華理高數(shù)答案第2章

1、第2章(之1)第2次作業(yè)教學(xué)內(nèi)容：§2.1導(dǎo)數(shù)概念*1.設(shè)f (x) = x3 + 2x，試用導(dǎo)數(shù)定義求f'(x).”f (x + Ax) - f(x) (x + Ax) 3 + 2(x + Ax) - x3 -2x解: lim= hmAX&項(xiàng)AX=3 子 +2.*2.試用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(I) f( x)= L，求廣;X(2) g(0 = 8-已求 g，( 2)；(3) (p(t) = 3r - t,求'(一 1).解：(1)廣二 lim.一( 1+ 明-'一(1)kT。Ax 11=lim = lim= -1.kT。 Ax kTO 1 +

2、 Ax 8們=1血赤+金)一g / 一 0 =lim 8(。+ "8 尸=Hm 0ArA O AtAt.尸一(尸 + 3tA + 3/A/2 +=lim x0Ar=lim(-3r -3A-Ar) = -3r, 一。 /g'(t)=-3r,:.g'(2) = -12.R(f)=lim 輪+ &) 凡=1血怵+ 金)、(1僉I時(shí)二go Arg。At.6tAt + 3AA2 - /=lim=lim (6r + 3At一 1) = 6r 1, io At *T0/(P?) = 61 - ,9, ( 1) = 7 .解：曲線在點(diǎn) P處切線的斜率為lim=4H x-1所以

3、切線方程為 y = 4( x 1) + 2.*4,化學(xué)反應(yīng)速率通常是以單位時(shí)間內(nèi)反應(yīng)物濃度的減少或生成物濃度的增加來表征。設(shè)有 一化學(xué)反應(yīng)，反應(yīng)物濃度C與反應(yīng)開始后的時(shí)間 f之間有如下關(guān)系：C = f(f).(1) 試表出時(shí)刻to到時(shí)刻這段時(shí)間內(nèi)的平均反應(yīng)速率；(2) 表岀在時(shí)刻tQ的瞬間化學(xué)反應(yīng)速率。解：-=,t to(2) Vo = lim v = lim.o 1%1 'o*5,已知沿直線運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)方程為：，求物體在時(shí)刻t0=2的(瞬時(shí))速度。解：攵=t + At t為7 ,現(xiàn)已流強(qiáng)度I(t).-A? s _ & + .)_1Z t(t + ?)'& 0

4、 金 &項(xiàng) t t + &) r物體在時(shí)刻to = 2的(瞬時(shí))速度vo =.甫4*6.在作等速旋轉(zhuǎn)時(shí)，角速度是旋轉(zhuǎn)角度與所花時(shí)間之比，已知非勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)角。與 間t有如下關(guān)系：。=珈)。試導(dǎo)岀非勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)的(瞬時(shí))角速度刃表達(dá)式.解：M=火+也)一 e(t),乎頂)，=lim = 1(')=一。一 0 7.在時(shí)間段流經(jīng)導(dǎo)線某個(gè)截面的電量為Aq,則稱孚為時(shí)間段攵上的平均電流強(qiáng)度，記知時(shí)間段0* :內(nèi)流經(jīng)導(dǎo)線這個(gè)截面的電量為0(f),試求在時(shí)刻f導(dǎo)線于該截面上的電解： 0 =川 + &)-川),7 =空頊 + 金)一施)，At Atr v 7 vq(t + Z

5、) q(t)，,、/ = hm / = lim = lim = q'(t).一 o 一 o At 10 At第2章（之2）教學(xué)內(nèi)容：第3次作業(yè)§ 2.1函數(shù)極限的定義 *1 .試證：lim cos x = cos X0.證明：> 0,取8 = £Vx滿足條件有0II _ . X + Xn .|cosx-cosx0| = 2 sinX-X()_ . X- X() Isin - < 2sin- v |x-x°| v ,£lim cos x = cos X0.x >x0*2 .試證:證明：（1）(1) lim =2 ；x->-3

6、 x > 0,限定 Ix + 3I<1 l + 3x c x-l(2) limJA = 2.xt4，則有一4<x< 2,2 = x_+_3 |i + _3|所以只要取x-18 = min(3 丹)，當(dāng) 0 < + 3| < $時(shí)，就有x+ 3x c 2 =x-11 + 3x從而也就證明了lim= 2.XT 3 X 1 Vz? > 0,限定 lx 4l<4，則有 0<x<8,即 0<J7扼,&-2| =安四 <斗-4心，1 1 & + 2 21若使取 8 = min(2A , 4 ).于是 V > 0

7、,當(dāng)時(shí),|J7 2I< £limVx = 2.*3寫岀lim f（x） = A的定義，并用定義證明XT 8lim2'=0。XT-00解：(1)V e>0, 3X >0, x< X, n |/(.r)-A|vzr,則 lim /(x) = A oX >-00(2 ) VA>0,若限制 妖1,則可令X =-log 2a(> 0)o當(dāng)x < X時(shí)，必有|2a -0| = 2a' <2-' Y =£,lim 2' =0.XT-oo3+' 7 D+lim f(x) = lim (l + x

8、2)= 1.X + X X0*4.討論函數(shù)/(x)= <'在點(diǎn)x = 0處的左、右極限.1 + x2, x < 0解：lim f(x) = lim(x + x 2)= 0 ,丄 » 7 c丄7*5.討論下列函數(shù)在所示點(diǎn)處的左右極限:(1)/(x)= x-x在x取整數(shù)值的點(diǎn)；(2)符號函數(shù)sgnx在點(diǎn)1 = 0處. 解：(1) xo為整數(shù)，lim /(x) = lim (x - x)=lim x - lim x = x o - xo = 0,x >XQ+x >XQ +lim f (i) = lim (x - x)X- X-=lim x 一 lim x =

9、 x° - (x° -1) = 1。xx Xq(2) lim sgn x = lim 1 = 1,XT0+XT0+lim sgn x = lim (-1) = -1.xtO xtO /*6.從極限的定義岀發(fā)，證明：lim In x = In x 0 (x。> 0).XT%證明：只需證明X/Se > 0, 3 > 0, 0 < |x-xo| < A => |lnx-lnx o| < se 即可。由于：| Inx-lnio = In< se, xo即:坨 < In < se 9 e < < 痔，_ 1) &

10、lt; x _ < 氣(e*e 1),取 8 = min| XQe雄-xoL|xoefc -x°|則當(dāng) O<k-io|<$ 時(shí)，有 |lnA: -ln x°| < e織立，即：lim In x = In x 0 (x° > 0).XT%*7.設(shè)lim/(x) = A,若存在氣的某個(gè)去心鄰域N(x°,3)，使當(dāng)xeN(x°,3)時(shí)，成立/(x) >0 ,試問是否必有 A >0成立，為什么？解：不一定。如/(x) = x2在尤=0點(diǎn).第2章(之3)教學(xué)內(nèi)容：第4次作業(yè)§極限的性質(zhì)§無窮小

11、與無窮大1.填充題：* (1)用M-X語言寫岀極限lim /(.x) = +co的定義為:XT 8>0, 3X >0, Vx<-X n /(x) > M。用M-6語言寫岀極限lim f(x) = -oo的定義為:x+0VM >0, 38 > 0, V.x e (,xo , ,xo + 3) n /(.x) < -M用一X語言寫岀極限lim/(.x) = A的定義為：x >+。VE > 0, 3X > 0, Vx> X n |/(x)-A| < s2 _ * (2)設(shè)f 3)=,則當(dāng)XT 時(shí)fM為無窮?。划?dāng) XT 時(shí),3 +

12、 1)/(x)為無窮大。答案：1-1.2.選擇題：(1)設(shè) /(%)=COS,則 XT 0 時(shí)，/(%)X X( )(A)疋無界量，也疋無窮大量；(B)疋無界量，不疋無窮大量；(C)不疋無界量，疋無窮大量；(D)不疋無界量，也不疋無窮大量答(B)21 J*(2 )當(dāng) XT1時(shí)，f(x) = EAeM的極限x-1( )(A)等于2;等于0；(C)為8；(Q)不存在但不是無窮大.答：(D)(3) lim tan x ? arcta n=( )oxjrjr(A)0； (3)不存在；(C)=；( >)-.22答：A*3.用無窮大定義證明：lim A=+8.11+0 7.X-1解：任給M>0

13、,令a=>M ,解得：0 < X -1< -'v M取$ =，貝U當(dāng)0<x 1<時(shí)，恒有因此：lim /-=+oo.ii+o +1*4、當(dāng),x > X0時(shí)，f(x)是無窮大，旦lim g(x) = A,從定義岀發(fā)證明：XT* 當(dāng)XTX。時(shí)，f(x) + g(x)也為無窮大.證明：因?yàn)閘img(x) = A,所以由局部有界性定理可知> 0,> 0,當(dāng) 0 < |x-x0| < 切時(shí)，有 |g(x)| < . 又因?yàn)閘im f(x) = oo,所以HoX/M > 0, 3S2 >0,當(dāng) 0 v|x-xo| <

14、;a2 時(shí)，W|/(x)| > M +M r 取 5 = min?, 舄)，當(dāng) 0 < |- 引< 5時(shí)，有|/W + g I>(M+M i)-Mi =M ,所以X T尤。時(shí)，/(X) + g(l)是無窮大.第 2 章( 之 4)第 5 次作業(yè)教學(xué)內(nèi)容： §2.2.4 極限的運(yùn)算法則 A-D1.選擇題* (1) 下列敘述不正確的是()A. 無窮大量的倒數(shù)是無窮小量；B. 無窮小量的倒數(shù)是無窮大量；C. 無窮小量與有界量的乘積是無窮小量；D. 無窮大量與無窮大量的乘積是無窮大量。答(B)* (2) 下列敘述不正確的是A. 無窮小量與無窮大量的商為無窮小量；B.

15、無窮小量與有界量的積是無窮小量；C. 無窮大量與有界量的積是無窮大量；D. 無窮大量與無窮大量的積是無窮大量。答(C )* (3)"當(dāng)時(shí)，/(.x)-A 是無窮小"是"lim/(.x) = A "的：()XT 與(A)充分但非必要條件(3)必要但非充分條件(C) 充分必要條件(D) 既非充分條件，亦非必要條件答：c(4)設(shè) /( x)+ Zzx -1=< x當(dāng)尤豐0a(A)。= 3,。= 3；(Cg = 3,。可取任意實(shí)數(shù)當(dāng)尤=0(B) b =(報(bào)尸6, a可取任意實(shí)數(shù)。答：D2求下列極限：.3.x +1* (1) lim ''3.

16、X-1%2 -9(2)毆-二-3*(3) lim (2x - l) cos ,、Vx _ 2 * (4) lim .=-14 J 尤 + 5 一 3(子+2 尸-(亍 一2) 2*(1)6) lim(是正整數(shù))=2.7 5(尤+1) 2+ (x >+2l 1 埋(3"1 )4lim= -A=4?113x-l lim (3x -1 ) 2Y2 _g lim = lim (x + 3) = 6.x>3 jy 3 x>3/. lim (2x - l)cosXT 212.X-1=0.(4) lim &2 =血(._2)(7圭刮=血吁 2)(叫巨 + 3)'

17、VA+5-3 4x + 5-9 4 ( 77-2)(71 + 2)J+ 5 + 3 =lim xt4x +2盾十 r zVl-Hx 1 J1 + 2 -1 i1(J1 +' +1)(5) 原式=lim( )=1 lim /=1.1。+1+1 10 J + 2 +原式=四盤%八?1=4 lim =4.XTOO 1 1 H2nX*3.若limgO) = 0,且在j的某去心鄰域內(nèi)g(x)壬0, lim '=A,XTXoXTXo貝Ulimf(x)必等于0,為什么？g(X)解:lim/(x) = limX*0?丑 2? g(x) = AXTXo g(x)0 = 0.*4.設(shè)lim'

18、;= 3,試確定Q力之值.n x2 -1小ax3 +ax2 +x + /?今解：因 lim =3,2 | 11x -l32t./r ./1、 + ctx + x + b Q +/? + 2 八 nn故 lim(x -1) - =0。 即則limii.?.0 = 1,+ txx? + x + Z?=lim(X2 -I心尸一I子一1b = 3.*5 .設(shè)f(xyAx = xo處可導(dǎo)，求極限1血也 WI2XTX。X- XQ解：原式=14絲上婪+些土也 X-XQ X-XQ=-lim "(x)f( + limf(x)XTX。 X-X o XTX。=f3o) %廣 3o)?第2章（之5）第6次作

19、業(yè)教學(xué)內(nèi)容：§極限的運(yùn)算法則 無窮小的比較*1 .試求下列極限：,3x + 1.A7 州II. lim(->03x) sin _£(1) limf -),;1 + 2方(1) liml io"l + 2lim(l + 2i)XTO/c、/3尤+ 1、白=lim 1ii 3 + X2(x-l)土 =3 + X3+x3+x3+x2=hme =e.112(3) lim(l + 3x) sinx = e6.xtO*2 .試求/ （ x） = cosx的導(dǎo)數(shù)。W：（小limZU小At弭N2 sin| x + limsin2Ar.Ax.(呵 siny lim suu x

20、 + - 卜.l2 ) Ar2Av2.A.vsin=-si n x, litn ? 山 Ax2_/r(x) = (cosx) = - sin x.*3。研究極限lim'2 2C° sqx（q 。）的存在性10 x日.ax2 sin7解：原式TimdXn V2 sin- 2 sini ?2.2lim= lim = axtO+ X xtO+ X.dXn Y2 sin- - 2 sinlim= lim = -aXT。 XXT。 X由于左、右極限不相等，所以原極限不存在4選擇題1 VI (1)設(shè) a(x) = , ” (x) = 3 3 昨則當(dāng) xti 時(shí)(l + .x(A)a(x)

21、與” (x是同階無窮小，但不是等價(jià)無窮?。?B)a(x)與/?(x)是等價(jià)無窮?。?C)a(x)是比/?(x)高階的無窮??；(D)/3(x)是比a(x)高階的無窮小.答：A供 設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)旦滿足lim，/(aT)=-I,則曲線y = /(.x)在點(diǎn)2x(a, f(a)處的切線斜率為()(A)2 (B)-l (C)l (D)-2分析：lim i_怎一 X) = Lim 國一 )_二也 =與，=T,5 2x2o -X2答(D)*(3)設(shè) f(x) = (2+ 國)sin x,則 /(.x)在 x = 0 處(A) f,(0) = 2(B) f(O) = O(C)廣(0) = 1(D)不可導(dǎo)

22、si nx(2 + |x|)lim =210 Y答(A)*5.適當(dāng)選取 A、k的值，使下式成立：V1 + tanx - 71 +sin x - Axk (當(dāng)xrO).鋼角牟：./l COSX、.SI nx()目：一tan x-sinxcosxVI + tan x - VI + sin x =.- 一 .J1 +ta nx + JI + sinx J1 +ta nx + JI + sinxsin x-2s in2 (J1 + tan 尤 + 71 +sin x) ? cos x2-.x-(-)23?nO時(shí)，sinx? x, /.上式等價(jià)于6.當(dāng)X TO時(shí)，試確定下列各無窮小對的階數(shù) .* (1)

23、+10000 亍；* ( 2)+1+SY3 4-1 0000 Y2.階數(shù)為2。解：(1)? .? lim 十=10000,(2)lim(1 +x(x + I) x + 1 jim1。1 + 幗=1,階數(shù)為1.、門"*7.設(shè)心=x。(尤)cos，尤主0,其中a(x)為X的高階無窮小.(ITO),試證明函,尤=0,數(shù)/(尤)在尤=0點(diǎn)處可導(dǎo).證明：由于xrO時(shí)，心是無窮小量，Xcos 是有界量，所以X")一如=1血？次=0,X Xf在=0處可導(dǎo).Y2*8.設(shè) lim1=_(Q 0),試確定Q,之值.Va2 + .x2(A-cos.x) 2=",則解：因limi

24、76;J a2 +2( o cosi) yla2 +x2 (Z?-cosx) limio r2貝U 1 血 2 . J/ + x-二一 cosx)=她一1) = o,得 b = i,10X代回原式 lim .=-= %,° y/a2 +.x2( 1-cos.x) a 72 故知a =4, b = I為所求. 9.設(shè) /(.x) = A (y)tan5x，其中 q® 在 x = Q 處可導(dǎo)，且 0(0) = 0,'(0) = 1,試證明/*()? 5 尤，(IT0).證明： 臨些="江崢=1血蛭.畋-9（。）=扎=5 ,xtO尤X >0尤之xtO尤尤.

25、?. f與公為同階無窮小（尤T 0時(shí)）.*10.設(shè) =° (x)"nx ,其中 9()在=0 處可導(dǎo)，且 9(o) = o,求 limf(x).(1-e )xi。解：！哽/(x)=甌(*); 例)? f := 9，(0) .(_?) = _； 0，(0).*11. (1)若當(dāng) x> X (某個(gè)定數(shù))時(shí)，恒有 /(x)< g(x)< /z(x),且已知 lim f G) = lim hx) - A o 證 明：lim g(i) = A .XT+8XT+8XT+8(2)若對于一切正數(shù)x,都有 T<<-,試求：lim(px).Vx2+1 X + Vx

26、 2+1 X i證明：(1)依題意，V E>0, mX> 0,使僅當(dāng)x>X時(shí)，A-f </(.x)；同理，3X2 > 0，當(dāng) x> X2 時(shí)，有 h(x) < A + A ,令 X'= max(X19X2,x)則當(dāng) x> X'時(shí)，同時(shí)成立A-s < /(x) < g(x) < h(x) < A + ，即 |g(x) - A| <亦即 lim g(x) = A。/c、* 日石 a -t- -A + V-A 2 +1 / , x + jf+l依題息，有-/ < 0(工)Vx2+1尤利用(1)，知 l

27、imA(x) = 2.x>co及 lim = 1 血 V（之6）第7次作業(yè)§初等函數(shù)的連續(xù)性 *1.教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)連續(xù)的概念§連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)從定義岀發(fā)證明函數(shù)f（x） = 4x在任一 *點(diǎn)xo（> 0）處連續(xù)。分析:證明：函數(shù)/(x)=在任一點(diǎn)Xo(> 0)處連續(xù).*2.討論函數(shù)/(%)= < r0,-V- y f%9在1 = 0點(diǎn)的連續(xù)性.x = 0解：lim/(x) = lim|x| sin = 0 = /( 0),* °X °JQ:.函數(shù)/ '(x)在點(diǎn)x = 0連續(xù).sin + e2s i*3. /(%) =

28、<%'，在尤=0處連續(xù)，則 a =a，當(dāng)尤=0答：一 14試?yán)脴O限四則運(yùn)算的性質(zhì)，重要極限，等價(jià)無窮小，基本初等函數(shù)連續(xù)性及變量變換與 限過程改寫等各種已知結(jié)果，求下列極限：一、tan(x2 -I)I，XXtan (x2 - I)解: lim* lim11x-sin(x2 -1)Il (x2 -I) cos(x2 - I)1=limXTI IXX/c、tanx - sinx * (2) limr ；i0 (arcsi nx)tan x ? (1 - cos x) lim xtox2 nO 時(shí),2(arcsin x)3有 l cosx , tanx ? x, arcsinx ?

29、x,x2所以原式嚴(yán)廠*(3)計(jì)算極限lim% >0解：因當(dāng) x T 0 ecosx-e = e(e*z _ 1)e 2? e(cosx-l)x故原式=lim=.5 %22sinJ 一. 4 一一一-*( 4)計(jì)算極限lim 一44皿+ x2(1- cos x) ln(l + x )解：因當(dāng)尤 TO 時(shí)1 - cosx ? %2, ln(l + 子)？ ，舊".X4V1eAx 1 ? sinx + X2c 工，原式=lim = 2.x-o 22X -X 2竹-1|,*5.設(shè) f (x) = mI 2解：容易看岀f(l)在(-3,國 1 ,試討論f(x)的連續(xù)性.I必11) 9 (

30、 19 1)及(1, + 00)內(nèi)均連續(xù)在1 = 一 1處,lim (1 - x) = 2,1 一 1 一 0lim /(x) = lim cos=0,XT -1+0XT-1+02f ( 1 ) A/(-l + 0)故 / '(x)在 X = 1 處不連續(xù) 在 x = l 處，/(1 + 0)= lim (x 1) = 0,XT1+0/(1-0) = lim cos = 0,H-02nf =cos- = 0,/(l-0) = /(l) = /(l + 0), W(x)在 x = l 處連續(xù).第2章(之7)第8次作業(yè)間斷點(diǎn)；x = 0是f(x)的教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類§

31、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)§函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系§函數(shù)的和差積商的求導(dǎo)法則丫2 _1*1.函數(shù) y 的間斷點(diǎn)為2 X = I、2,則此函數(shù)間斷點(diǎn)的類型為 (A. x = l,2都是第一類；B. x = 1,2都是第二類；C.尤=1是第一類，尤=2是第二類；D. 1 = 1是第二類，尤=2是第一類答：Cx -x 1*2.設(shè) f(i)=sin，則 x = -I 是/(尤)的k -間斷點(diǎn)；x = I是f(x)的間斷點(diǎn).答案：1、無窮；2、可去；3、跳躍.*3.對怎樣的a值，點(diǎn)x = a是函數(shù)/(%)= 的可去間斷點(diǎn)？x-aV2 4解：函數(shù)在可去間斷點(diǎn)處x = a極限必存在。由極限基本

32、定理，設(shè)lim = A,則必有2xra X-a22x2 - 4 = A(x - a)+a(xAx - a),其中。(尤)是a時(shí)的無窮小。 ffi卿 2 -4) = 6i2 - 4 ,另一方面，IimA (x-a)+a(xx-6i) = 0 0 所以由 a1 -4 = OM a = ±。經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)x>a4a = ±時(shí)，lim二存在，故a = ±為所求.x* x-a2 _*4.指岀f(x) = "Xx的間斷點(diǎn)，并判定其類型.|x 一 1| sin x解：x = 0, x = I, x =7i, ±TC,? + n7i, ?都是 f(i)的間斷

33、點(diǎn),在尤(主 0,處，sin " = O, Iimf(x) = oo,x故X = ±71, ±71, 3±1,是/的第二類間斷點(diǎn)；在尤=0 處，了 (0)無意義,Iim f(x) = Iim 二=一 1, xtox-。| x 一 sin 尤.尤=0是f (i)的可去間斷點(diǎn)；1 1在 X = 1 處 /(I-0)=,心 + 0) = , /(1-0)A/(1 + 0)sin 1sin 1解：依題意,x = 0 Rx = k7r (k =± 1, ± 2, ?頂)的間斷點(diǎn).而X2x = 1是/(尤)的跳躍間斷點(diǎn). 5、指岀下面函數(shù)的無窮間

34、斷點(diǎn)：/(%)=- 一xsinxIim/(x) = lim ；- = limio 1 o x sin x io x - x 2=.故x = 0不是無窮間斷點(diǎn)w r 1-cosx . co$S2ATT_ I) . gk. x)2又 lim= lim =lim =0 伙 o 0),X 2 施 x sin x 尤 sm(lk7r - x) xA2kA - x(2kn - x)而 lim Igosx 伏=0, ± ±.), x2k兀 +兀 xsmx函數(shù)/(x)的無窮間斷點(diǎn)為 x = ±, ±冗，±5 ,? ? ?.*6.設(shè)y = /(%)在0,1上連續(xù)

35、，且 OVf(x)<l。試證：存在 G : 0,1:使f(g)= 成立. 證：構(gòu)造函數(shù) Fx) = fx)-x,則 F(x)在:0,1:上連續(xù)。<F(0) = /(0)-0>0,F( l) = /(l)-KOo則由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零值定理知，必存在一個(gè)e :0,1使F(g) = 0,即/ ( £ )= £成立證畢.*7.證明方程x = asinx + b (a > Q,b > 0)至少有個(gè)不超過 a+b的正數(shù)根.證：令F( x) = x- asinx-b，則 F( x)必在0,a+ Z?上連續(xù)。且有 F(0) = -b <0 , F(

36、a + &) = ? l-sin(a+Z?) >0 ,故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零值定理知必存在一個(gè)gc(0,a + b,使得F(g)=0, BPA = asinA + &.證畢.*8 .如果f (x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，. < .*2 < ? < X是該區(qū)間內(nèi)任意個(gè)點(diǎn)，試證明在(以)內(nèi)至少存在-點(diǎn)£ ,使得用)=小山色虹、.n證：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在li， 1 (U(Q,o )上連續(xù)。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值定理有m = min/(x), M = max /(x).工 1 <X<X,X <x<x n所以，m<fA+f

37、A + - + fA<M.n再由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，知命題得證。證畢*9.證明方程尤°-3x = 1至少有一個(gè)根介于1和2之間.解：設(shè)f ()=一 3尤一 1,S在:1,2上連續(xù)，5/(1) =-3 <0, /(2) = 25>0,由零值定理知至少存在一點(diǎn)s 6(1,2)，使/ '(8) = 0即方程營-3x = l至少有一個(gè)根介于 1和2之間. 10. 若/*()在(-oo,+oo)連續(xù)，且 lim/(x)= A，試證明 f(x)在(-oo,+oo)第界.證明：依題意，取 £= 1, mx>0,當(dāng) |x|X 時(shí)，有 |/(x)-A|

38、vl,于是 |/(x)|v|/(x)-A| + |A|vl + |A|. 又當(dāng)|x| < X時(shí)，利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理，>O,V.re-X,x,有 |/(.r)| < Mx ,取 M = max(M ,1 + A),則在(-oo,+oo)上有 |/(.r)| < M 成立.*11.討論 /(x) = (x-|)|cosx|,在 x = |處的可導(dǎo)性解：lim2 X一 2(x- )|cosx|Z = 0,71X2解：沒有。=lim ,X2 -1 c ?/ hm = 2,7T XT 1叫x>r*12試問曲線X>1在點(diǎn)(1,1)處是否有切線，為什么？試簡

39、單說明之X <1x->1+ X 1.1 . (2 -x) 1 /. lim"limx->1+ X 111 一 x-1即曲線在點(diǎn)(1,1)處沒有切線*13.設(shè)/?在(-8,+3)上有定義在此定義域上恒有-x).討論/(尤)在X = 0處的可導(dǎo)性./3 + 1)= 2/3),且在0,1上有/(尤)=x(l解：-1< x < 00|/(x)=f(x +1)=(X + l)(-x)f: (0) = lim E 力廿=lim 業(yè)電=1, xto+x沮0) = 1一加=臨一；"*)=-上XT。 x x->o XxtO+ x2 :.f(1)在 x =

40、0處不可導(dǎo)*14.試確定式中。力之值，使 /*()處處可導(dǎo)ex, x < 0,ax + b, x > 0.解：V /(x)在。點(diǎn)處可微，所以必連續(xù)。f (0 0) = lim /(x) = lim e* = 1,XT(r XT( r/(0 + 0) = lim f(x) = lim (ax + b) = b ,/. 0=1。x x A/e -b e -1(0) = lim -_- = lim - xT。X XT必O)=lim竺旦=a,10+ xQ=l.=1,-X*15.設(shè) /(x) = |x-6i|g(x),其中續(xù)性與可導(dǎo)性.解：lim/(x) = limlx - ag(x) =

41、0 = f(a) x >ax>a':,f(x)Ax = a 處連續(xù)r fM-f(a) r hm -=hmx-a xtg x- a:.f (i)在x =。處可導(dǎo).g(x)在x = a處連續(xù)且 g(o) = 0,討論f(x)在=Q處的連x-ax處可導(dǎo)。試證明：rff(x)v(x)w(x) + u(x)v (x)w(x) + u(x)v(x)w (x).證明：左式*16.設(shè) w(x),v(x),w(x)在點(diǎn)ru(x)v(x)w(x)= u=(uv)w r = ("V) 'w + ("V ) w' = (urvw + uvfw) + uvw r

42、=右式.第2章(之8)第9次作業(yè)教學(xué)內(nèi)容：§反函數(shù)的求導(dǎo)法則§復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則§基本求導(dǎo)公式y(tǒng)=cot x 一escx ；Inx y =(4)X(5)y=xex Inx(6)c 33|(7)y2x H x-log 3 e;(8)y = x(ex - In x)；y = ex(cos x + sin x)；.y = 2X tanx + secx.*1.求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：secxA(8)2X In 2 ? tanx + 2x sec2x +sec x tan x.一(1-1 nx);X(5) ex(xlnx + lnx + l)； 9 3 (7)6x2-x(4) (

43、x + 1)/ lnx 1;(6) 2ex cosx ;2. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：* y = sin(3e2x +1)；解：y'= cos(3e2x +1) ? 3 ?凌'.2 = 6cos(3e2' +1)* (2)2.T-1Y 2(x + 3)-(2x-1).x + 3 J (.x + 3)2+ 1=4(2 XT)、2X + 6 2x28(2x-1)'(X + 3)5(x + 3)5(1-尸尸*(5) y 二x + h無:= < 1 + )；2厶+石 旳* y =ln2sin(x + l)；解 ,2cos(x + l)w 1、y= ;( = cot3+i

44、).2si n(x + l)* (4)I尸;FT解：一J* (6) y = ln(x + );*(7) y = sin x-sin(x2)；解: yr = sin 2x - sin(x2) + 2xsin2 - cos(x2)；,、1*(8) y = arccos;x2 岡解：礦=;x2 Vx2 -1*(9) y = e2x sin ；3解：yr = e2x (-2sin jcosj);人八x + 1*(10) y = arcta n.x-l解：yf =.x2 +13.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值2 y =,求礦(。)；(1)y = arctan e*,求 y'(0)y = V2 +

45、In 2 x ,求 yf(e)(3)(4) y = Iog3 cosx , 求 yr()(5) y = (arcsinx)3,求 礦(；)y =求礦解答:(1). - ；(2). - ； (3).-L ； (4). 一一 - ； (5).92V3eIn 34. * 設(shè) f(u)為可導(dǎo)函數(shù),y = f(sine3，) 3*2 求 y'(x). 解：yX-x) = 3e 3A cos$' (sine3')+ sin/(x)?/r(x)-3cos/u)-l n3.i181 £ 兀 2(6).4*(2)設(shè) y = f (secx) - sec(A(tanx),其中 f

46、( “),(們?yōu)榭蓪?dǎo)函數(shù)，求礦(尤)？解：y'(x)= sec x tan xf '(seex) - sec(A(ta n x)+ sec(?(tan x) tan(?(tan x) ? sec 2x ? ?'(tan x) ? /(secx).*5.設(shè)/(x)= f'?max*, x2 x G (-00,+ oo),試討論/(尤)的可導(dǎo)性，并在可導(dǎo)點(diǎn)處求岀x2, x <0解：由于X, Ovxvl, 所以廣(0)不存在，廣不存在,X2, X >12x, x < 0,當(dāng) x 0, x 1 時(shí)，f'(x) = < 1,0 < x

47、 < 1, 2x, x>l.*6.設(shè) /(x) =(p(a + bx) -(p(a - bx),其中 9(1)在(-oo, + oo)有定義 且在=。可導(dǎo)，求廠(0) 的值./(x)-/(0) (p(a + bx)- (p(a-bx)-0解：hm= hm XT0 xXT0X=lim b* + bx卄一史)卅狄。一鼠)-他)=勺宜).bx - bx7. *(1)設(shè) v =ln J- (|x < 1)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) x'(v).V + .x解：、'=，X -1xy) = x -1.*(2)設(shè)y = f(x)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，已知f(2) = l,廣=e,貝u尸(

48、wL=解：一.e第2章(之9)第10次作業(yè)教學(xué)內(nèi)容：§隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及對數(shù)求導(dǎo)法§.4.7由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)§極坐標(biāo)系下曲線的切線問題1.* 驗(yàn)證由方程xy-ln= l所確定的隱函數(shù)=y(x)滿足方程 + (xy_i) y，= o,證明：y + xy， 一匕=0,兩邊同乘 y,得 y2 + (.xy - l)y , = 0.*(2)設(shè) y = y(x)由方程 +sin(xy)= >確定，求 y'(0).解：e"'(y + xy') + (y+ xy')cos(xy)= >',當(dāng)=0時(shí)，=1,代入上

49、式有礦(0) = 2.* 設(shè)y = y(x)由方程x" +更 =2所確定，求y，(l).解：xy(+ y， lnx) + y， (lny+ 三)/) =0, x y當(dāng)x = l時(shí),y = I,代入上式有y，(l) = -l.(0,0)處的切線方程.解：cosy-xsiny.y' + e'yJO,得 yf =xsi ny-eyy，(0) = 1, (0,0)點(diǎn)切線方程為 y = i.3. *(1)設(shè)!* = e cos"定了函數(shù) y =心)，求坐 y = e si nt食,dy _ egsinr+ cosr) _ e'(2sinr_+ cos。r222

50、2dx e (cosr - 2rsinr ) (cosr - 2rsinr )dx*(2)設(shè)=y(x)由方程FT:"所確定，試求空|q? y = e 'Z7rdxZ7r解：一=3t2,當(dāng)尤=2 時(shí)，t = 19 dt=3 ,dt 一型=2edydldij=i2e;r-Tl 一r 3x = cost已知曲線乙的參數(shù)方程為t則曲線乙4.在t=-處的法線y = sin 2方程為-答4x-而+=0.cos*試求由所確定的曲線 y = yOO在尤=0處的切線方程.y = t+t知當(dāng)尤=0時(shí)，f = 0, y = 0, ,x = e? -xcosr-L、. 解：由y = i口 dx t

51、且一 =e -ddydx.cosl + xsinr, dtdx也=2il, dtdtt=0_ 1 dydt |(=02, dx故所求切線方程為 y = 2ur=0VI + x5. *(1)設(shè) y =,求 y'.2(X-1) V5X-2'解：In|y| = Tn|x + 1|- 21n|x -1| -Aln|5x - 2|礦一1_5§ 一 3(x +1) 一占一 3(5x - 2)5_ 3-1)2 妊1 刁 3(1 + 1) X-1 3(57人2)*(2)設(shè) y =2 +1)Vsin x , (0 < x < "),求 y'.解：ny =+

52、 (ln(x2 +1)+ ln|sinx|)2 2 21+ cotx42) Js inxX+cotx1 + x2 .X24*6.設(shè)函數(shù)y = y （x）由方程(尤 +y) *+i = 3x + 2y-2 所確定，試求dx (x,y)=(0,2)解：兩邊取對數(shù)(x +1) ln(x + y) = ln(3i + 2y 2),兩邊求導(dǎo)：ln(x + y) + (x +1)x + y 3x + 2y 2將（0, 2）點(diǎn)代入上式：+22 2In2 +22*7.證明曲線+舟標(biāo)軸之間的線段為定長3 + 2y . ,i，可解得 y|52)=2"2.=Q '（ Q > 0） ±壬意點(diǎn) =（尤 0, &