第二章第11節(jié)曲面積分的計算_第1頁
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1、第二章曲面論第七節(jié)曲面積分的計算一、 第一類曲面積分的計算 例1 . 計算下列曲面積分:(1),其中是四面體的邊界;(2),其中是拋物面;(3), 其中是圓錐面被圓柱面所割下的部分.解 (1)曲面由四部分組成,;對曲面,故 ;(2)曲面,,,由區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的對稱性,再利用極坐標(biāo)變換, ;(3)所截得的曲面為:,;采極坐標(biāo)變換計算此二重積分,;.例2、設(shè)是上的連續(xù)函數(shù),試證:,其中。解 取新坐標(biāo)系,其中原點不變,平面即為,軸垂直于該面,即是作正交變換,點在中的坐標(biāo)為,則有,在新坐標(biāo)系下,公式左端的積分可寫為, 。例3、設(shè)是上的連續(xù)函數(shù),證明:,其中為.證明 取新坐標(biāo)系,其中原點不變,平

2、面即為,軸垂直于該面,點到平面的距離為;點在中的坐標(biāo)為,則有在新坐標(biāo)系下,公式左端的積分可寫為顯然,球面的方程為或,若表示成參數(shù)式,則為其中 ;, ,從而,于是,最后得到.例4、設(shè)表示從原點到橢球面,上點處的切平面的距離,求第一型曲面積分.解:容易知道,橢球面上點處的切平面方程為,于是,即得,由對稱性,.二、 第二型曲面積分的計算例1. 計算下列第二型曲面積分: (1),其中,內(nèi)側(cè); (2),其中,外側(cè).解(1)因為球面的內(nèi)單位法向量為,所以 ;(由曲面的對稱性與被積函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)。)(2)因為球面的外單位法向量為,所以 .例2 . 計算積分,其中,外側(cè).解 上半橢球面,上側(cè);下半橢球面,下

3、側(cè);,故 .例3 . 計算積分,其中的邊界,外側(cè).解 ;首先計算,在長方體的六個面上,顯然在長方體的四個側(cè)面上,在上底面的上側(cè),在下底面的下側(cè);于是 ,同理 ,故 .例4.計算積分,其中:,外側(cè).解 方法一 根據(jù)輪換對稱,只要計算一個積分,例如計算,其中上半橢球面的方程為,, 下半橢球面的方程為, 先轉(zhuǎn)換成二重積分,然后利用廣義極坐標(biāo),即得;于是,我們有; 方法二 上半橢球面的方程為,下半橢球面的方程為,;方法三 ,其中;, 故 .三、 高斯公式的運用于計算第二類曲面積分例1. 計算積分,其中為區(qū)域的邊界的外側(cè).解 這里,:,由高斯公式,得.例2. 計算積分,是拋物面,方向朝下.解 (由于不是

4、封閉曲面,需要補充一部分曲面,構(gòu)成一個封閉曲面.)區(qū)域:,邊界,方向朝區(qū)域外.,方向朝上;顯然,利用高斯公式,得,再由 ,得出 .例3. 計算積分,是錐面,方向朝下.解 (由于不是封閉曲面,需要補充一部分曲面,構(gòu)成一個封閉曲面.)區(qū)域:,邊界,方向朝區(qū)域外.,方向朝上;顯然,利用高斯公式,得,再由 ,得出 .例4. 計算積分,其中為球面的外側(cè).解 區(qū)域,利用高斯公式,得.例5. 設(shè)是一閉域,表示區(qū)域的邊界,向量是的單位外法向量,是一個固定的向量.求證 .證明設(shè),因為,利用高斯定理得 .例6.設(shè)是一閉域,表示區(qū)域的邊界,向量是的單位外法向量,點.令,且.求證: .證明 先設(shè)點,利用高斯定理得,故

5、; 當(dāng)點,而在的內(nèi)部時,這時在上不能直接應(yīng)用高斯公式。必須用一小區(qū)域?qū)Ⅻc挖掉,即以為中心,為半徑作一開球(充分?。?,其邊界(球面)以表示.對閉域應(yīng)用高斯公式,仿上可得,在(球面)以上,(是上的單位外法向)的方向與方向相反,于是,從而,由此可知,在前式中令,取極限,即得,故 .例7、計算解:這是一個第二類曲面積分,我們不妨假設(shè)其方向為外法線方向. 設(shè),經(jīng)演算得到,在原點附近補一個小橢球,使其完全包含在內(nèi),在與之間的區(qū)域,被積函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),由,滿足公式 , 所以=(利用公式),或者在曲面積分時作代換 , ,,, .四、 斯托克斯公式運用于計算第二類曲線積分例1. 計算曲線積分 ,其中為圓周,,

6、從軸正向往負(fù)向看,的方向是順時針的. 解 解法一 (利用曲線的參數(shù)方程直接計算.)曲線是圓柱面與平面的交線,這是一個橢圓,其參數(shù)方程為,由于是順時針方向,所以從變到0.于是 .解法二 (利用斯托克斯公式.)用記平面在圓柱內(nèi)的部分, 平面的方向,所以 . 例 2. 計算曲線積分 ,其中為圓周,,從軸正向往負(fù)向看,的方向是逆時針的. 解 用記平面在球內(nèi)的部分, ,平面的方向,利用斯托克斯公式,得.例 3. 利用斯托克斯公式計算下列積分:(1),為圓周,從原點向第一卦限看去,是反時針方向繞行的;(2),為橢圓,眼睛從點向看去,是反時針方向繞行的;(3),為,從原點向看去,是反時針方向繞行的. 解 (1) 用記平面在球內(nèi)的部分, 平面的方向,利用斯托克斯公式,得.(這里選曲線所圍的曲面為平面,計算來的就簡單;若選曲線所圍的曲面為半球面,則計算起來就難了.以曲線為邊界的曲面,有許多個,

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