《線性代數(shù)》的主要知識點

1、線性代數(shù)的主要知識點第一部分行列式概念：1. n階行列式展開式的特點：共有 n!項，正負(fù)各半; 每項有n個元素相乘，且覆蓋所有的行與列； 每一項的符號為（1）（行）（列）2. 元素的余子式以及代數(shù)余子式Aj （ 1）i jMj3. 行列式的性質(zhì)計算方法：1. 對角線法則2. 行列式的按行（列）展開（另有異乘變零定理）第二部分矩陣1.矩陣的乘積注意：不滿足交換率（一般情況下AB BA ）不滿足消去率（由AB=AC不能得出B=C）由AB=0不能得出 A=0或B=0若AB=BA則稱A與B是可換矩陣2 矩陣的轉(zhuǎn)置滿足的法則：（A B）T AT BT , （kA）T kAT ,（AB）T BTAT3矩陣

2、的多項式設(shè)（x） a。 a1xanxn, A為n階方陣，則（A） aoE a1Aan An稱為A 的n次多項式。對與對角矩陣有關(guān)的多項式有結(jié)論如下：1n（1）如果 A P P ，則（A） a0E a1AanA1Pa°EPPa1 P（2）若diag （aa2， an），則4逆矩陣：n階矩陣A, B，若ABn階矩陣A可逆 A 0 ；n 11Pan P = P ( )P 1()diag( (a(a?),(an)BA E，貝U A,B互為逆矩陣。r（A） n （或表示為R（A） n）即A為滿秩矩陣;A與E等價；A可以表示成若干個初等矩陣的乘積;A的列（行）向量組線性無關(guān)；A的所有的特征值均不

3、等于零求法：伴隨矩陣法:初等變換法：A,E初等行變換E, A 1或A初等列變換 Ee是單位矩陣EA 1性質(zhì)：(1)矩陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的(2)設(shè)A是n階矩陣，則有下列結(jié)論 若A可逆，則A 1也可逆，且(A 1 A 若A可逆，則AT也可逆，且(At) 1 (A 1)T1 若A可逆，數(shù)k 0，則kA可逆，且(kA) 11k 若AB為同階矩陣且均可逆，則 AB也可逆，且(AB) 1 B 1A 15.方陣A的行列式：滿足下述運算規(guī)律(設(shè) A,B為n階方陣， 為數(shù))AtAA nA AB A B6伴隨矩陣：行列式A的各個元素的代數(shù)余子式州所構(gòu)成的如下的矩陣A11An1A12A2nA12，稱為矩陣

4、 A的伴隨矩陣(注意行與列的標(biāo)記的不同)AnAnn伴隨矩陣具有性質(zhì)：AA* A* A AE常見的公式有： A*An 1A* A A 1(A*)1 *aA (A)(A 1)等7初等矩陣：由單位矩陣 E經(jīng)過一次初等變換后所得的矩陣稱為初等矩陣。 三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣，分別記為：(1) E(i,j)(互換 E 的第 i、j 列) (2) E(i(k) (E的第i行乘以不為零的數(shù) k ) (3) E(ij (k)(把E的j行的k倍加到第i行上)初等矩陣具有下述性質(zhì)：初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣；初等矩陣都是可逆矩陣，其逆矩陣仍為初等矩陣且E(i,j) 1 E(i, j)、Ei(k) 1 Ei(

5、k 1)、Eij (k) 1 Ei,j( k);初等矩陣的行列式分別是-1, k, 1。&矩陣的初等變換：初等行變換：下面三種變換稱為矩陣的初等行變換： 對調(diào)兩行；記為ri rj對換第i與j行 以數(shù)k 0乘某一行中的所有元素；記為ri k第i行乘k 把某一行所有元素的 k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去；記為ri krj第j行k倍加到第i行上。把定義中矩陣的行換成列，即得矩陣的初等列變換的定義矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱矩陣初等變換矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系：設(shè)A是一個m n矩陣，則 對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣； 對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在

6、 A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣9矩陣的等價：如果矩陣 A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣 B,就稱矩陣A與矩陣B等價。且若矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣B,就稱矩陣A與 B行等價；若僅經(jīng)過初等列變換，就稱 A與 B列等價。設(shè)A, B為m n矩陣 A與B行等價m階可逆矩陣P，使得PA B A與B列等價n階可逆矩陣Q，使得AQ BA, B等價m階可逆矩陣P , n階可逆矩陣Q,使得PAQB利用矩陣的初等變換解矩陣方程AXB ,X A 1B，可以：(A B)初等行變換(E A1B)XAB ,1TTX BA ，可以：(A B )初等行變換(Ext)，從而解出X。10矩陣的秩：非零子式的最高階數(shù)。記為r

7、(A)或R (A)求法：A 初等行變換行階梯形矩陣B, R (A) =B的非零行的行數(shù)。相關(guān)公式：若 A是m n矩陣，則0 R(A) minn,m R(AT) R(A) A B R(A) = R(B) 若設(shè)A為m n矩陣，Pm ,Qn均為可逆矩陣，則r(A) r(PAQ) ，則 maxR(A), R(B) R(A,B) R(A) R(B)若A,B均為m n矩陣，則R(A B) R(A) R(B)11.分塊矩陣：主要記住：(1) 分塊對角矩陣：設(shè) A為n階方程，若 A的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊,Al其余子塊都為零矩陣，且非零子塊都是方塊，即其行列式與逆矩陣具有下述性質(zhì):A|A2AsA1

8、若A0, (i 1,2,s)，則 A 0 ,故 A 可逆,1并有：A.A21設(shè)A是m階方陣，B是n階方陣”且A a , Bb,則mn1 abA另有：(2)設(shè)有分塊矩陣HCB，其中A,B分別為m階、n階可逆矩陣，則矩陣 H可逆且H 1 A 1A 1CB 1B 1(3)設(shè)有分塊矩陣其中代B分別為m階、n階可逆矩陣，則矩陣H可逆且H 1A1B 1CA第三部分向量組1.線性組合：給定向量組A:2, m，對于任意一組實數(shù)，稱向量k1 1 k2 2km m為向量組的一個線性組合，k1, k2,km稱為該線性組合的系數(shù)。給定向量組A:1 , 2 , m和向量，如果存在一組數(shù)則向量 是向量組A的線性組合，也稱

9、向量可以由向量組A線性表示向量 能由向量組A線性表示方程組x1 1X2 2xm m有解矩陣A=(m)的秩等于矩陣B=( 1, 2)的秩2.等價：設(shè)有兩個向量組 A2 , m 及 B：s ,若B中的每個向量都可以由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向量組B能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。記為:(1 ,2 , s)主要結(jié)論：B的行向量組等價;B的列向量組等價km m 0 則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱為 線性無關(guān)，(1)矩陣A與B若行等價，則A的行向量組與 若矩陣A與B若列等價，則A的列向量組與(2)向量組 B : b1,b2,b能由向量組A： a1, a2,

10、am線性表示存在矩陣K，使得B=AK方程AX=B有解R(A) R(代B)(3)向量組A： a1,a2,am與向量組B: b1, b2,b等價R(A)R(B) R(A, B),其中，A,B是向量組構(gòu)成的矩陣(4)向量組B : b1,b2,b能由向量組A： a1,a2,a m線性表示，則R( b1,b2,bi) R( a1,a2,am)3線性相關(guān)與線性無關(guān)對向量組A:1 , 2, ,m，如果存在不全為零的一組數(shù) k1,k2,km ?使得：ki ik2 2也就是說當(dāng)且僅當(dāng)k1,k2, ,km都是零時才能使(川)式成立，則1, 2, , m線性無關(guān)。 主要結(jié)論：(1)向量組 1, 2, , m線性相關(guān)

11、齊次線性方程組有非零解它所構(gòu)成的矩陣 A(1,2, m )的秩小于m ；冋樣線性無關(guān)僅有零解R(A)(2)n個n維向量 1a11 , a12 ,a1n, 2a11a12a1 n線性相關(guān)行列式a21a22a2n0,an1an2ann(3) m個n維向量，線性相關(guān)；當(dāng)維數(shù) nm時，向量組m(a21 , a22 ,a2n)n( an1, an2 ,ann )線性無關(guān)行列式0定線性相關(guān)。特別地，n 1個n維向量必（4）若向量組A：1, 2, m線性相關(guān) 向量組B： 1,2, m, m 1 一定線性相關(guān)；反之，向量組 B 若線性無關(guān)向量組 A 線性無關(guān)或敘述為：整體無關(guān)，則任意部分無關(guān)；只要有一部分相關(guān)

12、，則整體相關(guān)；（5 ）若向量組A： 1, 2, , m線性無關(guān)，而向量組 B： 1, 2, , m，線性相關(guān) 必能由向量組 A線性表示，且表達(dá)式唯一（6） 若r維向量組1, 2, , m線性無關(guān)，則在每一個向量上再添加n r個分量所得到1 1 1的n維向量組1 , 2 , m也是線性無關(guān)的（7） 向量組A 1, 2, , m線性相關(guān)其中至少有一個向量是其余 m 1個向量的線性 組合 ；線性無關(guān) 每一個向量都不能由其余向量線性表示。（8） 如果向量組A： 1, 2, , s可由向量組B： 1, 2, , t線性表示，并且s t 向量組A：1, 2, s線性相關(guān)；（逆否命題：A : 1, 2, ,

13、 s線性無關(guān)且可由向量組 B 1, 2, , t線性表示s t ）4最大（極大）線性無關(guān)組：設(shè)有向量組A,如果在A中能選出r個向量1, 2, , r ,滿足（ 1）向量組 A0 ：1, 2, r 線性無關(guān)；（2）向量組A中任意r 1個向量（如果 A中有r 1個向量的話）都是線性相關(guān)的那么稱1,2, r是向量組A的一個最大（極大）線性無關(guān)部分組條件（2）也可以改為：向量組 A中任意一個向量都可以由1, 2, , r線性表示，結(jié)論 ： 一個向量組的極大無關(guān)組是它的線性無關(guān)部分組中個數(shù)最多的那一個 一個向量組的極大無關(guān)組不是唯一的 向量組的任意一個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)是唯一確定的 若向量組1,

14、2, s線性無關(guān)，其極大無關(guān)組就是其本身 任一向量組和它的極大無關(guān)組等價 向量組1, 2, s中任意兩個極大無關(guān)組等價5向量組的秩：向量組1, 2, , s中極大無關(guān)組所含向量的個數(shù) r稱為向量組A的秩。記為： r （1,2, s）主要結(jié)論：（1）如果向量組 1, 2, s與向量組1, 2, t等價，則它們的秩相等(2) 如果向量組1, 2, , s可由向量組1, 2, , t線性表示，且r( 1, 2, , s) r , r( 1, 2, , t) p ，則 r p(3) 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩6向量空間：設(shè) v為n維向量的集合，如果集合 v非空，且集合 v對于

15、加法及乘數(shù)兩種運 算封閉，那么就稱 v為向量空間。(1) 設(shè)，是兩個已知的n維向量，則集合 V x, R 是一個向量空間。稱為由向量，所生成的向量空間。(2) 向量空間的基 -設(shè)V為向量空間，如果 r個向量 1, 2, r V，且滿足1, 2, , r線性無關(guān)； V中任何一個向量都可以由1, 2, , r線性表示則稱向量組 1, 2, , r是向量空間V的一個基，r稱為向量空間V的維數(shù)，并稱V為r維 向量空間。(3)在R中取疋一個基a1 ,a2,a3，再取一個新基b1,b2,b3，設(shè)A ( a1,a2,a3),1B( b1,b2,b3)，則 P = AB稱為從舊基到新基的過渡矩陣7.向量的內(nèi)積

16、：X1y1x2(1)設(shè)有n維向量x,y2令y，令 x, yX°1X22Xn ,Xnynx, y稱為向量x與y的內(nèi)積.當(dāng)x與y都是列向量時，有x, y xT y .(2)內(nèi)積具有下列性質(zhì)(其中X, y,z為n維向量，為實數(shù))： x,y y,x ; x,yx,y ; x y,z x, z y,z.當(dāng) x o 時，x,x o ；當(dāng) X o 時，X, X o施瓦茨(Schwarz)不等式2X, yX,x y, y 向量的長度：|XI = Jx, X'x12x22xn2 , IX稱為n維向量x的長度。(范數(shù)) 向量的正交-當(dāng)x, y 0時，稱向量x與y正交.(5)正交向量組-兩兩正交的

17、非零向量組稱為正交向量組 正交向量組的性質(zhì)若n維向量r是一組兩兩正交的非零向量組，則r線性無關(guān).(6)施密特(Schimidt)正交化過程：設(shè) Q,a2, ar是線性無關(guān)的:取 bai ； b2a2込bi，br ar也bi,bibi,bbib2,arb2,b2b2br i ,a r , b bbr i . br i,br ibi ,b2, ,br兩兩正交，且bi,b2, ,br與ai,a2, a等價第四部分線性方程組1.解的判定：3iiXiQ2X2a1n xnbi線性方程組b2其系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別記為:A ajamiXiami2X2amnXnbmaiiai2ainCiai2ai nbia2

18、ia22a2n_a2ia22a2nb2,A 或(A,b )=amiam2amnamiam2amnbma2iXi822X2mna2n Xn則方程組的矩陣表示形式為:Axaiiaina2ia2nbib2若記：i，則方程組的向量形式為:a miam2a mnbmXi iX2 2Xn判定定理:n元非齊次線性方程組nXb有解r(A)r(A)且有唯一解r(A) r(A)，有無窮多解r(A)r(A) n對應(yīng)的齊次線性方程組821 Xiami Xia2X2ai n Xn822 X2a2n Xn稱謂原方程組的導(dǎo)出組。ami2X2amn Xn有結(jié)論：n元齊次線性方程組僅有零解系數(shù)矩陣的秩r(A) nn元齊次線性方程組有非零解系數(shù)矩陣的秩r(A) n若系數(shù)矩陣A為方陣，則有：n元齊次線性方程組僅有零解n元齊次線性方程組有非零解