電磁暫態(tài)數(shù)值積分方法

1、電磁暫態(tài)數(shù)值積分方法臨沂師范學(xué)院物理系 杜煜摘要：電磁暫態(tài)仿真通常采用數(shù)值積分的方法求解系統(tǒng)的代數(shù)或微分、偏微分方程。電磁暫態(tài)仿真中的數(shù)值積分方法有梯形法，向前歐拉法，向后歐拉法，Simpson法和Gear 2法等。本文就以上幾種時域離散方法進行分析，并討論其精度和穩(wěn)定性，找到最優(yōu)算法CDA技術(shù)。關(guān)鍵詞：電磁暫態(tài)；數(shù)值積分；時域離散；精度；穩(wěn)定性；CDAElectromagnetic Transient Numerical Integration MethodsABSTRACT: Electromagnetic transient simulation usually adopts numer

2、ical integration methods to solve algebraic or differential, partial differential equations. The electromagnetic transient simulation numerical integration methods include Trapezoidal, Backward Euler, Forward Euler, Simpson and Gear second order. The paper analysis the methods and discuss the accura

3、cy and stability, then find the optimal algorithm, CDA technology.KEY WORD: Electromagnetic transient; numerical integration; time-domain discretion; accuracy; stability; CDA中圖分類號：TM412 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：0 引言電磁暫態(tài)過程仿真的主要目的在于分析和計算故障或操作后可能出現(xiàn)的暫態(tài)過電壓和過電流，以便根據(jù)所得到的暫態(tài)過電壓和過電流對相關(guān)電力設(shè)備進行合理設(shè)計，確定已有設(shè)備能否安全運行，并研究相應(yīng)的限制和保護措

4、施1。電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)過程仿真，需要詳細考察元件的動態(tài)特性，一般采用微分方程描述，然后應(yīng)用數(shù)值方法求解2。目前，電力系統(tǒng)仿真軟件多采用隱式梯形積分方法或歐拉法對元件進行建模。梯形法會濾去接于電壓源的電感上的高頻電流，在電流強迫流經(jīng)電感的情況下，又會放大跨接于電感上的高頻電壓。在前一情況下，梯形法的作用如積分器，它的性能很好；但在后一情況下，它作為微分器時性能很差，其結(jié)果表現(xiàn)為當(dāng)電流的導(dǎo)數(shù)突變時的數(shù)值振蕩，例如斷路器遮斷電流時的情況3。1 時域中的離散化技術(shù)對集中參數(shù)儲能元件電感和電容，其暫態(tài)過程可以通過常用的數(shù)值積分方法，如梯形法，向后歐拉法，向前歐拉法，Simpson 法和Gear2法離散化

5、來模擬，從而得到離散時間系統(tǒng)的模型。1.1梯形算法應(yīng)用梯形積分公式，在到的區(qū)間內(nèi)取和的平均值連續(xù)時間系統(tǒng)中，電感兩端的電壓和流過電感的電流之間的關(guān)系為 （1）根據(jù)梯形公式對上式兩邊從到積分，并整理得（2）為便于進行網(wǎng)絡(luò)分析，將上述等式改寫為 （3） 為歷史項，只與前一時間步長的電壓和電流值有關(guān)。圖1為連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)中電感電壓和電流的關(guān)系。a) 連續(xù)時間系統(tǒng)電感b) 離散后的等效電感圖1 連續(xù)時間系統(tǒng)電感和梯形法離散后的等效電感可以看出，在離散時間系統(tǒng)中，電感可由一個常數(shù)電導(dǎo)和歷史電流源并聯(lián)來表示。應(yīng)用梯形法可以驗證，在離散時間系統(tǒng)中，電容可由一個常數(shù)電導(dǎo)和歷史電流源并聯(lián)來表示。而時

6、域中的電阻模型比較簡單，電阻兩端的電壓和流過電阻的電流不存在積分（或微分）關(guān)系，因此離散時間系統(tǒng)模型與連續(xù)時間系統(tǒng)模型差別不大，只是在表達方式上有所區(qū)別。1.2向后歐拉法向后歐拉公式，用時刻的值代替整個計算步長中的值，近似積分公式為 根據(jù)向后歐拉積分公式對式（1） （4）從到積分，并整理得 （5）為便于進行網(wǎng)絡(luò)分析，將上述等式改寫為 （6）這里，為歷史項，只與前一時間步長的電流值有關(guān)。圖2為連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)中電感電壓和電流的關(guān)系。 a) 連續(xù)時間系統(tǒng)電感b) 離散后的等效電感圖2 連續(xù)時間系統(tǒng)電感和向后歐拉法離散化后的等效電感可以看出，在離散時間系統(tǒng)中，電感L可由一個常數(shù)電導(dǎo)和歷史電

7、流源并聯(lián)來表示。應(yīng)用向后歐拉法可以驗證，在離散時間系統(tǒng)中，電容可由一個常數(shù)電導(dǎo)和歷史電流源并聯(lián)來表示。由于電阻模型的電壓和電流之間不存在微積分關(guān)系，因此用向后歐拉法對電阻模型離散化后，其模型與梯形法積分得到的模型一致。實際上，用任何數(shù)值積分方法對電阻進行離散化，得到的模型都是一樣的。1.3 向前歐拉法向前歐拉法，用值代替在到區(qū)間內(nèi)的值 （7）向前歐拉法與向后歐拉法不同的是，用代替在到區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值，是一個顯示積分公式。而向后歐拉公式和梯形積分公式的右端包括有時刻的函數(shù)值，屬于隱式積分公式。計算穩(wěn)定性表明，顯示積分的穩(wěn)定性比隱式的差，在實際數(shù)值求解中很少采用。1.4 Simpson法Simpso

8、n 公式又稱拋物線公式，是通過，和時刻的拋物線代替積分函數(shù)得到的。 （8）公式用了三點處的函數(shù)值。從幾何意義上也可以看出，在通常情況下，公式比梯形公式的精度要高。1.5 Gear 2法Gear 2 公式為4（9）用Gear 2公式對電感兩端的電壓和電流關(guān)系式積分得 1.6 積分算法比較以電感為例，式（1）為描述電感模型的微分方程。若以為輸入，為輸出，則模型為微分器；若以為輸入，為輸出，則為積分器模型。根據(jù)式（1）得對上式變形（均值定理）圖3 微分方程曲線根據(jù)取不同點的函數(shù)值，可得到不同的積分結(jié)果，如表3所示。從表1可以看出，和=時間中點值這兩種方法實際上是一種方法，只是表達方式不同。表1 不同

9、時的公式對照表公式方法向后歐拉法均值法=時間中點值均值法=函數(shù)的中點值梯形法對式（1）整理得對兩邊同時積分得用以上提到的積分算法對方程兩邊積分，并繪制面積曲線，得到表2。表2以電感為例幾種積分法面積比較積分法則面積公式曲線梯形法向后歐拉法向前歐拉法Simpson法Gear 2法2 數(shù)值積分法精度對于大型電力系統(tǒng)，很難獲得微分方程的解析解，最好的方法是將各元件在時間上離散化，一步步求得系統(tǒng)的解。當(dāng)使用這種方法時，就要考慮時間步長和數(shù)值積分算法的選取，以及如何保證解的精確度和算法的穩(wěn)定性。由于數(shù)值積分公式舍棄了高階導(dǎo)數(shù)項，因而在每一步積分時都會產(chǎn)生誤差。電路分析中往往必須多次調(diào)用線性代數(shù)方程組的求

10、解程序。因此選取合適的計算步長對解的精度影響很大。本文從線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)入手，以單個電感元件為例，說明數(shù)值積分算法的精度。將幾種積分方法的頻率響應(yīng)曲線比較，如圖4所示。圖4 幾種積分法的幅值和相角頻率響應(yīng)從圖4中可以看出：1）向后歐拉法，梯形法，法，法這幾種積分法的頻率響應(yīng)在低頻段（，即奈奎斯特頻率的）都接近1，即離散系統(tǒng)的數(shù)值積分算法和連續(xù)系統(tǒng)的解析算法比較，差別較小，算法的精度較高，基本上沒有失真。2）法在低頻段的響應(yīng)效果更好，但是穩(wěn)定性不高。3）梯形法沒有相位偏移，但是在不連續(xù)點處出現(xiàn)數(shù)值振蕩；4）向后歐拉法雖然在不連續(xù)點處不會出現(xiàn)數(shù)值振蕩，但是存在較大的相位偏移；5）Gear 2法的

11、精度和穩(wěn)定性介于梯形法和向后歐拉法之間；6）CDA技術(shù)則結(jié)合了梯形法和向后歐拉法這兩種方法的優(yōu)點。3 積分法的穩(wěn)定性由于數(shù)值積分公式舍棄了高階導(dǎo)數(shù)項，因而在每一步積分時都會產(chǎn)生誤差，此誤差即為局部截斷誤差。設(shè)前步的解（）都是精確的，定義當(dāng)前時刻的積分公式得到的解與此時精確解的差為局部截斷誤差。本時刻的局部截斷誤差會對以后的解產(chǎn)生影響。一般說來，的誤差除了它本身的局部截斷誤差外，還包括以前各時刻（）上解的誤差的影響。在此提出絕對穩(wěn)定性，即A-穩(wěn)定性的概念，如果積分算法是A-穩(wěn)定的，則此算法的穩(wěn)定區(qū)域包含了整個復(fù)平面的左半平面。一個A-穩(wěn)定的算法，不管取什么樣的積分步長，當(dāng)方程本身是穩(wěn)定時，此積分

12、算法是穩(wěn)定的。Dahliquist指出在絕對穩(wěn)定的積分公式中沒有超過二階的，而在所有二階方法中以梯形法的截斷誤差最小。他還進一步指出，任何顯式積分算法都不是絕對穩(wěn)定的。對于離散系統(tǒng)，其穩(wěn)定的條件是系統(tǒng)的極點均在平面上以原點為中心的單位圓內(nèi)，平面上的單位圓周為穩(wěn)定的邊界。如果系統(tǒng)中有極點在平面上的單位圓外，則系統(tǒng)就不穩(wěn)定了5。3.1算法穩(wěn)定性比較表3給出了獨立的電感模型和RL串聯(lián)模型在不同積分算法下的傳遞函數(shù)，零點和極點一目了然，根據(jù)域穩(wěn)定判據(jù)，即極點在平面上以原點為中心的單位圓內(nèi)時，系統(tǒng)穩(wěn)定；極點在平面上的單位圓周上時，臨界穩(wěn)定；如果系統(tǒng)中有極點在平面上的單位圓外，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，可判斷不同積分

13、算法的穩(wěn)定性。表3 幾種算法的零極點位置穩(wěn)定性梯形法A穩(wěn)定向后歐拉法A穩(wěn)定向前歐拉法不穩(wěn)定Simpson法條件穩(wěn)定Gear 2法A穩(wěn)定4 積分算法精度和穩(wěn)定性比較表4 為以上幾種積分法的精度和穩(wěn)定性比較。表4 積分法精度和穩(wěn)定性比較積分法則精度穩(wěn)定性梯形法高一般， 絕對穩(wěn)定向后歐拉法一般好， 絕對穩(wěn)定向前歐拉法一般差Simpson法很高差Gear 2法一般一般，絕對穩(wěn)定1）算法是否可行，亦即數(shù)值積分的解是否夠精確，關(guān)鍵是看其方法的精度和穩(wěn)定性。對都是穩(wěn)定的算法，則要考慮它們的局部截斷誤差。2）隱式方法比較適用于暫態(tài)分析，這是由于穩(wěn)定性方面的優(yōu)點。向前歐拉法是顯式積分，穩(wěn)定性較差。3）向后歐拉法

14、，穩(wěn)定性最好，但是局部截斷誤差較大，精度低。4）在所有二階方法中以梯形法的截斷誤差最小。精度最好，因此，梯形法是結(jié)合精度與穩(wěn)定性的較好的算法。5 結(jié)論梯形法在低頻范圍內(nèi)精度較高，高頻時仿真完全失真。對于向后歐拉法，雖然由于阻抗的存在使得離散系統(tǒng)產(chǎn)生了附加損耗，但使得系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)仿真時的阻尼變大，這樣能減弱梯形法產(chǎn)生的數(shù)值振蕩6。梯形法在低頻時精度高，但是穩(wěn)定性不好；向后歐拉法穩(wěn)定性好，但是精度不夠高。由于梯形法的精度較高，向后歐拉法的阻尼較強，將兩者結(jié)合在一起，即CDA技術(shù)，這樣既保證了較高的精度，又不會產(chǎn)生數(shù)值振蕩，非常適用于電力系統(tǒng)大型網(wǎng)絡(luò)的仿真。參考文獻：1 商立群，賈文勝. 電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)技術(shù)仿真，儀器儀表學(xué)報，第26卷第8期增刊，2005年8月2 吳維韓，張芳榴等.電力系統(tǒng)過電壓數(shù)值計算，科學(xué)出版社，19893 H. W. Dommel. 著，李永莊、林集明、曾昭華譯，電力系統(tǒng)電磁暫態(tài)計算理論，水利電力出版社，1991年4 洪先龍，孫家廣，吳啟明，王澤毅，柳亞玲.計算機輔助電路分析算法和軟件技術(shù)，清華大學(xué)出版社，1982年9月5 自