離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

1、實(shí)驗(yàn)一離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)：2實(shí)驗(yàn)類型：常規(guī) 實(shí)驗(yàn)要求：必作一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模海?）掌握利用MATLAB繪制系統(tǒng)零極點(diǎn)圖的方法； （2）掌握離散時(shí)間系統(tǒng)的零極點(diǎn)分析方法；（3）掌握用MATALB實(shí)現(xiàn)離散系統(tǒng)頻率特性分析的方法；（4）掌握逆Z變換概念及MATLAB實(shí)現(xiàn)方法；（5）掌握用MATLAB分析離散系統(tǒng)穩(wěn)定性。二、實(shí)驗(yàn)原理：1、離散系統(tǒng)零極點(diǎn)圖及零極點(diǎn)分析；線性時(shí)不變離散系統(tǒng)可用線性常系數(shù)差分方程描述，即 （8-1）其中為系統(tǒng)的輸出序列，為輸入序列。將式（8-1）兩邊進(jìn)行Z變換的 （8-2）將式（8-2）因式分解后有： （8-3）其中為常數(shù)，為的個(gè)零點(diǎn)，為的個(gè)極點(diǎn)。系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布完

2、全決定了系統(tǒng)的特性，若某系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)已知，則系統(tǒng)函數(shù)便可確定下來(lái)。因此，系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布對(duì)離散系統(tǒng)特性的分析具有非常重要意義。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)的分析，可以分析離散系統(tǒng)以下幾個(gè)方面的特性：l 系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的時(shí)域特性；l 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性；l 離散系統(tǒng)的頻率特性；1.1、零極點(diǎn)圖的繪制 設(shè)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為則系統(tǒng)的零極點(diǎn)可用MATLAB的多項(xiàng)式求根函數(shù)roots()來(lái)實(shí)現(xiàn)，調(diào)用格式為：p=roots(A)其中A為待根求多項(xiàng)式的系數(shù)構(gòu)成的行矩陣，返回向量則是包含多項(xiàng)式所有根的列向量。如多項(xiàng)式為，則求該多項(xiàng)式根的MATLAB命令為為：A=1 3/4 1/8;P=roots(A)運(yùn)行結(jié)

3、果為：P = -0.5000 -0.2500需注意的是，在求系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)可能有兩種形式：一種是分子、分母多項(xiàng)式均按z的降冪次序排列；另一種是分子、分母多項(xiàng)式均按的升冪次序排列。這兩種方式在構(gòu)造多項(xiàng)式系數(shù)向量時(shí)稍有不同。（1）按z的降冪次序排列：系數(shù)向量一定要由多項(xiàng)式最高次冪開始，一直到常數(shù)項(xiàng)，缺項(xiàng)要用0補(bǔ)齊；如其分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量分別為A=1 0 2 0、B=1 3 2 2 1。（2）按的升冪次序排列：分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量的維數(shù)一定要相同，不足的要用0補(bǔ)齊，否則的零點(diǎn)或極點(diǎn)就可能被漏掉。如其分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量分別為A=1 2 0、B=1 1/2 1/4。用root

4、s()求得的零極點(diǎn)后，就可以用plot()函數(shù)繪制出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖。下面是求系統(tǒng)零極點(diǎn)，并繪制其零極點(diǎn)圖的MATLAB實(shí)用函數(shù)ljdt()，同時(shí)還繪制出了單位圓。function ljdt(A,B)% The function to draw the pole-zero diagram for discrete systemp=roots(A); %求系統(tǒng)極點(diǎn)q=roots(B); %求系統(tǒng)零點(diǎn)p=p' %將極點(diǎn)列向量轉(zhuǎn)置為行向量q=q' %將零點(diǎn)列向量轉(zhuǎn)置為行向量x=max(abs(p q 1);%確定縱坐標(biāo)范圍x=x+0.1;y=x;%確定橫坐標(biāo)范圍clfhold onax

5、is(-x x -y y)%確定坐標(biāo)軸顯示范圍w=0:pi/300:2*pi;t=exp(i*w);plot(t)%畫單位園axis('square')plot(-x x,0 0)%畫橫坐標(biāo)軸plot(0 0,-y y)%畫縱坐標(biāo)軸text(0.1,x,'jImz')text(y,1/10,'Rez')plot(real(p),imag(p),'x')%畫極點(diǎn)plot(real(q),imag(q),'o')%畫零點(diǎn)title('pole-zero diagram for discrete system&#

6、39;)%標(biāo)注標(biāo)題hold off1.2、離散系統(tǒng)零極點(diǎn)分析（1）離散系統(tǒng)零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：時(shí)域條件：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為，即系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)絕對(duì)可和；Z域條件：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為系統(tǒng)函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于Z平面的單位圓內(nèi)。對(duì)于三階以下的低階系統(tǒng)，可以利用求根公式求出系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但對(duì)于高階系統(tǒng)，手工求解則顯得十分困難，這時(shí)可以利用MATLAB來(lái)實(shí)現(xiàn)。實(shí)現(xiàn)方法是調(diào)用前述的函數(shù)ljdt()繪出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，然后根據(jù)極點(diǎn)的位置判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2、離散系統(tǒng)頻率特性分析；2.1、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對(duì)于某因果穩(wěn)定離散系統(tǒng)，如果激勵(lì)序列為正弦序

7、列：則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：定義離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為其中，稱為離散系統(tǒng)的幅頻特性； 稱為離散系統(tǒng)的相頻特性；是以為周期的周期函數(shù)，只要分析在范圍內(nèi)的情況，便可分析出系統(tǒng)的整個(gè)頻率特性。2.2、用MATLAB實(shí)現(xiàn)離散系統(tǒng)的頻率特性分析方法（1）直接法設(shè)某因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，則系統(tǒng)的頻響特性為：MATLAB提供了專門用于求離散系統(tǒng)頻響特性的函數(shù)freqz()，調(diào)用freqz()的格式有以下兩種：l H,w=freqz(B,A,N) B和A分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，N為正整數(shù)，返回量H則包含了離散系統(tǒng)頻響在范圍內(nèi)N個(gè)頻率等分點(diǎn)的值，向量w則包含范圍內(nèi)N個(gè)頻率等分點(diǎn)。調(diào)用中若

8、N默認(rèn)，默認(rèn)值為512。l H,w=freqz(B,A,N,whole)該調(diào)用格式將計(jì)算離散系統(tǒng)在范圍內(nèi)N個(gè)頻率等分點(diǎn)的頻率響應(yīng)的值。因此，可以先調(diào)用freqz()函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，然后利用abs()和angle()函數(shù)及plot()函數(shù)，即可繪制出系統(tǒng)在或范圍內(nèi)的頻響曲線。（2）幾何矢量法利用幾何矢量求解示意圖如圖8-4所示。有：則系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為： （8-7） （8-8）根據(jù)式（8-7）和（8-8），利用MATLAB來(lái)求解頻率響應(yīng)的過(guò)程如下：l 根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)定義分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量和；l 調(diào)用前述的ljdt()函數(shù)求出的零極點(diǎn)，并繪出零極點(diǎn)圖；l 定義Z平面單位圓上

9、的個(gè)頻率分點(diǎn)；l 求出所有的零點(diǎn)和極點(diǎn)到這些等分點(diǎn)的距離；l 求出所有的零點(diǎn)和極點(diǎn)到這些等分點(diǎn)矢量的相角；l 根據(jù)式（8-7）和（8-8）求出系統(tǒng)的和；l 繪制指定范圍內(nèi)系統(tǒng)的幅頻曲線和相頻曲線；下面是實(shí)現(xiàn)上述過(guò)程的實(shí)用函數(shù)dplxy()。有四個(gè)參數(shù)：k為用戶定義的頻率等分點(diǎn)數(shù)目；B和A分別為系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量；r為程序繪制的頻率特性曲線的頻率范圍（）。function dplxy(k,r,A,B)%The function to draw the frequency response of discrete systemp=roots(A); %求極點(diǎn)q=roots(B);%求

10、零點(diǎn)figure(1)ljdt(A,B)%畫零極點(diǎn)圖w=0:r*pi/k:r*pi;y=exp(i*w);%定義單位圓上的k個(gè)頻率等分點(diǎn)N=length(p);%求極點(diǎn)個(gè)數(shù)M=length(q);%求零點(diǎn)個(gè)數(shù)yp=ones(N,1)*y;%定義行數(shù)為極點(diǎn)個(gè)數(shù)的單位圓向量yq=ones(M,1)*y;%定義行數(shù)為零點(diǎn)個(gè)數(shù)的單位圓向量vp=yp-p*ones(1,k+1);%定義極點(diǎn)到單位圓上各點(diǎn)的向量vq=yq-q*ones(1,k+1);%定義零點(diǎn)到單位圓上各點(diǎn)的向量Ai=abs(vp);%求出極點(diǎn)到單位圓上各點(diǎn)的向量的模Bj=abs(vq);%求出零點(diǎn)到單位圓上各點(diǎn)的向量的模Ci=angle

11、(vp);%求出極點(diǎn)到單位圓上各點(diǎn)的向量的相角Dj=angle(vq);%求出零點(diǎn)到單位圓上各點(diǎn)的向量的相角fai=sum(Dj,1)-sum(Ci,1);%求系統(tǒng)相頻響應(yīng)H=prod(Bj,1)./prod(Ai,1);%求系統(tǒng)幅頻響應(yīng)figure(2)plot(w,H);%繪制幅頻特性曲線title('離散系統(tǒng)幅頻特性曲線')xlabel('角頻率')ylabel('幅度')figure(3)plot(w,fai)title('離散系統(tǒng)的相頻特性曲線')xlabel('角頻率')ylabel('相位&#

12、39;)三、實(shí)驗(yàn)方法和手段：集中授課，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行指導(dǎo)四、實(shí)驗(yàn)組織運(yùn)行要求：集中組織，單人單機(jī) 五、實(shí)驗(yàn)條件: 計(jì)算機(jī)、MATLAB軟件六、實(shí)驗(yàn)步驟：1、打開計(jì)算機(jī)，雙擊桌面MATLAB軟件圖標(biāo)，進(jìn)入MATLAB工作環(huán)境；2、在命令窗口（Command Window）輸入程序，按回車鍵執(zhí)行。3、按實(shí)驗(yàn)內(nèi)容逐一編成，將運(yùn)行結(jié)果存入 WORD文檔。七、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：1、離散系統(tǒng)零極點(diǎn)圖及零極點(diǎn)分析；例1：繪制如下系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)（1）（2）解：MATLAB命令如下（1） A=1 -3 7 -5;B=3 -5 10 0;ljdt(A,B)運(yùn)行結(jié)果：（2） A=1 3/4 1/8;B=1 -0.5 0;l

13、jdt(A,B)2、離散系統(tǒng)頻率特性分析；例2：繪制如下系統(tǒng)的頻響曲線解：MATLAB命令如下： B=1 -0.5; A =1 0; H,w=freqz(B,A,400,'whole'); Hf=abs(H); Hx=angle(H); clf figure(1) plot(w,Hf)title('離散系統(tǒng)幅頻特性曲線') figure(2) plot(w,Hx) title('離散系統(tǒng)相頻特性曲線')運(yùn)行結(jié)果：例3：已知某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：繪出該系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖及頻響特性。解：MATLAB命令如下：A=1 -1/4;B=5/4 -5/4;dplxy(500,2,A,B)運(yùn)行結(jié)果：3、離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析：根據(jù)