第十八講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

1、第十八講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用一、知識整合：1向量的數(shù)量積（1）兩個非零向量的夾角已知非零向量與，作，則叫與的夾角；說明：當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向；當(dāng)時(shí)，與垂直，記；注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍。（2）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定；向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；（3）數(shù)量積的幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。（4）向量數(shù)量積的性質(zhì)向量的模與平方的關(guān)系：。乘法公式成立；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律成立：；對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：；分配律成立：。向量的夾角：cos=。當(dāng)且僅當(dāng)兩

2、個非零向量與同方向時(shí)，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。（5）兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知兩個向量，則·=。（6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作。兩個非零向量垂直的充要條件：·O（7）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)，則或。如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)。2向量的應(yīng)用（1）向量在幾何中的應(yīng)用；（2）向量在物理中的應(yīng)用。二典例精析題型1：數(shù)量積的概念例1判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；（4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；（5）對任意向量都成立；（6）對任意向量

3、，有。例2設(shè)、是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（·）（·）= |<| （·）（·）不與垂直（3+2）（32）=9|24|2中，是真命題的有 題型2：向量的夾角例3=1，=2，= + ，且，則向量與的夾角為例4.已知 且關(guān)于的方程有實(shí)根, 則與的夾角的取值范圍是 題型3：向量的模例5已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1。題型4：向量數(shù)量積在處理夾角及長度問題上的應(yīng)用 例6已知，其中。 （1）求證：與互相垂直； （2）若與（）的長度相等，求。題型5：向量與函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列解析幾何相結(jié)合的問題例7.已知，存在實(shí)數(shù)，

4、使得，且，若不等式恒成立，求的取值范圍。例8、已知點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1） 若時(shí)，不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2） 若不等式對任意的實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例9、設(shè),是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)軸、軸正方向上的單位向量，若向量，且。（1） 求點(diǎn)的軌跡方程C；（2） 過點(diǎn)作直線與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè),是否存在這樣的直線，使得四邊形OAPB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。三重點(diǎn)題型強(qiáng)化1、若向量與不共線，且，則與的夾角的大小為 2、設(shè)向量滿足，且，則 3、在邊長為1的等邊三角形中，設(shè)，則 4、已知向量與的夾角為，且，若向量與垂直，則 5、設(shè)向量，且。求（1）及，（2）若的最小值是，求實(shí)數(shù)的值。6、已知是的三個內(nèi)角，向量，且，（1）求角A；（2）若。求。7、已知銳角三角形ABC中，內(nèi)角的對邊分別為，且。（1）求角B的大??；（2）若，求AC邊上的高的最大值。8、 已知向量，向量與的夾角為，且。（1） 求向量；（2）若向量與向量垂直，向量,其中角A,B,C是的內(nèi)角，且角A,B,C依次成等差數(shù)列，求的取值范圍。