考研數學線性代數基礎講義

1、 數學網絡課堂系列線性代數數學線性代數基礎講義主講：名師，博士，著名數學輔導，教育部“精品課程建設骨干教師”，暢銷書高等數學 18 講、數學題源探析經典 1000 題作者，高等教育入學統(tǒng)一數學參考書（大綱）編者之一，2007 年斯洛文尼亞全球可持續(xù)發(fā)展大會受邀（15 分鐘主旨）。首創(chuàng)“題源教學法”，對數學的知識結構和體系有全新的解讀，對數學題與復習思路有極強的把握和預測能力，讓學生輕松高效奪取高分。歡迎使用目錄第一講 基礎篇1第二講篇4第三講 應用篇90 數學網絡課堂系列線性代數第一講基礎篇行列式與矩陣一、從行列式講起1. 行列式的本質定義a1121a1222= a a- a a= S11 2

2、212 21aaa11 a21a12 a22行列式是由兩個 2 維向量組成，其結果為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的面積.a11a12 a22 a32a13 a23 a33三階行列式 a21是由三個 3 維向量(a11, a12 , a13 ) ，(a21, a22 , a23 ) ，(a31, a32 , a33 ) 組a31成，其結果為以這三個向量為鄰邊的平行六面體的體積.a11 a21a12 a22a1n a2nD =A是由n 個 n 維向量組成，其結果為以這n 個向量為鄰邊的nnnan1an 2annn 維圖形的n 維體積.2. 行列式的性質（1）如果行列式中某一行（列）元素，則行列式

3、等于零；（2）如果行列式中某兩行（列）元素對應成比例，則行列式等于零；（3）（互換）互換行列式中某兩行（列）元素的位置，行列式的值只改變正負號；（4）（倍乘）常數k 乘以行列式，即行列式的某行（列）元素分別乘以k ；（5）（倍加）將行列式的某一行(列)的所有元素都乘以數k 后加到另一行(列)對應位置的元素上, 行列式的值不變；（6）（單行可拆（加）性）如果行列式中某行（列）的每個元素都是兩個數的和，則這個行列式可以拆成兩個行列式的和；（7）行列式與它的轉置行列式相等, 即 D = DT .1 數學網絡課堂系列線性代數3. 重要觀點：行列式由向量組成（1）如果行列式不等于零，那么組成行列式的向量

4、全；（2）如果行列式等于零，那么組成行列式的向量中至少有一個多余.【注】二、三階行列式的計算：a1121a1222= a a- a a ；11 2212 21aaa11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a13a22a31 - a12a21a33 - a23a32a11 .二、矩陣的本質是什么？1. 表面上，矩陣表達系統(tǒng)信息. r ( A) = k本質上，設矩陣 Amn ，滿足：存在k 階子式不為 0 ，2.任給(k +1) 階子式全為 0，則秩 r( A) = k .存在k 階子式不為 0 ，

5、 存在 k 個向量任給(k +1) 階子式全為 0， 任給(k +1) 個向量中至少有一個多余 有且僅有k 個向量 r( A) = k .重要觀點： a11 aa1222a1n aa= 2n 是由向量組成.21矩陣 Amn aaa m1mn m 2從行上看： m 個n 維行向量；從列上看： n 個m 維列向量.其本質為秩r( A) = 組成 A 的向量的個數.1）“臺階數=秩”2）化矩陣A 為行（最簡）階梯形矩陣若矩陣 A 滿足：1）若有零行矩陣下方；2）從行上看，自左邊起，出現連續(xù)零的個數自上而下嚴格單增.稱為行階梯形矩陣.若矩陣 A 還滿足：3）位置元素為 1；4）正上方元素.稱為行最簡階

6、梯形2 數學網絡課堂系列線性代數矩陣.3）初等變換法互換、倍乘、倍加 570 【例 1】化矩陣 A = 490 為行最簡階梯形矩陣. 30 6125-1 03 -24 【例 2】化矩陣 A = 1 為行最簡階梯形矩陣.032 43 3 數學網絡課堂系列線性代數第二講篇向量組與方程組【綜述】方程組求解 一個向量與一組向量的關系a11x1 + a12 x2 + a1n xn = b1 , a11 a12 a1n b1 a a b x + a x + a x = b ,2n = 2 21 122 22n n2n am1 x1 + am2 x2 + amn xn = bmnan = b am1 am2

7、 amn bm 重要觀點：方程組的解就是描述一個向量與一組向量之間關系的表示系數.一、定性研究相關性問題（有沒有多余向量）表示性問題（如何表示多余向量）代表性問題（極大線性無關組）等價性問題（兩個向量組之間的關系）1. 相關性問題有a1,a2,as 中有沒有多余的向量沒有= 0, 0 a1,a2,as第 1 章行列式（局限于方形）a ,a ,a12s矩陣 r(a1,a2 ,as ) s,r(a ,a ,第 2 章,a ) = s12s第 3 章向量組sas 如果存在一組不全為 0 的數= 0成立，稱s ，使得a1,a2,as 為線性相關.（多余）sas= 0 ，稱a1,a2,as 為線= 0

8、成立，必須要求若s4 數學網絡課堂系列線性代數性無關.（）第 4 章 方程組 x1 x ,a2 = 0 有非零解.（齊次）) (a ,a x 12s s x1 x ,a2 = 0 只有零解.)(a ,a x 12s s 【注】學會挖掘各充要條件之間的關系.【應用】第一組定理1）若向量組a1,a2,as 線性相關，則向量組a1,a2,as ,as+1 線性相關；若向量組a1,a2,as 線性相關，則向量組a1,a2,as-1 線性相關性不確定.2）若向量組a1,a2,as 線性無關，則向量組a1,a2,as ,as+1 線性相關性不確定；若向量組a1,a2,第二組定理,as 線性無關，則向量組a

9、1,a2,as-1 線性無關.aaa3）若向量組a ,a,a 線性相關，則向量組 b=1b =2， ，b=s1 g2 g s g ，線12s 1 2 s 性相關性不確定；若向量組 b1, b2, bs 線性相關，則向量組a1,a2,as 線性相關.5 數學網絡課堂系列線性代數4）若向量組a1,a2,as 線性無關，則向量組 b1, b2, bs 線性無關；若向量組 b1, b2, bs 線性無關，則向量組a1,a2,as 線性相關性不確定.【總結】部分相關 整體相關；整體無關 部分無關；原來相關 縮短相關；原來無關延長無關.2. 表示性問題能b 能否由a ,a ,a 線性表示12s不能 a1,

10、a2,as , b= 0,第 1 章 行列式（反推均不成立）（局限于方形） a1,a2,as 0 r(a1,a2,as, b)=r(a1, a2, as)第 2 章 矩陣a ,a ,a , b) = r(a , a , a ) +1 r(12s12s第 3 章 向量組sas= b 成立，則稱 b 可由 如果存在一組數s ，使得a1,a2,as 線性表示.sas= b 成立，則稱 b 不可由不存在任何一組數s ，使得a1,a2,as 線性表示.第 4 章 方程組 x1 x ,a2 = b) (a ,a有解.（非齊次） x 12s s x1 x ,a2 = b)(a ,a無解. x 12s s 6

11、 數學網絡課堂系列線性代數3. 代表性問題極大線性無關組定義：從向量組a1,a2,as 中取出向量組ai1,ai2 ,air (r s) ，若其滿足1）線性無關；2）向量組a1,a2,as 中任一向量ai 均可由其表示.則稱向量組ai1,ai2,air 為向量組a1,a2 ,as 的一個極大線性無關組.應用若 Ax = 0 有無窮多個，一般用基礎來表示.重要觀點： Ax = 0 的無窮多解的極大無關組 Ax = 0 的基礎.注：基礎的定義：設x1,x2Lxs ，若其滿足：1） 是 Amn x = 0 的解；2） 線性無關；3） Ax = 0 的任一解均可由其表示；則稱x1,x2Lxs 為 Ax

12、 = 0 的一個基礎解系，其中 s = n - r( A) .4.等價性問題研究一組向量與一組向量之間的關系（在定量描述中講解）設（I）a1,a2,L,as （II） b1, b2,L, bta1 = k11b1 + k12b2 +L + k1t bta= k b + k b +L + k b221 122 22t若 ，則稱（I）可由（II）線性表示.LLas= ks1b1 + ks 2 b2 +L + kst bb1 = l11a1 + l12a2 +L + l1saSb= l a + l a +L + l a221 122 22 s S若 ，則稱（II）可由（I）線性表示.LbtL= lt

13、1a1 + lt 2a2 +L + ltsaS二、定量描述1.解 Ax = 0 （齊次方程組）當 r( A) = n Ax = 0 只有 0 解；當 r( A) n Ax = 0 有非 0 解（無窮多解）則其求解步驟為：寫出系數矩陣 A ，化 A 為行（最簡）階梯形矩陣，求出r( A) ；7 數學網絡課堂系列線性代數按列找出一個秩為r( A) 的子矩陣，則剩余位置的變量即為自由變量；按照基礎解系的定義反著走 全部解（通解） = k1x1 + k2x2 +L+ ksxs3 + 4x4 - 3x5 = 02+ 5x - 5x = 0345【例】求的全部解- 2x - x = 033453 + 6x

14、4 - 7x5 = 02.解 Ax = b （非齊次）若x 為 Ax = 0 的任一解，h* 為 Ax = b 的某一特解，則 Ax = 0, Ah* = b A(x +h*) = b ；故 Ax = b 的全部解= Ax = 0 的全部解+ Ax = b 的一個特解；即全部解（通解） = k x + k x +L+ k x +h* .1 12 2s s3 + x4 + x5 = a+ 6x = b【例】45，當a,b 為何值時，方程組有解，并求出全部解.3 + x4 - 3x5 = 03 + 3x4 - x5 = 235（等價性問題的內容見前面）8 數學網絡課堂系列線性代數第三講應用篇特征值

15、與二次型引例x2y2+= 1（1）給出 x + xy + y = 1，通過某正交變換，變成：22( 2 )222 3（2）二次型) = a x2 + a x2 + a x + 2a x x + 2a+ 2af (311 122 2312 1 2矩陣形式： f (x1, x2,，其中： x1 a11a12a13 a23 ;其中，只含平方項的二次型，稱為二次型的標準形.x = x2 , A = a12a22 x aaa 3 132333 化二次型為標準形，也就是“化 A L ”成為關鍵：若存在可逆矩陣C ，使得C -1AC = B ，則稱 A 與 B 相似.若存在可逆矩陣 D ，使得 D-1AD = L ，則稱 A 相似于L .注：若存在非零向量xi ，使得 Axi向量.= lixi ，則稱li 為矩陣 A 的特征值， xi 為li 對應的特征100【練習】若 A = 122 ，求 A 的特征值li 與對應的特征向量xi .1319 數學網絡課堂系列線性代數若存在正交矩陣 P ，使得 P-1AP = L ，則稱 A 相似于L .注：若矩陣 P 滿足 PPT = E ，則稱矩陣 P 為正交矩陣，且有 P-1 = PT .3 ) = x Ax = (Py) A(Py) = y P APy = y