. 自由粒子的方程- i ( Et - px )一維自由粒子平面波函數(shù) ( x, t ) = y 0e上式取 x 的導(dǎo)數(shù)和 t 的一階偏導(dǎo)數(shù)得¶ 2 = - p2¶ = - i E ( x, t )¶x 22 ( x, t )¶t自由粒子 (v << c)E = Ekp 2 = 2mEk一維運(yùn)動(dòng)自由粒子-¶ = i¶22的含時(shí)方程2 m ¶x 2¶t2§15-7-2方程 (了解)經(jīng)典力學(xué)量子力學(xué)不考慮物質(zhì)的波粒二象性物質(zhì)的波粒二象性經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)有運(yùn)動(dòng)軌道概念微觀粒子

2、無運(yùn)動(dòng)軌道概念是否存在一個(gè)力學(xué)方程量子力學(xué)方程根據(jù)初始條件可求出經(jīng)典質(zhì)點(diǎn)的根據(jù)某種條件可求出微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)波函數(shù)12018/1/32¶ 2¶ 2¶ 2引入斯算符 Ñ 2 =+¶x 2¶y 2¶z 2一般的方程-2 Ñ+y =¶2U ( x, y, z, t )i2m¶t或稱含時(shí)方程42. 在勢(shì)場(chǎng)中粒子的方程如果粒子不是自由的而是在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)所適合的方程可用類似方法建立起來。p2E = Ek + Ep = 2m + U ( x, t )在勢(shì)場(chǎng)中一維運(yùn)動(dòng)粒-¶ +(,

3、)y =¶22子的含時(shí)方程2 m ¶x 2Ux ti¶t如果粒子在三中運(yùn)動(dòng)，則上式推廣為2 æ ¶ 2¶ 2¶ 2 ö¶-ç+÷ + U ( x , y , z , t )y = i2 m è ¶x 2¶y 2¶z 2 ø¶t32018/1/33所謂“定態(tài)”，就是波函數(shù)具有形式所描述的狀態(tài)。它的重要特點(diǎn)是：其概率密度與時(shí)間無關(guān)定態(tài)波函數(shù)中的稱為振幅函數(shù)（有時(shí)直稱為波函數(shù)）。的函數(shù)形式也應(yīng)滿足統(tǒng)計(jì)的條件連續(xù)、單值、有限的標(biāo)準(zhǔn)條件

4、； 歸一化條件；對(duì)坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)（使定態(tài)方程成立）。定態(tài)問題是量子力學(xué)最基本的問題，我們僅討論若干典型的定態(tài)問題。6二、定態(tài)方程當(dāng)勢(shì)能U不顯含時(shí)間而只是坐標(biāo)的函數(shù)時(shí)，而與時(shí)間無關(guān)， 于是可以把波函數(shù)分成坐標(biāo)函數(shù)與時(shí)間函數(shù)的乘積，即i px - i Et ( x, t ) = y ( x)j (t ) = y 0ee在勢(shì)場(chǎng)中一維運(yùn)動(dòng)粒子的定態(tài)方程¶ 2y + 2m¶x 22 ( E - U )y ( x ) = 0在三維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的定態(tài)方程定態(tài)方程Ñ 2y + 2m ( E - U )y = 0252018/1/3三、力學(xué)量的算符表示算符是表示對(duì)某一函

5、數(shù)進(jìn)行某種數(shù)算的符號(hào)。在量子力學(xué)中，一切力學(xué)量都可用算符來表示。這是量子力學(xué)的一個(gè)很重要的特點(diǎn)。四、本征函數(shù)、本征值和平均值劈形算符數(shù)算符號(hào)斯算符若和即則作用在某函數(shù) 上的效果與某一常量的乘積相當(dāng)，稱為稱為的 本征值 的 本征函數(shù)所描述的狀態(tài)稱征態(tài)力學(xué)量的可能值是它的本征值 力學(xué)量的平均值由下述求出74五、概率守恒和概率流密度矢量定域是指粒子出現(xiàn)在一定的空間區(qū)域。那么在定域內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率將如何隨時(shí)間變化呢？ 設(shè)粒子的波函數(shù)為 y (r , t )，則在t 時(shí)刻、r 附近的體積內(nèi)，粒子出現(xiàn)的概率為：r (r , t ) = y (r , t ) 2 = y *(r , t )y (r , t

6、)概率密度隨時(shí)間的變化為¶r =y *¶y (r ,t)¶y *(r ,t)y¶t(r ,t)¶t+¶t(r ,t)¶y (r , t ) = iÑ2y (r , t ) + 1 V (r )y (r , t )¶t2mi8力學(xué) 量算符 統(tǒng)稱舉例 位矢算符動(dòng)量算符動(dòng)能算符哈密頓算符 含動(dòng)、勢(shì)能2018/1/35令 j (r , t ) = - i(y *Ñy -yÑy * )2m或者令 j (r , t ) =1 (y * p y -yp y * ) 2m故 ¶r +

7、9; × j = 0 定域的概率守恒¶t方程的微分形式將其對(duì)空間任意一積V，得òòò ¶r dV + òòò (Ñ × j )dV = 0V¶tV¶ òòò rdV + òò j × dS = 0¶t VS10¶y*(r,t) = - i Ñ2y*1*¶t2m(r,t) - i V(r)y (r,t)而V*(r) =V(r) ¶r = i(y *Ñ

8、 2y - yÑ 2y * )¶t2m又 Ñ×(y*Ñy) = Ñy* ×Ñy +y*Ñ2yÑ×(y Ñy *) = Ñy ×Ñy * +y Ñ2y *所以 ¶r = iÑ × (y *Ñy -yÑy * )¶t2m92018/1/36練習(xí).意波的波函數(shù)與經(jīng)典波的本質(zhì)區(qū)別是什么？經(jīng)典波：實(shí)在的物理量（位移、場(chǎng)強(qiáng) .）隨時(shí)間、空間按波動(dòng)規(guī)律變化。意波：概率波。其波函數(shù)（概率幅）不表示實(shí)在物理量的波 動(dòng)，沒有直接的物理意義。波函數(shù)的強(qiáng)度表示粒子在 空間的概率密度分布。練習(xí). 將波函數(shù)在空間各點(diǎn)的振幅同時(shí)增大D倍，則粒子在空間的分布概率將1）增大D2 倍，2）增大2D倍，3）增大D倍，4）不變。：D12¶ òòò rdV = -òò j × dSr ®µ 時(shí) òò j × dS = 0¶t VSS概率流密度¶ òòò r dV = 0定域的概率守恒¶t方程的形式( t